23.2 第5课时 平面直角坐标系中直线与x轴正方向的夹角-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦“平面直角坐标系中直线与x轴正方向夹角”，核心是直线向上方向与x轴正方向夹角的正切值和一次项系数k的关系。课堂从回顾解直角三角形三角函数定义切入，通过直线上两点坐标猜想tanα，再用例题验证，搭建解直角三角形与一次函数k的知识支架。 这份资料以“猜想-验证-应用”为主线，例1用tanα求点坐标、例2根据夹角求直线表达式，培养推理意识与几何直观。思维导图梳理知识发展模型意识，助力学生提升知识应用能力，为教师提供清晰教学路径和实例支撑。

23.2 解直角三角形及其应用 第5课时 平面直角坐标系中直线与x轴正方向的夹角 课题 平面直角坐标系中直线与x轴正方向的夹角 课型 新授课 教学内容 教材第1146-147页的内容 教学目标 1.进一步巩固解直角三角形的应用. 2.了解直线的向上方向与x轴正方向夹角的正切值与直线一次项系数k之间的关系. 3.能用解直角三角形的知识灵活解决与直线相关的问题. 4.在解决问题的过程中感知知识的实际应用，培养学生的应用意识． 教学重难点 教学重点：直线的向上方向与x轴正方向夹角的正切值与直线一次项系数k之间的关系. 教学难点：解直角三角形的知识灵活解决与直线相关的问题. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【知识回顾】在Rt△ABC中，∠C=90°．则有sin A=____，cos A=____，tan A=____. 答案： 【思考】如图，在平面直角坐标系中，如果直线y=k x+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α. 你能用P1，P2的坐标表示∠α的正切值吗？ 猜想：. 追问：你认可这个结论吗？我们一起验证一下吧！ 2.例题探究，学习新知 【例】已知：在直线y=k x+b（k＞0）上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α. 求证： 分析：要想计算∠α的正切值，要在直角三角形中，且知道它的对边与斜边的值；不能直接计算，需要把∠α进行转化. 过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得∠P2P1R=α.P1R=x2–x1，P2R=y2–y1，即可计算tan α.最后证明P1，P2的坐标与直线的比例系数k之间的关系. 证明：由k＞0，可知直线y=k x+b自左向右是上升的，即函数y=k x+b的值随x值的增大而增大，所以α是锐角. 如图，设x1＜x2，则y1＜y2. 过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为点Q1，Q2，再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得∠P2P1R=α. 在Rt△P2P1R中， ∵P1，P2都在直线y=k x+b上， ∴y1=kx1+b①， y2=kx2+b②. 由② – ①，得y2–y1=k(x2–x1)， 【归纳总结】如果直线y=k x+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.那么我们可以得到如下结论： . 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，在平面直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA=，tan α=3，求点A的坐标. 解：如图，过点A作AB⊥x轴于点B. ∵tan α=3，∴=3. 设AB=3x，OB=x. ∵OA=，由勾股定理， 可知（3x）2 +x2=（）2 ，解得x=1， ∴AB=3，OB=1， ∴点A的坐标为（1，3）. 【例2】已知直线y=k x+b经过点（-1，2），且向下方向与x轴负方向所夹的锐角为60°，求直线的函数表达式. 解：∵直线y=kx+b的向下方向与x轴负方向所夹的锐角为60°， ∴k=tan 60°=， 即直线的函数表达式为y=x+b， 又∵直线过点（-1，2）， ∴+b=2，解得b=2. ∴直线的函数表达式为y=x+2. 4.随堂训练，巩固新知 （1） 如图，直线y=2x+1向上的方向与x轴的正方向所夹的锐角为α.那么tan α=____，sin α=____，cos α=____. 答案：2 （2）在平面直角坐标系的第一象限中，有一点P(x，y)，记r=|OP|=.若OP与x轴正方向所夹的锐角为α，则 ①sin α=____；② cos α=____；③ tan α=____. 解析：如图所示. 答案：① ② ③ （3）已知直线l的向上方向与x轴正方向的夹角是一个锐角α，且sin α=.求直线l的比例系数. 解：设直线l的比例系数为k. ∵sin α = ，∴tan α = . ∴直线l的比例系数k的值为 . 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 教科书P146练习第1-2题. 回顾旧知，既是对旧知识的巩固，也是为新知的学习奠定基础. 通过分析、讲解典型例题，让学生学习、熟悉如何用解直角三角形知识解决有关直线的坐标、比例系数、直线与x轴夹角(锐角)的问题，提高学生解决问题的能力. 总结概括直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角的正切值、直线的比例系数、直线上任意两点的坐标之间的关系，培养学生的总结概括能力. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 平面直角坐标系中直线与x轴正方向的夹角 如图，如果直线y=k x+b上有任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α. 那么. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步运用解直角三角形的知识去解决直角坐标系中的有关问题. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $