重难点01 不等式恒成立、能成立问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦不等式恒成立与能成立问题，构建“概念-原理-应用”逻辑链条，通过7大题型系统提炼判别式法、分离参数、主元转换等解题方法，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型1-3|每模块1例+3变式|判别式法、分离参数、主元转换|从实数集到区间再到参数范围，层层递进| |题型4-5|每模块1例+3变式|最值分析、解集判定|恒成立延伸至能成立，强化函数思想| |题型6-7|每模块1例+3变式|基本不等式、综合应用|融合多方法，提升模型意识与综合解题能力|

重难点01 不等式恒成立、能成立问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 2 【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 3 【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 3 【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】 4 【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】 4 【题型6 基本不等式求解恒成立、有解问题】 5 【题型7 不等式恒成立、能成立问题综合】 5 1、不等式恒成立、能成立问题 一元二次不等式是高考数学中的重要内容.从近三年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是高考常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用，一轮复习时需要加强这方面的训练. 考点1 不等式恒成立、能成立问题 知识点1 不等式恒成立、能成立问题 1．一元二次不等式恒成立、能成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且∆<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且∆<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解⇒a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立⇒a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解⇒a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解⇒a≥f(x)max. 【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-2】（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（25-26高一上·湖北恩施·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例2】（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【变式2-1】（25-26高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 【例3】（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一·全国·课后作业）已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】 【例4】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例5】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型6 基本不等式求解恒成立、有解问题】 【例6】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【变式6-1】（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·山东济南·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【题型7 不等式恒成立、能成立问题综合】 【例7】（25-26高一上·河北·阶段检测）设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数. (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）（1）已知时，不等式恒成立，求的取值范围. （2）已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 一、单选题 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ） A．7 B．5 C．3 D． 10．（2026·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为_________． 13．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）恒成立，则实数a的最大值为_________. 14．（2026·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 四、解答题 15．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）设二次函数. (1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 不等式恒成立、能成立问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 2 【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 4 【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 6 【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】 7 【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】 9 【题型6 基本不等式求解恒成立、有解问题】 11 【题型7 不等式恒成立、能成立问题综合】 13 1、不等式恒成立、能成立问题 一元二次不等式是高考数学中的重要内容.从近三年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是高考常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用，一轮复习时需要加强这方面的训练. 考点1 不等式恒成立、能成立问题 知识点1 不等式恒成立、能成立问题 1．一元二次不等式恒成立、能成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且∆<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且∆<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解⇒a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立⇒a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解⇒a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解⇒a≥f(x)max. 【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【解答过程】由命题“”为真命题， ， 解得：， 故选：C. 【变式1-1】（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】由题意，可得，即可得解． 【解答过程】因为不等式恒成立， 所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 故选：A. 【变式1-2】（2025·重庆·一模）已知，则“的解集为”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由不等式的解集为可得，即可求解. 【解答过程】因为不等式的解集为，所以，所以， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件. 故选：. 【变式1-3】（25-26高一上·湖北恩施·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【解答过程】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例2】（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【解题思路】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【解答过程】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【解答过程】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据题意整理可得，换元令，结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，可得， 且，则，可得， 令，则， 可得， 因为，故，因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 可得，所以实数k的最大值为9. 故选：B. 【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 【例3】（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【解答过程】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【解答过程】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一·全国·课后作业）已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】面对含参不等式，利用分离变量法，由于是已知取值范围的，则单独分离出来，整理成函数，再根据不等式恒成立，求函数的最小值，可得答案. 【解答过程】对任意，不等式恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 所以对任意，， 所以，解得， 故实数x的取值范围是． 故选：D． 【变式3-3】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设有，且在上恒成立，讨论、、求实数x的取值范围. 【解答过程】由题设， 由，即在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，不等式不成立， 当时，恒成立，此时， 综上，实数x的取值范围是. 故选：D. 【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】 【例4】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【解答过程】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【解答过程】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【解答过程】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，若要使不等式有实数解；则；然后根据一元二次不等式解出答案． 【解答过程】设， 若要使不等式有实数解； 则需要满足即可， 又， 则； 则，解得或； 故选：A． 【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例5】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【解答过程】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 【变式5-1】（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【解答过程】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【解答过程】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D. 【题型6 基本不等式求解恒成立、有解问题】 【例6】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【解答过程】由正实数满足，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·山东济南·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】基本不等式求出的最小值，转化为，解不等式即可， 【解答过程】因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为4． 因为不等式有解，则，即， 即，解得或． 故选：D. 【变式6-3】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【解答过程】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 【题型7 不等式恒成立、能成立问题综合】 【例7】（25-26高一上·河北·阶段检测）设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【解答过程】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 【变式7-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，先求出命题和命题同时为真命题时的取值范围，再求其补集，即可求解. 【解答过程】当命题为真命题，即，使成立，得到，即， 当命题为真命题，即对，恒成立，得到， 即， 所以当命题和命题同时为真命题时，有，即， 又命题和命题至多有一个为真命题，所以或， 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数. (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 【变式7-3】（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）（1）已知时，不等式恒成立，求的取值范围. （2）已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）由题意构造函数关于a的函数 ，则可得，从而可求出的取值范围. （2）令，，依题意存在，使不等式成立，分、、三种情况讨论，求出，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】（1）由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于的函数 ，， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即的取值范围为． （2）令，， 因为存在，使不等式成立， 所以存在，使不等式成立， 函数开口向上，对称轴为， 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，不符合题意； 当，即时，，解得或， 所以， 综上可得，即的取值范围为. 一、单选题 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【解答过程】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的取值范围是. 故选：D. 2．（2026·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 3．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【解答过程】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 故选：D. 4．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【解答过程】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 5．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【解答过程】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C. 6．（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解答过程】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 7．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【解答过程】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【解答过程】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的可能取值为（   ） A．7 B．5 C．3 D． 【答案】BCD 【解题思路】先进行参数分离，再用基本不等式求最小值，进而可得. 【解答过程】由，且，所以， 则问题转化为对于恒成立. 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为， 结合选项可知A错误，BCD正确. 故选：BCD． 10．（2026·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【解题思路】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【解答过程】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC. 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【解答过程】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为_________． 【答案】 【解题思路】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【解答过程】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 13．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）恒成立，则实数a的最大值为_________. 【答案】 【解题思路】根据恒成立转化为在上恒成立，最后再应用基本不等式计算求解. 【解答过程】恒成立， 即 在上恒成立， 所以 在上恒成立， 又 当且仅当 即 时取等号，所以 则实数a的最大值为 故答案为：. 14．（2026·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 【答案】 【解题思路】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【解答过程】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 16．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【解答过程】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ， ， ， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立， ， 问题转化为：存在，使得成立， ， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；解集为. (2) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，的值，进而求解不等式. （2）根据基本不等式求出的最值，结合不等式恒成立即可求出范围. 【解答过程】（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，. 将，代入可得，，即， 解得或. 所以解集为. （2）由（1）知，（，）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为8. 又恒成立，故恒成立，即，解得. 的取值范围为. 18．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）设二次函数. (1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得； （2）依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）对任意实数，恒成立， 即，恒成立， 即可得，所以 （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 则，所以， 综上得实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）讨论和两类情况即可； （2）将不等式化为，通过换元，借助基本不等式即可求解； （3）将不等式化为，借助一次函数单调性即可求解. 【解答过程】（1）当时，不等式为，可得，不符合题意； 将不等式化为：，由于，不等式恒成立， 所以解得：， 所以的取值范围是. （2）因为，使不等式能成立， 也即，使得成立， 令，则， 则 ， 当时取等号，所以 （3）可化为， 若不等式对恒成立，因为， 所以也即，无解 故不存在. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $