23.2 第4课时 坡 度-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦“坡度”这一核心知识点，通过知识回顾（坡度、坡角定义及解直角三角形步骤）和“做一做”小练习，巩固正切及图形转化旧知，为梯形问题转化为直角三角形搭建学习支架。 资料特色在于结合数学眼光（抽象能力、几何直观）与数学思维（推理能力），以堤坝、燕尾槽等实际问题为例，引导学生构建直角三角形模型，思维导图小结与分层作业助力知识梳理，提升学生应用意识，为教师提供清晰教学流程与实用例题。

23.2 解直角三角形及其应用 第4课时 坡 度 课题 坡度 课型 新授课 教学内容 教材第128-129页的内容 教学目标 1.加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系. 2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题. 3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力. 4.在解决问题的过程中感知知识的实际应用，进一步体会数学与实际生活的紧密联系． 教学重难点 重点：坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，坡度与坡面陡峭程度间的关系. 难点：解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【知识回顾】 问题1：什么叫作坡度？ 预设：如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫作坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 坡面与水平面的夹角叫作坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有 注意：坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡． 【做一做】 如图所示，在△ABC中. (1)若 h = 2 cm，l = 5 cm，则斜坡AB的坡度 i =____； (2)若斜坡AB的坡度i = 1∶1.5，h = 2 m，则 l =____； (3)若斜坡AB的坡度i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =____. 答案：（1）1∶2.5 （2）3 m （3）2 m 【知识回顾】 问题2：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？ (1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 【做一做】 如图所示，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶2，坝高h=20 m，则迎水坡的水平宽度=_____，tan α=______ . 答案：40m 2.例题探究，学习新知 问题：前边我们已经整理了用解直角三角形的知识解决实际问题的解题一般过程，那在解决与坡度、坡角有关的实际问题时还应注意什么？ 解决与坡度、坡角有关的实际问题：利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决. 【教材例题】 【例】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8 m，路基高BE=5.8 m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i'=1∶ 2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°). 分析：题目中给出了两个坡度值，目前对应的只有一个直角三角形，需要再建立一个直角三角形；要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=9.8 m，只要再分别求出AE和FD即可；还要计算坡角α和β，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1∶1.6，tan β=i'=1∶2.5. 解：过点C作CF⊥AD于点F， 得CF=BE，EF=BC，∠A=α，∠D=β. ∵BE=5.8 m， = ， = ， ∴AE=1.6×5.8=9.28(m)，DF=2.5×5.8=14.5(m). ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m). 由tan α=i==0.625，tan β=i'==0.4， 得α≈32°，tan β≈22°. 答：铁路路基下底宽约为33.6 m，斜坡的坡角分别约为32°和22°. 3.学以致用，应用新知 【例】水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1 m). 解：（1）斜坡CD的坡度i＝tan α＝1∶2.5＝0.4， 由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°. （2）分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，由题意可知BE＝CF＝23 m，EF＝BC＝6 m. 在Rt△ABE中，AE＝3BE＝69 m. 在Rt△DCF中，同理可得FD＝2.5CF＝57.5 m， ∴AD＝AE+EF+FD＝69+6+57.5＝132.5(m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 AB＝≈72.7(m)， 故坝底AD的长度为132.5 m，斜坡AB的长度约为72.7 m. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶1，坝高BE=20 m，迎水坡AB=_______m，坡角α=_______. 答案： 45° （2） 如图，燕尾槽的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，其中∠B=∠C=55°，外口宽AD=180 mm，燕尾槽的深度AE=70 mm，求它的里口宽BC的值(精确到1 mm). 解：如下图，过点D作垂线，交BC于F点， 垂足为F点，则有AE=DF=70 m，EF=AD=180 mm. 在Rt△ABE中，BE= = ≈49.01(mm)， ∴BC=2BE+EF=49.01×2+180≈278(mm). 答：燕尾槽的里口宽为278 mm. 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 教科书P145习题第1-2题，P147习题23.2第7题. 知识回顾，既是对旧知的巩固，也为新知的学习做铺垫. 借助小练习进一步巩固坡度相关知识点. 回顾利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤，为本节解决坡度问题作铺垫. 借助小练习进一步巩固对应的知识点. 总结概括如何解决与坡度、坡角有关的实际问题，培养并提高学生的总结概括能力. 通过分析典型例题，让学生学习、熟悉如何用解直角三角形知识解决有关坡度、坡角的实际问题，提高学生解决问题的能力. 通过例题巩固解决与坡度、坡角有关的实际问题，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 坡度、坡角问题 1.概念：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(或坡比)，即i＝tan α，坡面与水平面的夹叫作坡角. 2.解决坡度、坡角的相关问题. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义． 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $