21.2.3.1 二次函数表达式的确定(1) 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数表达式的确定，通过回顾一次函数待定系数法及二次函数一般式、顶点式，搭建旧知支架衔接新知，再以抛物线形立交桥拱实际问题导入，激发探究兴趣。 此资料亮点在于一题多解（如例1用一般式与顶点式求解）和小组讨论总结方法，培养数学思维（推理能力）与数学眼光（从实际抽象模型），当堂训练巩固不同类型问题，助力学生提升灵活解题能力，为教师提供清晰教学流程与反思方向。

第1课时　二次函数表达式的确定(1) 课题 第1课时　二次函数表达式的确定(1) 授课人 教 学 目 标 1.让学生利用已知条件设恰当的函数表达式,用待定系数法求二次函数的表达式. 2.指导学生利用二次函数的表达式和性质解决问题. 3.通过一题多解和不同形式不同解答的教学方式和方法,培养学生的思维能力和转化能力. 教学 重点 　　如何根据已知条件设恰当的函数表达式. 教学 难点 　　如何根据已知条件的特点,灵活选择并设立恰当的二次函数表达式形式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.求下列函数的表达式: (1)一个正比例函数的图象经过点(2,-4); (2)一个一次函数的图象与x轴交于点(3,0),与y轴交于点(0,6). 2.用待定系数法求函数表达式的基本步骤有哪些? 3.学习过的二次函数的表达式有哪些形式? 师生活动:学生独立完成并进行口述,教师对学生的解答情况进行评价并总结. 用待定系数法求函数表达式的步骤:设出表达式、列出方程(组)、解方程(组)、代入. 二次函数的表达式: 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0); 顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,且a≠0). 　　在学生解决三个问题的基础上进一步体验知识,有利于学生在最近发展区得到提升,为后面的学习做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 图21-2-35 问题:有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的图形放在如图21-2-35所示的平面直角坐标系中,请求出这条抛物线所对应的函数表达式. 师生活动:学生感知问题,独立思考. 　　通过实际问题设疑,使学生感受数学来源于实际,用数学又可以解决实际问题,相得益彰. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】求二次函数表达式 问题1　已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点,求这个二次函数的表达式. 师生活动:学生独立思考问题,教师提示设出合适的函数表达式,学生自主进行解答,教师做好辅导工作. 学生进行分析,根据图象顶点坐标,可设二次函数的顶点式,再把原点的坐标代入后解一元一次方程即可. 教师展示学生作业,然后展示问题答案. 解:设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-1. 因为函数图象经过原点, 所以a·(0-1)2-1=0. 解得a=1. 所以二次函数的表达式为y=(x-1)2-1. 问题2　已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点(-1,-3),与y轴的交点坐标为(0,-5),求这条抛物线所对应的函数表达式. 师生活动:教师指导学生根据问题1的解答过程和步骤,运用类比思想解答此题. 学生独立进行解答,教师做好点拨和引导,帮助学生正确解答问题. 学生分析问题:根据函数图象经过(-1,-3),(0,-5)两点,列方程组求出b,c即可. 解:因为点(-1,-3),(0,-5)在抛物线上, 　　1.在给定顶点坐标时,设一般式求解问题较麻烦,所以引导学生采用顶点式解答. 　　所以解得 所以这条抛物线所对应的函数表达式为y=-2x2-4x-5. 【探究2】归纳总结 请学生以小组为单位,讨论总结求二次函数表达式的思路和方法,并讲给大家听. 师生活动:教师选派个别同学回答,其他同学进行补充,教师订正、总结: (1)已知图象上三个点三对x,y的值,通常选择一般式:y=ax2+bx+c,把条件代入得到二元一次方程组,解方程组即可; (2)已知图象的顶点坐标或对称轴,通常选择顶点式:y=a(x-h)2+k,先把顶点坐标代入,再把另一点的坐标代入求出a的值,最后化为一般式即可. 　　2.运用类比的思想,用待定系数法求二次函数的表达式,运用一般式求解.这样学生对于不同类型的问题有不同的解答方案,有利于活跃学生的思维,养成善于总结的习惯. 【应用举例】 例1　已知抛物线的顶点坐标为(20,16),且经过点(0,0),(40,0).求抛物线所对应的函数表达式. 师生活动:教师选派两名同学选择不同的解答方式进行板演,其他同学在练习本上书写解答过程,教师做好指导和评价. 解法1:由于抛物线经过点(0,0),∴c=0. 设抛物线所对应的函数表达式为y=ax2+bx. 因为抛物线经过(20,16),(40,0)两点, 所以可得方程组解得 所以抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+x. 教师评价:利用给定的条件得出c=0,然后列出关于a,b的二元一次方程组,求出a,b的值,从而确定函数的表达式. 解法2:设抛物线所对应的函数表达式为y=a(x-20)2+16. 根据题意,知点(0,0)在抛物线上, 所以0=400a+16, 解得a=-, 所以抛物线所对应的函数表达式为y=-(x-20)2+16, 即y=-x2+x. 教师评价:通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求抛物线所对应的函数表达式较简单. 　　通过课前设疑,激发学生的学习兴趣,运用所学知识,从不同的角度进行解答,既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性,又培养了学生深层次的思维能力. 【拓展提升】 例2　已知抛物线经过点A(-2,0),B(4,0),且抛物线的最小值为-9,求二次函数的表达式. 解法1:设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-4). 把表达式展开得y=ax2-2ax-8a. 由顶点坐标公式,得==-9, 所以a=1,所以二次函数的表达式为y=x2-2x-8. 解法2:因为A(-2,0),B(4,0)两点为抛物线与x轴的交点,所以对称轴为直线x==1, 所以顶点坐标为(1,-9),所以设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-9, 将A(-2,0)的坐标代入,得0=a(-2-1)2-9,解得a=1, 所以二次函数的表达式为y=(x-1)2-9,化为一般式为y=x2-2x-8. 　　求抛物线的表达式时对于特殊点,比如坐标原点,与坐标轴的交点,顶点等,要善于利用函数的性质来挖掘隐含条件,选择简单的解法去解决问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.在二次函数y=ax2+bx-2中,x与y的几组对应值如表所示. x … -2 0 1 … y … -2 -2 1 … 　　求这个二次函数的表达式. 解:将(-2,-2),(1,1)代入y=ax2+bx-2,得 解得∴二次函数的表达式为y=x2+2x-2. 图21-2-36 2.某抛物线的部分图象如图21-2-36所示,求该抛物线的顶点坐标. 解:设抛物线所对应的函数表达式为y=a(x-1)2+k,由条件可知, 解得∴y=-(x-1)2+4, ∴该抛物线的顶点坐标为(1,4). 3.已知二次函数y=ax2+4x+c,当x=-2时,y=-5;当x=1时,y=4,求这个二次函数的表达式. 解:把x=-2,y=-5和x=1,y=4分别代入y=ax2 +4x+c, 得解得 ∴这个二次函数的表达式为y=x2+4x-1. 4.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=4,最小值为-1,与y轴交于点(0,3),求这条抛物线所对应的函数表达式. [答案:y=x2-2x+3] 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 谈一谈你在本节课中有哪些收获,有哪些进步,还有哪些困惑. 教师强调:用待定系数法求函数表达式的三种类型:已知两点或三点用一般式,已知顶点坐标用顶点式,已知抛物线与x轴交点用交点式. 　　课堂总结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境环节中,利用实际生活中的问题引导学生思考,学生能够提高学习兴趣,对数学的应用价值有深入的体会;在探究新知活动中,学生能够在讨论、交流的同时,对于求得的新知有深入的理解,获得求解二次函数表达式的方法. ②[讲授效果反思] 教师强调本课的重、难点:(1)正确选择二次函数表达式的形式;(2)解二元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤;(3)运用顶点式进行求解时,先代入顶点坐标. ③[师生互动反思] 从教学过程分析,学生运用充分的自主探究、合作交流的时间,能够起到较好的效果,教师点拨到位、举例说明,能够落实课时学习目标. ④[习题反思] 　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $