暑假几何提升专题讲义 第二讲 倍长中线模型 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第二讲 全等三角形 —— 倍长中线模型 第2讲 讲 倍长中心模型 一、知识讲解 模型解读 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． （注：一般都是原题已经有中线，或者有中点等条件时用）。 常见模型及证法 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，为的中点. 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点. 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 二、例题精析 【题型一 ：倍长中线证等角】 1．如图，在△ABC中，点E，D在边BC上，CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，E是BD的中点. 求证：∠C＝∠BAE. 【题型二 ：倍长中线证线段倍分关系】 2．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC(即有∠ACB＝∠ABC).求证：CD＝2CE. 【题型三- ；倍长中线求线段的取值范围】 3.（1）方法呈现：如图1，在△ABC 中，若AB=10，AC=6，D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD至点E，使DE=AD，再连接BE，可证△ACD"≌"△EBD，从而把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________________（直接写出范围即可）． （2）知识运用：如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB=2，AC=6，且线段AD的长度为整数．求AD的长度． 三、模型综合 1．倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ． 2．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证： 证明∵（已知）∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中，∵，（已证），（已知）， ∴，∴（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长． 课后作业 1.如图，中，为的中点． （1）求证：； （2） 若，，求的取值范围． 2.如图，是的边上的中线，，是的边上的中线．求证：． 3.问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，则得到，小明证明用到的判定定理是：　　（用字母表示）； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程； 拓展应用：以的边，为边向外作和，，，，是中点，连接，．当时，求的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第二讲 全等三角形 —— 倍长中线模型 第2讲 讲 倍长中心模型 一、知识讲解 模型解读 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． （注：一般都是原题已经有中线，或者有中点等条件时用）。 常见模型及证法 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，为的中点. 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点. 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 二、例题精析 【题型一 ：倍长中线证等角】 1．如图，在△ABC中，点E，D在边BC上，CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，E是BD的中点. 求证：∠C＝∠BAE. 证明解析： 1. 由∠BAD=∠BDA，等角对等边得：AB=BD； 2. 已知 CD=AB，等量代换：BD=CD，即 D 为 BC 中点； 3. E 是 BD 中点，倍长 AE 至 F，使 EF=AE，连接 DF； 4. 在△ABE 和△FDE 中： AE=FE ∠AEB=∠FED BE=DE ∴ △ABE ≌ △FDE (SAS)； 5. 全等结论：AB=DF，∠BAE=∠DFE； 6. 结合 AB=CD，得 DF=CD，△DFC 等腰，∠DFC=∠C； 7. 再证△ADF ≌ △ADC，得∠DFE=∠C； 8. 等量代换：∠C=∠BAE，得证。 【题型二 ：倍长中线证线段倍分关系】 2．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC(即有∠ACB＝∠ABC).求证：CD＝2CE. 证明解析： 1. 倍长 CE 至 F，使 EF=CE，连接 AF； 2. CE 是 AB 中线⇒ AE=EB； 在△AEF 与△BEC 中： AE=BE ∠AEF=∠BEC EF=EC ∴ △AEF ≌ △BEC (SAS)； 3. 全等得：AF=BC，∠FAE=∠ABC； 4. 由 AB=AC，得∠ABC=∠ACB，故∠FAE=∠ACB； 5. CB 是△ADC 中线⇒ AB=BD，结合 AB=AC，得 AC=BD； 6. ∠FAC=∠FAE+∠BAC，∠CBD=∠ACB+∠BAC，∴ ∠FAC=∠CBD； 7. 在△FAC 与△CBD 中： AF=BC ∠FAC=∠CBD AC=BD ∴ △FAC ≌ △CBD (SAS)； 8. ∴ CD=CF，又 CF=2CE，故 CD=2CE，得证。 【题型三- ；倍长中线求线段的取值范围】 3.（1）方法呈现：如图1，在△ABC 中，若AB=10，AC=6，D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD至点E，使DE=AD，再连接BE，可证△ACD"≌"△EBD，从而把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________________（直接写出范围即可）． （2）知识运用：如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB=2，AC=6，且线段AD的长度为整数．求AD的长度． （1）答案：2<AD<8 解析： 1. 倍长中线证全等：△ADC ≌ △EDB (SAS)，∴ BE=AC=6； 2. 在△ABE 中，由三角形三边关系： AB-BE<AE<AB+BE 10-6<AE<10+6，即 4<AE<16； 3. AE=2AD，代入得 4<2AD<16，化简：2<AD<8。 （2）解析： 1. 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，△ADC ≌ △EDB，BE=AC=6； 2. △ABE 三边关系：6-2<AE<6+2 ⇒ 4<AE<8； 3. AE=2AD，则 2<AD<4； 4. AD 为整数，∴ AD=3。 三、模型综合 1．倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ． （1） 解析：倍长 AD 至 M，DM=AD，连接 BM，证△BDM ≌ △CDA，BM=AC，∠M=∠DAC；结合 AE=EF 得等角，推平行、线段等量代换，证 AG=EC。 （2） 解析：倍长 FD 至 G，DG=FD，连接 BG，证△BDG ≌ △CDF，BG=CF=3，∠EDG=90°；Rt△EBG 中，EF=EG=√(3²+4²)=5。 （3） 解析：由∠EAF=∠BAC 得∠BAE=∠CAF，结合 AB=AC、AE=AF 证△BAE ≌ △CAF，得 BE=CF；利用八字模型导角，夹角为 90°，垂直。 2．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证： 证明∵（已知）∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中，∵，（已证），（已知）， ∴，∴（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长． （1）答案：2<AD<6 解析：倍长 AD 至 E，BE=AC=4；△ABE 三边关系 8-4<2AD<8+4，化简得 2<AD<6。 （2）结论：AD=AB+CD 证明：延长 AE 交 DC 延长线于 F； 1. AB∥CD ⇒ ∠BAE=∠F，E 为 BC 中点 BE=CE； △ABE ≌ △FCE (AAS)，AB=CF； 2. AE 平分∠BAD，∠BAE=∠DAF，∴ ∠F=∠DAF； 3. △ADF 等腰，AD=DF； 4. DF=DC+CF=DC+AB，∴ AD=AB+CD。 （3）解析：延长 AE 交 DC 延长线于 G，△ABE ≌ △GCE，CG=AB=10，DG=CD+CG=14；结合角平分线等腰，AD=DG=14，DF=AD-CD=6。 课后作业 1.如图，中，为的中点． （1）求证：； （2） 若，，求的取值范围． 解析： (1) 证明 延长 AD 至 E，DE=AD，连接 BE，△ADC ≌ △EDB，BE=AC； △ABE 中 AB+BE>AE，AE=2AD，∴ AB+AC>2AD。 (2) 取值范围 △ABE 三边：5-3<2AD<5+3，化简得 1<AD<4。 2.如图，是的边上的中线，，是的边上的中线．求证：． 解析： 证明：倍长 AE 至 F，EF=AE，连接 DF； 1. E 为 BD 中点，△ABE ≌ △FDE，AB=DF，∠B=∠EDF； 2. D 为 BC 中点，BD=DC，AB=BD，∴ DF=DC； 3. ∠ADC=∠BAD+∠B，∠ADF=∠ADB+∠EDF，∠ADB=∠BAD，得∠ADF=∠ADC； 4. △ADF ≌ △ADC(SAS)，∴ AC=AF=2AE。 3.问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，则得到，小明证明用到的判定定理是：　　（用字母表示）； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程； 拓展应用：以的边，为边向外作和，，，，是中点，连接，．当时，求的长． 解析： 问题解决 1. 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE； 2. D 是 BC 中点，BD=CD； BD=CD ∠BDE=∠CDA DE=DA ∴ △BDE ≌ △CDA (SAS)，BE=AC=4； 3. 在△ABE 中，三边关系： AB-BE<AE<AB+BE 8-4<2AD<8+4，即 2<AD<6。 拓展应用 以△ABC 边 AB、AC 向外作等腰△ABE、△ACF，AE=AB，AF=AC，∠EAB=∠FAC=90°，D 是 BC 中点，连接 DE，BC=10，求 DE 长。 解析：倍长 AD 至 G，DG=AD，证△BDG ≌ △CDA，BG=AC=AF； 推∠ABG=∠EAF，证△ABG ≌ △EAF，EF=AG=2AD；结合直角三角形斜边中线，AD=1/2BC=5，∴ DE=5。 6 学科网（北京）股份有限公司 $