专题21.3 二次函数的图象和性质（提高篇）（举一反三讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，系统构建从一般式与顶点式转化、图象特征、系数关系到解析式求解（一般式、顶点式、交点式），再到平移、对称、最值、取值范围及最短路径应用的递进学习支架。 资料以15类题型为核心，通过例题与变式题实现举一反三，培养学生从图象抽象数量关系的数学眼光，锻炼推理意识，渗透模型观念。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题21.3 二次函数的图象和性质（提高篇）（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 二次函数y=ax²+bx+c图象上点的坐标特征】 2 【题型2 二次函数y=ax²+bx+c的性质】 4 【题型3 二次函数y=ax²+bx+c的图象】 7 【题型4 二次函数图象与各项系数符号】 10 【题型5 一次函数的图象综合判断】 13 【题型6 两个二次函数图象的综合判断】 17 【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】 23 【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】 26 【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】 30 【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】 33 【题型11 二次函数图象的平移】 37 【题型12 二次函数的对称性】 39 【题型13 二次函数的最值】 42 【题型14 二次函数的取值范围】 44 【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】 47 考点1 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 【题型1 二次函数y=ax²+bx+c图象上点的坐标特征】 【例1】已知二次函数的顶点坐标为，则（1）的值为________； （2）当时，若y的最小值与最大值之和为12，则a的值为________． 【答案】 3 4 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标公式，列式计算即可得解； （2）分两种情况进行讨论：①当时；②当时；分别计算即可求出的值． 【详解】解：（1）二次函数的顶点坐标为， ， ， ； 故答案为：3； （2）由（1）可知：， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，的最大值为，显然不符合题意； ②当时，的最小值为，的最大值为， 由得 ， 或（舍去） 故； 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、对称轴与运用分类思想与数形结合思想求函数的最值是解答此题的关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 【变式1-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于(   ) A．7 B．15 C．7或15 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质和把二次函数解析式化为顶点式；抛物线顶点到轴的距离是，即顶点纵坐标的绝对值为． 先配方把二次函数解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标表达式，解方程即可． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为 依题意， 解得：或 故选：C． 【变式1-3】（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标． 把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值． 【详解】解：， ，， 抛物线的“相对深度”为6， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【题型2 二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【例2】（2026·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向，结合与x轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵抛物线 的二次项系数 ∴抛物线开口向下，且与轴交于，，， 对选项A：点在抛物线上，当时，，A正确； 对选项B：当时，可得或，B错误； 对选项C：将抛物线配方得 ，顶点纵坐标为， ∵，当时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C错误； 对选项D：联立与， 消去整理得 ， 该方程判别式 ，总有实数根， ∴抛物线与直线总有交点，D错误． 【变式2-1】（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出对称轴为直线，故点为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得，，进而可判断出，因为恒为正，且，故必为负，必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，故点为顶点坐标． ， 二次函数的图象还过，两点， ，， 比较点和点到对称轴的距离， 即，且， ． ∵， 恒为正， ∵， 必为负，必为正， 故有， 解得：． 【变式2-2】（2026·江苏宿迁·二模）设二次函数（，为常数，）经过点、．若，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】将已知两点代入二次函数解析式，对式子变形整理得到关于的表达式，结合的条件，解不等式即可得到的取值范围，再结合即可得解． 【详解】二次函数经过点、， ， 得，， ， ， ，解得， ， 的取值范围是且． 【变式2-3】（25-26九年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当有， 可得或， ∴或 ， 解得； 综上，或． 【题型3 二次函数y=ax²+bx+c的图象】 【例3】（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，二次函数的部分图象与轴交于，该函数图象的顶点坐标为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据对称轴写出与轴的交点坐标是解题的关键． 首先根据顶点坐标得到对称轴，再根据一个与轴的交点写出另一个与轴的交点即可． 【详解】解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与轴交于， ∴另一个交点为， 故答案为：． 【变式3-1】在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中组成的二次函数图象a值最小的三点为（　　） A．M，P，Q B．M，N，P C．N，P，Q D．M，N，Q 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据4个点的位置结合二次函数的性质判断求解即可，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． 【详解】解：由图可知， 过M，P，Q和过N，P，Q的二次函数开口向上，，故排除A和C， ∵越大，开口越小， ∴当时，开口小的那个a更小， 由图可知，过M，N，P三点的二次函数的开口更小， ∴过M，N，P三点的二次函数的a更小， 故选：B． 【变式3-2】如图是二次函数图象的一部分，图象过抛物线的对称轴为直线，若、、，均为函数图象上的点，则、、大小关系为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：根据函数的图象知时，函数的值随的增大而减少， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 考点2 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 【题型4 二次函数图象与各项系数符号】 【例4】二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 【变式4-1】（2026·贵州遵义·一模）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：，，则点所在的象限即可判定． 【详解】解：观察图象得：开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴点位于第二象限． 【变式4-2】（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 【变式4-3】（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】由二次函数开口向下，对称轴，交y轴于正半轴可得，，，从而，故①正确；由顶点的坐标为可得对于任意实数，都有，即，故②不正确；由二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间得，又，故，即，故③正确；由点和点关于对称和点位于和之间可得点的横坐标位于3和4之间，故④正确． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴， ， 二次函数交y轴于正半轴， ， ，故①正确； 顶点的坐标为， 当时，y最大为， 对于任意实数，都有，即，故②不正确； 二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间， 当时，， ，即， ，即，故③正确； 若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点和点关于对称， 点位于和之间，，， 点的横坐标位于3和4之间，故④正确； 综上所述，①③④正确． 【题型5 一次函数的图象综合判断】 【例5】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 【变式5-1】（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数 图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数 的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 【变式5-2】（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图像上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 故， ， ， 当时，由函数图像可知， ， ， 即，解得， ，， ， 即， ； 故D正确； 故选D． 【变式5-3】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数系数与图象的关系，以及二次函数开口方向、对称轴与系数的关系是解题的关键． 先根据一次函数图象经过的象限，确定系数和的符号；再根据、的符号，分析二次函数的开口方向、对称轴位置，从而判断二次函数的大致图象． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，． ∵， ∴， ∴二次函数的图象开口向上． ∵二次函数的对称轴为， 又，， ∴， ∴对称轴在轴左侧． ∵二次函数开口向上，对称轴在轴左侧， ∴符合条件的图象是选项A． 故选：A． 【题型6 两个二次函数图象的综合判断】 【例6】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 【变式6-1】已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 【详解】解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【变式6-2】抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式6-3】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 考点3 求二次函数的解析式 知识点3 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】 【例7】（24-25九年级下·湖南郴州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点，    解得 这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：． （2）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的表达式．熟悉利用待定系数法求二次函数的表达式是解题的关键． 根据待定系数法代入已知点坐标即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，，三点， 代入已知点坐标，得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将点、代入，解得b、c的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上即可． 【详解】（1）解：将点、代入， 得解得 抛物线的表达式． （2）解：， 该抛物线的顶点为． 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， 顶点纵坐标应为0． 将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 的值是5． 【变式7-3】（2024·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，由于的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点，根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点，然后再求出直线的表达式为即可． 【详解】（1）解：依题意，得 解得 即抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，， 的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点， ∴ ∴根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点． 设直线的表达式为， 则 解得 此直线的表达式为， 把代入，得， 点的坐标为． 【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】 【例8】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移问题： （1）设点M的坐标为，可设二次函数的表达式为，再把点，代入，求出a，m的值，即可； （2）根据由平移的性质可得，从而得到四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 【变式8-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． 【详解】（1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 【变式8-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 【变式8-3】（25-26九年级上·山东滨州·期末）二次函数：已知抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)请画出抛物线的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）； (3)试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 【答案】(1) (2)见解析 (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（或先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度） 【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，画二次函数图象，二次函数图象的平移问题． （1）设顶点式解析式，再代入点即可求解； （2）按照列表、描点、连线的步骤作图即可； （3）根据抛物线的平移规律：上加下减、左加右减求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设抛物线的解析式为 ∵抛物线经过点 ∴把，代入得， 解得 ∴此抛物线的解析式为； （2）解：列表 …… 2 …… …… 7 7 …… 描点、连线，如图： （3）解：当时，原抛物线为，所求抛物线为 ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 或先将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到 ， ∴平移方式为先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（或先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度）． 【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】 【例9】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，， ∴设抛物线为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【变式9-1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设二次函数的解析式为，将代入解析式进一步求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【变式9-2】已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等等： （1）把解析式设为交点式，再把点C坐标代入解析式中求解即可； （2）根据题意G是边垂直平分线的交点，由的垂直平分线为直线，可设点G的坐标为，利用勾股定理求出，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 将代入得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点G到A，B，C三点的距离相等， ∴G是边垂直平分线的交点， ∴， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， ∴可设点G的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式9-3】（24-25九年级上·湖北十堰·阶段检测）材料一：经过一点的直线解析式总可以表示为：比如过一点的直线解析式可以表示为：． 材料二：二次函数的图象若与直线有两点交点，，则此二次函数可表示为：，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”； (1)由材料一：直接写出直线经过的定点坐标； (2)由材料二：若二次函数经过，，， 试求该二次函数的解析式．（结果写成一般式） (3)若一次函数与（2）中的抛物线交于点，试用k表示出另一交点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料一求解即可； （2）根据材料二求解即可； （3）首先联立一次函数和二次函数，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）由材料一得，直线 ∴直线经过的定点坐标为； （2）由材料二得， ∵二次函数与直线交于点和 ∴该二次函数的解析式为 ∴； （3）联立一次函数和得 ∴ 整理得， ∵一次函数与（2）中的抛物线交于点， ∴设另一交点的横坐标为x ∴ ∴ ∴另一交点的横坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的性质，求函数表达式，根于系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】 【例10】抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为____． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线关于原点对称的抛物线解析式求法．求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可 【详解】解：， ∴顶点坐标为：； 又顶点关于原点对称的点的坐标为， 所以，抛物线为， 故答案为： 【变式10-1】在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答． 【详解】解：抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， 即解析式为：． 故选：A． 【变式10-2】规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式10-3】（2024·云南昆明·一模）已知二次函数（为常数且）的顶点在轴上方，且到轴的距离为4． (1)求二次函数的解析式； (2)将二次函数的图象记为，将关于原点对称的图象记为与合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①在网格中画出函数的图象； ②若对于函数上的两点，当时，总有，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①画图如图所示： ； ②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．熟悉二次函数的图象与性质是关键． （1）易求得抛物线的对称轴，从而得顶点纵坐标，由题意，从而求得a的值，即可求得二次函数解析式； （2）首先利用两个图象关于原点对称，求出的解析式；分两种情况即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为：直线， 当，得， 抛物线的顶点在轴上方，且到轴的距离为4， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：①略 ②由题意，得的对称轴为：直线，顶点坐标为， ∵关于原点对称， ∴的顶点关于原点对称，形状相同，开口方向相反， ∴的顶点坐标为， ∴的表达式为：，它的对称轴为：直线， 情况一：当点在轴左侧和点之间时，总有，如下图： 此时，即：； 情况二：当点在轴右侧时，如图： 当时，解得，或， 由题意知，， ， 时，总有有， 综上所述，或时，总有． 考点3考点4 二次函数的综合运用 考点3 【题型11 二次函数图象的平移】 【例11】（2026·河南开封·二模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，根据平移规律可得： 再将所得图象向下平移3个单位长度，可得： ，即 【变式11-1】（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 【变式11-2】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移的左加右减规律得到平移后的解析式，再利用已知交点坐标求出参数的值，最后通过配方法求出平移后抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点， 将，代入解析式，得， 整理得， 解得或， ， ， 将代入平移后的解析式，得， 整理得， 配方得， 平移后抛物线顶点的纵坐标为． 【变式11-3】（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为：， ∵为“平衡点”， ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ， 解得或， ， ． 【题型12 二次函数的对称性】 【例12】（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【答案】2 【分析】由、两点纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，进而求得的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图像上有两点，，两点纵坐标相等， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， 解得． 【变式12-1】（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数对称轴的公式可得，由可得，根据不等式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式12-2】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________． 【答案】 【分析】首先由抛物线的对称轴为得到，将要求的代数式恒等变形为，结合抛物线图象与性质确定关于直线的对称点是，且抛物线过点，从而得到当时，，即可得到答案． 【详解】解：抛物线关于直线对称， ，即， 则， 抛物线过点，且关于直线对称， 关于直线的对称点是，且抛物线过点， 则当时，， 即． 【点睛】对于抛物线中求系数构成代数式的值，通常需要根据代数式的特征来取值，对于缺少某项系数的时候，通常利用对称轴得到恒等式去变形还原出含有的式子后再取值求解． 【变式12-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)解：； 证明：∵点和在二次函数， ∴， 得：， ∴， ∵点和在二次函数， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴. 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点A不在坐标轴上，得到即可得到答案． （3）由点和在二次函数，可得，抛物线对称轴为直线，进一步证明即可. 【详解】（1）解：当时，图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵函数图象过点和， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵函数图象过点和， ∴根据函数图象的对称性可得， ∵， ∴． 【题型13 二次函数的最值】 【例13】（2026·辽宁·一模）已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 【变式13-1】（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 【变式13-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 【变式13-3】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 【题型14 二次函数的取值范围】 【例14】（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质与区间最值问题，先对二次函数配方得到对称轴和最小值，再根据的不同取值范围分情况讨论，结合二次函数的增减性求出对应区间的最大值和最小值，根据最大值与最小值的差为，筛选出符合条件的的取值范围． 【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 ①当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 ②在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， ∴ 综上，的取值范围为 【变式14-1】（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称轴求出抛物线解析式，再找出的范围内的最高点和最低点，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 在的范围内， 当时，有最小值， 当时，有最大值6， ∵直线与抛物线在的范围内有交点， ∴． 【变式14-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围． 先根据点、纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合的取值范围，求出对应的值，进而确定的范围． 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足． 故答案为：． 【变式14-3】二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的坐标特征．先将点，代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， 二次函数为， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值4， 把代入得，，即， 解得，， 在范围内有最大值为4，最小值为， ． 故答案为：． 【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】 【例15】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，得出，点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为，令和分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图所示，连接， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 【变式15-1】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解； 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 【变式15-2】如图，二次函数的图像经过点,与轴交于点,、分别为轴、直线上的动点,当四边形的周长最小时,所在直线对应的函数表达式是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对称性和两点之间线段最短,作出辅助线,将A代入求出函数解析式,进而求出G(3,4),B(0,1),H（0,-1）,待定系数法即可求出直线解析式. 【详解】解：如下图,取A关于抛物线的对称轴的对应点G,B关于x轴的对称点H,连接HG,与抛物线的对称轴交于点D,与x轴的交点为点C,连接AD,CD,BC, 利用对称的性质可知DA=DG,CB=CH, ∵两点之间线段最短,并且此时H,C,D,G四点共线, ∴此时的四边形ABCD是周长最小的, 将代入中得,a=1, ∴抛物线的解析式为, ∴抛物线的对称轴为直线x=1, ∴G(3,4),B(0,1),H（0,-1） 设直线CD的解析式为y=kx+b,(k0) 代入G(3,4), H（0,-1）得 解得： , ∴直线CD的解析式为 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,待定系数法求直线解析式,对称的实际应用,难度较大,首先利用对称性作出辅助线,再用待定系数法求解析式是解题关键. 【变式15-3】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标是． (1)求该二次函数的解析式； (2)在y轴正半轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标以及这个最小值；若不存在，请说明理由； (3)若将线段向右平移n个单位长度，若线段与二次函数的图象无交点，请直接写出平移距离n的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）先找对称点，再连接，根据两点之间线段最短确定的最小值，进而确定点P坐标； （3）数形结合，根据临界值判断n的取值范围． 【详解】（1）将代入得，，所以解析式为； （2）由可知，，对称轴为， ，对称轴， 取点C关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点P，此时的值最小，最小值为的长． 设直线的解析式为，将、代入得，解得，，． 此时的值最小，最小值为的长，； （3）连接， 由知，， 线段向右平移时，当点与点重合时，线段与二次函数的图象有交点，此时，，当时，线段与二次函数的图象无交点； 线段继续向右平移，当点与点重合时，线段与二次函数的图象有交点，此时，令，，解得，，，，当时，线段与二次函数的图象无交点； 综上所述，或，线段与二次函数的图象无交点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式、最短路径问题、勾股定理、交点问题，数形结合是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3 二次函数的图象和性质（提高篇）（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 二次函数y=ax²+bx+c图象上点的坐标特征】 2 【题型2 二次函数y=ax²+bx+c的性质】 2 【题型3 二次函数y=ax²+bx+c的图象】 3 【题型4 二次函数图象与各项系数符号】 5 【题型5 一次函数的图象综合判断】 6 【题型6 两个二次函数图象的综合判断】 7 【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】 10 【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】 10 【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】 11 【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】 12 【题型11 二次函数图象的平移】 13 【题型12 二次函数的对称性】 13 【题型13 二次函数的最值】 14 【题型14 二次函数的取值范围】 14 【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】 15 考点1 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 【题型1 二次函数y=ax²+bx+c图象上点的坐标特征】 【例1】已知二次函数的顶点坐标为，则（1）的值为________； （2）当时，若y的最小值与最大值之和为12，则a的值为________． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【变式1-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于(   ) A．7 B．15 C．7或15 D．或 【变式1-3】（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为______． 【题型2 二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【例2】（2026·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【变式2-1】（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·江苏宿迁·二模）设二次函数（，为常数，）经过点、．若，则的取值范围是______． 【变式2-3】（25-26九年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 【题型3 二次函数y=ax²+bx+c的图象】 【例3】（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，二次函数的部分图象与轴交于，该函数图象的顶点坐标为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标为_________． 【变式3-1】在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中组成的二次函数图象a值最小的三点为（　　） A．M，P，Q B．M，N，P C．N，P，Q D．M，N，Q 【变式3-2】如图是二次函数图象的一部分，图象过抛物线的对称轴为直线，若、、，均为函数图象上的点，则、、大小关系为______． 【变式3-3】已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 考点2 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 【题型4 二次函数图象与各项系数符号】 【例4】二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【变式4-1】（2026·贵州遵义·一模）二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-3】（25-26九年级下·广东河源·阶段检测）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 【题型5 一次函数的图象综合判断】 【例5】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型6 两个二次函数图象的综合判断】 【例6】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【变式6-2】抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【变式6-3】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 考点3 求二次函数的解析式 知识点3 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】 【例7】（24-25九年级下·湖南郴州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)求这条抛物线的对称轴、顶点坐标． 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【变式7-2】（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【变式7-3】（2024·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】 【例8】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【变式8-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 【变式8-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【变式8-3】（25-26九年级上·山东滨州·期末）二次函数：已知抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)请画出抛物线的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）； (3)试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】 【例9】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 【变式9-1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 【变式9-2】已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标． 【变式9-3】（24-25九年级上·湖北十堰·阶段检测）材料一：经过一点的直线解析式总可以表示为：比如过一点的直线解析式可以表示为：． 材料二：二次函数的图象若与直线有两点交点，，则此二次函数可表示为：，我们称此形式为“广义的二次函数交点式”； (1)由材料一：直接写出直线经过的定点坐标； (2)由材料二：若二次函数经过，，， 试求该二次函数的解析式．（结果写成一般式） (3)若一次函数与（2）中的抛物线交于点，试用k表示出另一交点的横坐标． 【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】 【例10】抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为____． 【变式10-1】在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A． B． C． D． 【变式10-2】规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 【变式10-3】（2024·云南昆明·一模）已知二次函数（为常数且）的顶点在轴上方，且到轴的距离为4． (1)求二次函数的解析式； (2)将二次函数的图象记为，将关于原点对称的图象记为与合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①在网格中画出函数的图象； ②若对于函数上的两点，当时，总有，求出的取值范围． 考点3考点4 二次函数的综合运用 考点3 【题型11 二次函数图象的平移】 【例11】（2026·河南开封·二模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 【变式11-1】（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【变式11-2】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【题型12 二次函数的对称性】 【例12】（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【变式12-1】（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________． 【变式12-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 【题型13 二次函数的最值】 【例13】（2026·辽宁·一模）已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【变式13-1】（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【变式13-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【变式13-3】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【题型14 二次函数的取值范围】 【例14】（2026·江苏镇江·二模）已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 【变式14-1】（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是___________． 【变式14-3】二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围为______． 【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】 【例15】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 【变式15-1】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则___________． 【变式15-2】如图，二次函数的图像经过点,与轴交于点,、分别为轴、直线上的动点,当四边形的周长最小时,所在直线对应的函数表达式是(     ) A． B． C． D． 【变式15-3】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标是． (1)求该二次函数的解析式； (2)在y轴正半轴上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标以及这个最小值；若不存在，请说明理由； (3)若将线段向右平移n个单位长度，若线段与二次函数的图象无交点，请直接写出平移距离n的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $