21.4 第3课时 利用二次函数模型解决抛物线形运动问题-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数模型解决抛物线形运动问题，通过回顾二次函数图象与性质搭建学习支架，衔接新旧知识，为新知探究奠定基础。 以篮球投篮、汽车刹车等真实情境问题驱动教学，引导学生建立坐标系、抽象函数模型，培养数学眼光与模型意识，例题与训练结合提升推理能力，助力教师高效教学，学生深化知识理解与实践运用。

21.4 二次函数的应用 第3课时 利用二次函数模型解决抛物线形运动问题 课题 利用二次函数模型解决抛物线形运动问题 课型 新授课 教学内容 教材39-42页的内容 教学目标 1.熟悉二次函数的图象和性质. 2.会根据二次函数模型解决抛物线形运动问题. 3.提高学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力. 教学重难点 教学重点：利用二次函数模型解决抛物线形运动问题. 教学难点：应用二次函数建模. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【回顾】 函数y=ax²+bx+c的图象和性质： 2.例题探究，学习新知 【探究1】二次函数与高度问题 【例1】某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高 m,与篮圈中心的水平距离为7 m,当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m,设篮球运行轨迹为抛物线,篮圈距地面3 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中? (2)此时,若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1 m,那么他能否获得成功? 解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A,B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点. 设二次函数表达式为y=a(x-h)2+k,将点A,B的坐标代入,可得y=-(x-4)2+4. 将点C的坐标代入表达式,得左边=右边,即点C在抛物线上,所以此球一定能投中. (2)将x=1代入表达式,得y=3. 因为3.1>3,所以盖帽能获得成功. 【探究2】二次函数与刹车距离 【例2】已知某型汽车在干燥的路面上,汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系. (1)请你以汽车刹车时的车速v为自变量,刹车距离s为函数,在如图所示的坐标系中描点、连线,画出函数的图象； (2)观察所画的函数图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数表达式； (4)用你留下的两对数据,验证所得到的结论是否正确. 解：（1）描点连线,画出函数的图象如下： (2)图象可看成是一条抛物线,这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数表达式为s=av2+bv+c, 把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c, 得解得 ∴s=v2+v. (4)当v=80时,v2+v=802+80=52.5, ∵s=52.5,∴s=v2+v. 当v=112时,v2+v=1122+112=94.5, ∵s=94.5, ∴s=v2+v,经检验,所得结论是正确的. 【师生活动】根据以上例题，师生共同归纳总结解决抛物线形运动问题时，应注意的点： (1)首先要搞清问题中的变量和常量，以及它们之间的关系，以便代入函数表达式； (2)建立适当的直角坐标系，用二次函数表达式将问题中的变量和常量的关系表示出来，将相关点的坐标代入所设函数表达式，确定出二次函数表达式，并应用解决问题. 3.学以致用，应用新知 【例1】在一次排球比赛中，球员奋力救球，球从靠近地面处被垫起，这时排球离地面的高度h m与被垫起后的时间t s满足关系式 h=-5t2+10t+0.2. (1)排球离地面的的最大高度是多少？ (2)已知某运动员在2.6 m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，那么球被垫起后多长时间扣球最佳(结果精确到0.1 s) 解：（1）h=-5t2+10t+0.2=-5（t-1）2+5.2. 答：当t=1时，h取得最大值，最大值为5.2 m. （2）由（1）知，h=-5（t-1）2+5.2. 当h=2.6时，有-5(t-1)²+5.2=2.6, 解方程，得t1≈0.3，t2≈1.7. 排球在上升和下落中，各有一次经过2.6m的高度，但第一次经过此高度时，离排球被垫起后仅0.3s，如果要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功. 答：该运动员应在排球被垫起后0.3 s时扣球最佳. 【例2】由于惯性，行驶中的汽车在制动后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”，为了了解某型号汽车的制动性能，工作人员对其进行了测试，测得数据如下表： 有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，制动时该车的车速是多少?是否超速(该段公路限速为10km/h)? 分析:要解答这个问题，就是要解决已知制动距离时，如何求得相应的制动时车速.题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数表达式是解答本题的关键. 解：设制动时车速为x km/h，制动距离为y m，在平面直角坐标系中描出各组数据(x，y)对应的点，如图. 观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y与x之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设y =ax² +bx + c. 在已知数据中任选三组，如取(0.0).(10,0.3).(20，1.0)，分别代人所设函数的表达式，得 解方程，得 所求函数的表达式为y =0.002x²+0.01x (x≥0). 把y=46.5代入上式，得 46.5 =0.002x² +0.01x. 解方程，得x1=150，x2=-155（舍去）. 答：制动时车速为150km/h(>110km/h)，该汽车属超速行驶. 4.随堂训练，巩固新知 （1）从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的函数关系式为h＝ (t-3)2+40，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高米，则两个小球抛出的间隔时间是(　　) A.1 s　 B.1.5 s　 　C.2 s　　 D.2.5 s 答案：B （2）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t-t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是　　　　m. 答案：24 （3）飞机着陆后滑行的距离S(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数表达式是S＝60t-1.5t2，飞机着陆后滑行　　　　米飞机才能停下来. 答案：600 （4）如图，训练排球场的长度OD为15米，位于排球场中线处球网的高度AB为2.5米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞出.当排球运行至离点O的水平距离OE为5米时，到达最高点G.将排球看成一个点，它运动的轨迹是抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系. ①当排球上升的最大高度为3米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式.(不要求写自变量x的取值范围) ②在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为2.7米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明. ③若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界) 解：①由题意知顶点G(5，3)，设y＝a(x-5)2+3，把C(0，2)代入，得2＝a(0-5)2+3， 解得a＝-，∴y＝-(x-5)2+3. ②由题意可知，OD＝15米， ∴OB＝7.5米，OF＝7.5+0.5＝8（米）. 当x＝8时，y＝-×(8-5)2+3＝2.64（米）＜2.7米， ∴这次她可以拦网成功. ③设y＝a(x-5)2+h，将C(0，2)代入，得a(0-5)2+h＝2，解得a＝，∴y＝. 由解得h＞. 答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h＞. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课你学到了什么？ （2）建立函数模型解决实际问题的步骤是什么？ 6.布置作业 教科书P41第1，2，3题，P42习题21.4第4题. 通过回顾前面的知识，帮助学生建立起新旧知识之间的联系，为接下来学习新课作铺垫. 以与实际问题结合的形式引导学生观察并思考回答问题，探究二次函数在抛物线形运动中的应用. 通过例题的探究让学生进一步熟悉如何利用二次函数解决实际问题，并强调实际问题中要考虑自变量的取值范围. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，熟练掌握如何利用二次函数相关知识解决实际问题，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 利用二次函数解决实际问题 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 本节课重点是如何利用二次函数建立数学模型,并利用二次函数的有关性质来解决实际问题.在本节课的教学过程中有两个难点:(1)如何将情景中的已知条件转化为平面直角坐标系中有关点和线的问题.(2)如何根据实际情景建立最有利于问题解决的直角坐标系. 为了解决上述两个问题,我做了这样的处理:设置课前练习,分散难点;设置分组讨论,让学生在集体讨论中体会直角坐标系的建立;将题目问题细化,降低题目难度. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $