22.4.1 相似三角形的对应线段的性质 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形及相似多边形对应高、中线、角平分线的性质，通过回顾相似比、边和角的性质及判定方法，结合情境提问三角形其他几何量的关系，搭建前后知识学习支架。 以探究为主线引导学生猜想证明对应高的比等于相似比，类比推导中线、角平分线性质，培养推理能力。应用电灯影子、矩形零件加工等实例，体现模型意识与应用意识，提升学生解决实际问题能力，助力教师高效教学，落实核心素养。

第1课时　相似三角形的对应线段的性质 课题 第1课时　相似三角形的对应线段的性质 授课人 教 学 目 标 1.理解并掌握相似三角形及相似多边形的对应高、对应中线、对应角平分线的性质. 2.能够运用相似三角形及相似多边形的性质解决相关问题. 3.经历相似三角形各条性质的简单推理过程,进一步深化对相似三角形的认识. 4.学会把多边形问题转化为三角形问题来解决的方法. 教学 重点 　　相似三角形及相似多边形的对应高、对应中线、对应角平分线的性质. 教学 难点 　　相似三角形及相似多边形的对应高、对应中线、对应角平分线的性质及其应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 提出问题: 1.相似三角形的相似比指的是什么?相似三角形的边和角有什么性质? 2.相似三角形的判定方法有哪些? 　　复习相似比及根据定义得到的性质,为进一步探究性质做准备. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考:三角形中有各种各样的几何量,例如三条边的长度,三个内角的度数,高、中线、角平分线的长度,如果两个三角形相似,那么它们的这些几何量之间有什么关系呢? 导语:根据三角形相似的定义可知,相似三角形的对应角相等,对应边成比例.下面,我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系. 小组活动:可以先讨论,让学生把全等三角形的判定写到纸上,再由此类比相似判定是否也要这些条件呢?可以派代表汇报,教师在黑板上可以对应表格呈现,这样方便类比对照,让学生更直观地感受区别与联系. 　　“思考”指出本节要研究的是当两个三角形相似时,三角形中各种各样的几何量之间的关系,并且让学生思考,这些几何量之间可能存在什么关系,让学生对要研究的问题做到心中有数. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】相似三角形对应线段的比等于相似比 教师提问:问题1:三角形除了三个角、三条边外,还有哪些要素? 问题2:如图22-4-8,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少? 图22-4-8 导语:针对上面的问题,教师可以引导学生先思考,并拿出一个证明当例子,这样更好地指导学生完成推理. 猜想证明:如图22-4-9,如果△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD,A'D'是对应高,试猜想△ABC和△A'B'C'对应高的比是多少. 引导学生得出结论:△ABC和△A'B'C'对应高的比等于相似比k. 推理论证:已知:如图22-4-9,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD,A'D'是对应高. 求证:==k. 图22-4-9 证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'. 又∵∠BDA=∠B'D'A'=90°, ∴Rt△ABD∽Rt△A'B'D',∴==k. 概括新知:相似三角形对应高的比等于相似比. 让学生参照上面的过程,试着证明:相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比,分组呈现证明过程. 　　通过小组探究合作,类比探究过程,引发学生主动探究思考,提高学生的类比思维能力和归纳能力. 【应用举例】 例1　如图22-4-10,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2,CD=5,点P到CD的距离是3,求点P到AB的距离. 图22-4-10 解:如图22-4-10,过点P作PF⊥CD于点F,交AB于点E,易知PE⊥AB. ∵AB∥CD, ∴△PAB∽△PCD, ∴=,∴=, ∴PE=,即点P到AB的距离为. 例2　如图22-4-11,一块三角形铁皮,它的边BC=80 cm,高AD=60 cm.要把该铁皮加工成矩形零件,使矩形的两边之比为2∶1,且矩形长的一边位于边BC上,另两个顶点分别在边AB,AC上.求这个矩形零件的边长. 图22-4-11 解:如图22-4-11,矩形PSRQ为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P,Q分别在边AB,AC上,△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为x cm,则PQ为2x cm. ∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC. ∴=.即=. 解方程,得x=24,则2x=48. 答:这个矩形零件的相邻两边长分别是48 cm和24 cm. 　　在对相似三角形对应线段的比等于相似比的探究基础上,进一步运用转化的思想解决实际问题,让学生深入体会相似比的应用. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则两个三角形对应高的比为 (A) A.3∶2　　 　B.3∶5　　 　C.9∶4　　　 D.4∶9 2.已知△ABC∽△A'B'C',BC=3.6 cm,B'C'=6 cm. ①若△ABC的中线AE=2.4 cm,则△A'B'C'的中线A'E'的长为　4　cm;  ②△A'B'C'和△ABC的对应角平分线之比为　5∶3　.  3.如图22-4-12,这是圆桌正上方的灯泡(点A)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图,已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米,若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积约为多少(π取3.14,结果保留两位小数)? 图22-4-12 解:∵FH=1米,AH=3米, 桌面的直径为1.2米, ∴AF=AH-FH=2米, DF=1.2÷2=0.6(米). ∵DF∥CH(易知), ∴△ADF∽△ACH, ∴=,即=, ∴CH=0.9米, ∴阴影部分的面积为π·CH2=π×0.92≈2.54(米2). 答:地面上阴影部分的面积约为2.54平方米. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 请同学们回顾问题: (1)这节课我们学到了哪些知识? (2)我们是用哪些方法获得这些知识的? 学生独立思考,相互交流,相互提醒,教师点评,并进行最后的归纳. 　　对于相似三角形性质的归纳,是学生对相似三角形特征的再认识,是对所学知识的提炼和升华,既突出了重点,又培养了学生的概括能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本课以学生的自主探究为主线,引入新课时,从学生身边熟悉的例子出发,来激发学生的学习兴趣.在猜想、证明相似三角形和相似多边形的性质时,也遵循学生的认知规律,循序渐进,易于学生理解. ②[讲授效果反思] 通过思考、探究、讨论,让学生切身感受到自己是学习的主人,为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础.加强课内探究、分组讨论等形式,丰富课堂气氛,激发学生的求知欲望,使学生的主体地位得到了尊重. ③[师生互动反思] 　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　  　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $