高中数学单元测试——第二章函数（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学函数单元较难版测试，通过基础概念辨析、性质综合应用及科技情境建模题，适配单元复习中能力提升需求，覆盖函数定义域、奇偶性等核心知识点，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|定义域、函数相等、图像识别|基础概念辨析，如第3题考查函数相等的定义域与对应关系| |多选题|3题/18分|函数定义、奇偶性、单调性|多选项设计，如第10题结合奇函数性质判断单调性| |填空题|3题/15分|分段函数求值、单调性参数范围|逆向思维考查，如第13题由单调性求参数范围| |解答题|5题/77分|奇函数性质、利润建模、新定义函数|综合与创新，如17题科技情境利润函数建模，19题新定义“P界函数”考查抽象思维|

高中数学单元测试 —— 第二章 函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）设函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（本题5分）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．当时，单调递增 11．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 三、填空题 12．（本题5分）设函数，若，则实数的值为__________. 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 14．（本题5分）已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为，令，解得， 所以. 故选：B 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零可列不等式组，进而求解即可. 【详解】由，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（本题5分）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接求解即可. 【详解】解：因为，所以． 故选：D． 5．（本题5分）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性排除AB选项，利用赋值法可排除D，进而可得结论. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称，故排除AB选项； 又，故排除D选项. 所以函数的大致图象是C. 故选：C. 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 7．（本题5分）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知函数为定义在R上的减函数，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因且，都有， 则，即 则为定义在R上的减函数， 不等式可化为 因为是定义在R上的奇函数， 则， 根据单调性可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 8．（本题5分）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【详解】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的定义，验证ABD选项，由函数表达得到定义域，判断C选项. 【详解】A选项，，，，A选项正确； B选项，，，，B选项正确； C选项，∵函数的定义域为，，C选项不正确； D选项，，，，D选项正确； 故选：ABD. 10．（本题6分）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．当时，单调递增 【答案】ACD 【分析】利用可得A正确；由的值可求得B错误；利用奇偶性求得时，的解析式，进而得到，根据奇偶性定义可知C正确；结合解析式可确定D正确. 【详解】对于A，是奇函数，，A正确； 对于B，为定义在上的奇函数，，又， ，B错误； 对于C，当时，，， ，， 当时，， 当时，，为偶函数，C正确； 对于D，由C知：， 在上单调递减，在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据题意得出的解析式，即可判断ABC；求得的解析式，作出函数的图象，由图象判断D． 【详解】根据题意，由，解得， ，所以，故A正确； 当时，， 且在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 即的值域为，故B正确，C错误； 因为，则的图象如图所示， 由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）设函数，若，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】代入即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分，，，四种情况，进行讨论，结合函数单调性进行求解，得到答案. 【详解】当时，，由得， 故，， 由于在上单调递减，且， 故，所以； 当时，，由得， 故，， 由于在上单调递增，且， 故，所以； 当时，，由得， 故对恒成立，故满足要求； 当时，，同理可得满足要求； 综上，. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）由题意，根据奇偶函数的性质即可求解； （2）利用函数的奇偶性求函数的解析式即可； （3）由（2）知当时，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 又当时，， 所以； （2）当时，， 当时，，有， 又为奇函数，所以， 所以， 即当时，； （3）由（2）知，当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即当当时，函数的最小值为. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【详解】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $