21.1 二次函数-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数概念、表达式及自变量取值范围，通过回顾函数定义与一次函数知识，结合喷泉、投篮等生活实例导入，搭建新旧知识联系的学习支架。 以水产养殖围网面积、销售额增长等实际问题为载体，引导学生抽象二次函数关系，培养抽象能力（数学眼光）。通过对比问题表达式自主总结定义，发展推理意识（数学思维）。实际应用如圆环面积计算，提升用数学语言表达现实问题的能力，帮助学生建立函数模型思想，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

第21章 二次函数与反比例函数 单 元 备 课 第 21章 本单元所需课时数 14课时 课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 3.会求二次函数的最值，并能确定相应自变量的值，能利用二次函数解决实际问题. 4.理解二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 5.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 6.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k > 0和k＜0时图象的变化情况. 7.能用反比例函数解决简单实际问题. 教材分析 本章通过大量丰富的现实背景，通过学生感兴趣的、多学科的问题，使学生感受二次函数和反比例函数的意义，感受数学与实际生活的广泛联关系和应用价值.另外，本章对二次函数和反比例函数的总体内容的呈现都经历了概念的抽象、图象和性质的研究以及图象和性质在数学和实际生活中的应用等过程.经历了从简单到复杂、从特殊到一般的过程,渗透了从特殊到一般、分类讨论的数学思想方法，使学生在学到数学知识的同时,更学到了研究问题的方法. 主要内容 本章的主要内容是学习两种函数——二次函数与反比例函数.主要包括五节：第21.1节“二次函数”主要理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般表达式；第21.2节“二次函数的图象和性质”是能够利用描点法作出二次函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的图象和性质；第21.3节“二次函数与一元二次方程”主要是理解二次函数与一元二次方程（不等式）的关系，并能运用二次函数及其图象、性质确定方程的近似解；第21.4节“二次函数的应用”主要是利用二次函数的图象和性质解决实际问题；第21.5节“反比例函数”主要是理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象与性质，会用待定系数法求出反比例函数的表达式. 教学目标 1.了解二次函数和反比例函数的意义,掌握二次函数和反比例函数图象的画法. 2.理解二次函数顶点坐标及最大值和最小值的意义. 3.会根据不同的条件，确定二次函数或反比例函数的解析式，会用待定系数法. 4.会把一些实际问题归结为二次函数或反比例函数问题，并会运用二次函数或反比例函数的性质加以解决． 课时分配 21.1 二次函数 1课时 21.2 二次函数的图象和性质 6课时 21.3 二次函数与一元二次方程 1课时 21.4 二次函数的应用 3课时 21.5 反比例函数 2课时 小结·评价 1课时 知识结构 教与学建议 1.创设丰富的实际情景，注意把数学问题和实际问题相联系. 2.重视培养学生在解决实际问题时建立函数模型的意识，并掌握建立函数模型的技能. 3.经历数学知识的应用和对问题的分析过程，注重对学生解决问题能力的培养. 4.注意在教学过程中渗透数学思想方法. 21.1 二次函数 课题 二次函数 课型 新授课 教学内容 教材第2-5页的内容 教学目标 1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系. 2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式. 3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 教学重难点 教学重点：二次函数的概念和一般形式. 教学难点：在实际问题中确定函数表达式和确定自变量的取值范围. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【回顾】什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x，y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应.这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.对于上述变量x,y，我们把y叫x的函数，其中x叫自变量，y叫因变量. 【追问】目前我们已经学习了哪几种类型的函数？ 一次函数y=kx+b(k≠0)，包括正比例函数y=kx(k≠0). 【教师活动】教师展示一组实际生活中的例子：喷泉、投篮、彩虹桥(还可以引导学生自己想一想生活中类似的例子，并说一说). 这些美丽的弧线会与某种函数有联系吗？这节课我们就一起探究！ 2.类比探究，学习新知 【问题1】如图，某水产养殖户用长40 m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 提示：解决这个问题，首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系. 解：设围成的矩形水面的一边长为x m，则邻边长为(20 – x) m. 设它的面积是S m2，则有S=x(20–x)”. 【追问】你能描述一下S与x之间的关系吗？ 对于x的每一个值，S都有唯一确定的对应值，即S是x的函数. 【问题2】某公司今年1月销售额为100万元.公司制定销售目标，计划每月销售额增长率为x.按此计划，3月的销售额是多少万元？ 解：按题意，2月的销售额为100（1+x）万元，则第3个月的销售额y（单位：万元）为y=100（1+x）2. 【追问】你能描述一下y与x之间的关系吗？ 对于x的每一个值，y都有唯一确定的对应值，即y是x的函数. 【问题3】在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起后。排球离地面的高度h m与被垫起后的时间t s满足 h=10t-t2+0.2. 排球离地面的最大高度是多少？ 对于t的每一个值，h都有唯一确定的对应值，即h是t的函数. 在问题1中，函数的表达式为S=x(20–x)= –x2+20x. 在问题2中，函数的表达式为y=100（1+x）2=100x2+200x+100. 在问题3中，函数的表达式为h=10t-t2+0.2=-5t2+10t+0.2. 【思考】观察上边两个函数关系式，它们有什么特点呢？ 这两个问题中，函数的表达式都是自变量的二次整式. 【追问1】你能给这类特殊的函数下个定义吗？ 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫作x的二次函数，其中x是自变量. 注意：(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；(3) a，b，c是常数，且a≠0. 【追问2】在问题1中，得到的关系式“S = –x2+20x”中，自变量x的取值有什么限制呢？ 这里的x表示的是矩形的一个边长，得到x＞0. 由“长40 m的围网”，得到矩形水面的周长是40 m，则矩形的长、宽之和为20 m，所以x＜20. 所以x的取值范围是：0＜x＜20. 总结：二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 【做一做】 下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？ (1)y=3x²–2 ( ) (2)m=–n²–3 ( ) (3)y=x(1–2x)+2x² ( ) (4)y= x(+3x) ( ) (5)y=+x²–2 ( ) (6)y=x²(1+x²) ( ) 根据二次函数的定义进行判断即可. 答案：(1)√；(2)√；(3)×；(4)√；(5)×；(6)×. 3.学以致用，应用新知 【例1】下列关系式中，x为自变量，哪些是二次函数？ y=3x²-1，y=5x²-2x，y=-2x²+x-1，y=4-x³，，. 答案：y=3x²-1，y=5x²-2x，y=-2x²+x-1均为二次函数. 【例2】写出下列函数关系式： （1）从已知半径为R的圆板上挖掉一个半径为r（r＜R）的同心圆板，求所剩圆环面积S关于r的函数关系式； （2）长方体的长与宽相等，均为x，高为8.求长方体表面积S关于x的函数关系式； （3）正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y，求y关于x的函数关系式； 答案：（1）S=π（R²-r²）. （2）S=2x²+32x. （3）y=(x+5)²-25=x²+10x. 【例3】m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？ 解：若函数是以x为自变量的二次函数，则．解得，且．因此，当，且时，函数是以x为自变量的二次函数． 【变式】关于x的函数是二次函数，求m的值. 分析满足的条件：①等号右边的整式要含有二次项；②二次项系数不等于0. 解：根据题意，得m2–m=2，m+1≠0. 解得，m=2. 所以m=2时，函数是二次函数. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列函数表达式中，一定为二次函数的是( ) A.y=3x－1 B.y=ax2＋bx＋c C.s=2t2－2t＋1 D.y=x2＋ 答案：C （2）已知函数y=(m2+m)x2+mx+4为关于x的二次函数,则m的取值范围是( ) A.m≠0 B.m≠-1 C.m≠0且m≠-1 D.m=-1 答案：C （3）国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为36元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系式为(　　) A.y=72(1-x)　　 B.y=36(1-x) C.y=36(1-x2)　　 D.y=36(1-x)2 答案：D （4）对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是( ) A.当b=0时，二次函数是y=ax2+c B.当c=0时，二次函数是y=ax2+bx C.当a=0时，一次函数是y=bx+c D.以上说法都不对 答案：D （5）某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足下表中的函数关系． x/(元/件) 35 40 45 50 55 y/件 550 500 450 400 350 (1)求y与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)设公司试销该产品每天获得的毛利润为S(元)，求S与x之间的函数表达式(毛利润＝销售总价－成本总价)． 解：(1)设y与x之间的函数关系满足y＝kx＋b. 把x＝40，y＝500；x＝50，y＝400分别代入上式得解得∴y＝－10x＋900. ∵表中其他对应值都满足y＝－10x＋900， ∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为 y＝-10x＋900(30≤x≤80)． (2)S＝(x-30)·y＝(x-30)·(-10x+900)＝-10x2+1 200x-27 000， 即S与x之间的函数表达式为S＝-10x2+1 200x-27 000(30≤x≤80)． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答一下问题： （1）二次函数的定义是什么？ （2）自变量的取值范围怎样确定？ 6.布置作业 教科书P4练习第1-3题，P5习题21.1第1，2题. 回顾旧知，为本节新课的学习做铺垫. 让学生体会引入二次函数概念的现实背景，感受其实际意义，激发学生学习的动力. 通过实际问题的探究，使学生在学习过程中和实际应用中逐步认识二次函数. 理解二次函数的概念，提高学生总结概括能力. 在认识二次函数概念的基础上，进一步学习自变量取值范围的确定. 通过练习巩固对二次函数的认识和理解. 通过典型例题的分析和讲解，进一步认识和理解二次函数. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 二次函数 1.概念和一般形式 2.列函数关系式 框架图式总结，更容易形成知识网络. 教后反思 本节课通过引导学生观察图象和思考问题，激发了学生的学习兴趣.通过例题练习和拓展应用，观固了学生对二次函数的理解和运用能力.同时，通过归纳总结和作业布置，使学生能够进一步环固所学知识.整个教学过程生动有趣，学生参与度高，达到了预期的教学目标. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $