22.3 第5课时 直角三角形相似的判定定理-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦“直角三角形相似的判定定理”，通过回顾已学的三个相似三角形判定定理，结合等腰、等边三角形相似性的辨析，搭建从一般三角形到直角三角形特殊判定的学习支架，引导学生类比直角三角形全等的“HL”方法提出猜想。 此资料以“猜想-证明-归纳”为主线，用“设k法”完成定理证明，渗透类比思想与代数证几何的方法，结合思维导图小结知识结构。既培养学生推理意识与运算能力，又通过例题和分层练习强化应用，助力教师高效教学，帮助学生构建系统知识体系。

22.3 相似三角形的判定 第5课时 直角三角形相似的判定定理 课题 直角三角形相似的判定定理 课型 新授课 教学内容 教材第97—99页的内容 教学目标 1.掌握直角三角形相似的判定方法，并能利用其解决相关问题. 2.理解判定直角三角形相似的证明方法，在探究过程中让学生体会用代数方法解决几何问题. 3.经历从猜想到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比数学思想. 教学重难点 教学重点：掌握直角三角形相似的判定方法，并能利用其解决相关问题. 教学难点：理解直角三角形相似的特殊判定方法的证明方法. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【问题】能否说出我们前面学过的相似三角形的3个判定定理？ 预设答案： 定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 定理3：三边成比例的两个三角形相似． 2.类比探究，学习新知 【思考】1.两个等腰三角形一定相似吗？ 预设答案：不一定相似. 2.两个等边三角形一定相似吗？ 预设答案：相似. 3.两个直角三角形一定相似吗？ 预设答案：不一定相似. 【追问】判定两个直角三角形全等有“HL”的特殊方法，那么判定两个直角三角形相似是否也有特殊的方法呢？ 【师生活动】教师引导学生类比直角三角形全等的判定方法，猜想直角三角形相似的判定方法. 猜想：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 转化为数学语言： 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，． 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'． 分析：要证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，可设法证明，若设，只需证. 证明：设，则AB=kA'B', AC=kA'C'． ∵ ， ∴=k. ∴ △ABC∽△A'B'C'． 注意：上述证明过程用到了“设k法”. 【追问】你还有其他的证明方法吗？ 【归纳总结】 两个直角三角形相似的特殊判定方法： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 简记为：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 符号语言： 在Rt△ABC和Rt中， ∵∠C=∠C'=90°，， ∴△ABC∽. 注意：判定两个直角三角形相似，除了可用上述特殊的判定方法外，还可用一般三角形相似的判定定理. 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=a，AC=b. （1）以BC为斜边，向外作一个直角三角形，使它与 Rt△ABC相似； （2）把上面作出的三角形的直角顶点记作D，求BD的长. 解：（1）如图，以BC为一边，向外作∠BCD=∠A，∠CBD=∠ACB，CD与BD交于点D，得△CDB. 由两角分别相等可知Rt△CDB∽Rt△ABC. 在作两个角时，位置互换， 即作∠CBD'=∠A，∠BCD'=∠ACB，BD'与 CD'交于点D'， 得△BD'C.由两角分别相等可知 Rt△BD'C∽Rt△ABC. （2）由Rt△CDB∽△ABC， 可得，即，∴. 由Rt△BD'C∽Rt△ABC 可得，即，. ∴ 因此，所求或. 4.随堂训练，巩固新知 （1）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件不能判断它们相似的是(　　) A. ∠A=∠B′ B. AC=BC，A′C′=B′C′ C. AB=3BC，A′B′=3B′C′ D. △ABC中有两边长为3、4，△A′B′C′中有两边长为6、8 答案：D. （2）如图：AB=2AC，BD=2AE，且BD⊥AD，AE⊥EC，求证：△ABD∽△CAE. 证明：∵BD⊥AD,AE⊥EC, ∴△ABD和△CAE都是直角三角形． ∴, ∴Rt△ABD∽Rt△CAE 5.课堂小结，自我完善 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 6.布置作业 教科书P99练习第1，2题. 通过旧知回顾，引发学生的思考，为学习新课作铺垫. 通过思考环节顺势引导学生思考特殊的三角形，尤其是直角三角形相似的判定方法，为后面类比直角三角形全等的知识猜想得出直角三角形相似的判定方法作铺垫. 与全等三角形的判定定理类比，引导学生分析相似三角形的判定方法的猜想过程，在学习过程中体会类比的数学思想方法，培养学生获得数学猜想的经验. 通过猜想、证明、归纳的过程，培养学生利用已学知识证明新命题的能力. 通过归纳让学生熟悉直角三角形相似的特殊判定方法. 通过例题的探究，让学生进一步加深对判定直角三角形相似的特殊判定方法的理解，并熟悉证明三角形相似的过程，增强应用意识. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整. 板书设计 直角三角形相似的判定方法 1.判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 2.探究及应用 提纲挈领， 重点突出. 教后反思 ①授课流程反思 到现在为止，判定三角形相似的方法，除预备定理外，还有三个判定定理，对于两个直角三角形的判定方法，引导学生思考还有没有特殊的判定方法.然后通过复习回顾，引导学生类比判定两个直角三角形全等的方法，探究两个直角三角形相似的特殊的判定方法． ②讲授效果反思 判定两个直角三角形相似的特殊的判定定理的证明，学生会感到困难，所以教师应当注意加以引导，还要注意引导他们自主探究、合作交流，从而调动学生学习的积极性，体现了学生是课堂的主体． 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $