重难点培优04 二次、基本不等式恒成立与能成立问题总结（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点培优04 二次、基本不等式恒成立与能成立问题总结内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 单变量不等式恒成立与能成立问题 1 知识点02 双变量不等关系存在性问题 2 题型深研·通法变式提能力 2 题型一：一元二次不等式在R上的恒成立问题 2 题型二：一元二次不等式在R上的能成立问题 3 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 3 题型四：一元二次不等式在区间上的能成立问题 4 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 4 题型六：基本不等式中的恒成立问题 4 题型七：基本不等式中的能成立问题 5 题型八：双变量的恒成立和能成立问题 5 分层进阶·双阶训练验成效 6 巩固过关 6 创新提升 6 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 单变量不等式恒成立与能成立问题 处理单变量含参不等式恒成立、能成立问题，最常用的方法是参变分离法，将参数单独放置在不等式一侧，转化为函数最值问题进行求解，对应四类核心判定规则。 1、， 2、， 3、， 4、， 使用参变分离时需要注意定义域对函数最值的约束，若函数在区间内不存在最大或最小值，需要结合边界极限取值判断参数范围；分离过程中若乘除含变量的代数式，要提前讨论正负，避免不等号方向出错。 知识点02 双变量不等关系与等式存在性问题 设两个函数分别为、，根据题干中两个变量的取值范围、全称/存在量词，分为不等关系、相等关系两类题型。 1、双变量不等关系 （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 解题核心逻辑是区分全称量词“任意”、存在量词“存在”，“任意”对应函数最严格的边界最值，“存在”对应宽松边界最值，先分别求出两个函数在各自定义域内的最值，再对比大小列出不等式求解参数。 2、双变量相等关系 记的值域为集合，的值域为集合，根据量词条件转化为集合交集问题。 （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 先分别求出两个函数完整值域，再结合集合包含、相交关系判断约束条件，值域区间端点能否取到会直接影响最终参数范围，计算完成后需要代入验证。 题型深研·通法变式提能力 题型一：一元二次不等式在R上的恒成立问题 例1．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 变式1-1．函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 变式1-2．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 变式1-3．若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：一元二次不等式在R上的能成立问题 例2．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式2-1．（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 变式2-2．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 例3．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 变式3-1．已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 变式3-3．若对于，恒成立，求实数的取值范围. 题型四：一元二次不等式在区间上的能成立问题 例4．已知函数（），则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 变式4-1．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 例5．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 变式5-1．若对于，恒成立，求实数的取值范围. 变式5-2．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________． 变式5-3．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：基本不等式中的恒成立问题 例6．已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 变式6-2．若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 变式6-3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 题型七：基本不等式中的能成立问题 例7．若存在，使不等式成立，则k的最小值是（    ） A．8 B．10 C．16 D．24 变式7-1．若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（   ） A． B． C． D． 变式7-2．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　） A． B． C．2 D．4 变式7-3．已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型八：双变量的恒成立和能成立问题 例8．已知函数，，若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，则a的取值范围为______． 变式8-1．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是___________. 变式8-2．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设，若时，对任意，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围. 变式8-3．已知函数 （1）若对任意x∈[-3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围； （2）若存在使成立，求实数k的取值范围. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 5．若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 6．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足条件的一组的值为___________．（写出一组即可） 7．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____. 8．已知为实数，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 9．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 10．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 11．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 12．已知函数，（）． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； 创新提升 1．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 3．已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．设关于x的不等式的解集为A，集合， （1）若对任意的，都有，求实数a的取值范围； （2）若对任意，存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 二次、基本不等式恒成立与能成立问题总结内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 单变量不等式恒成立与能成立问题 1 知识点02 双变量不等关系存在性问题 2 题型深研·通法变式提能力 2 题型一：一元二次不等式在R上的恒成立问题 2 题型二：一元二次不等式在R上的能成立问题 4 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 5 题型四：一元二次不等式在区间上的能成立问题 7 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 9 题型六：基本不等式中的恒成立问题 11 题型七：基本不等式中的能成立问题 12 题型八：双变量的恒成立和能成立问题 14 分层进阶·双阶训练验成效 17 巩固过关 17 创新提升 17 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 单变量不等式恒成立与能成立问题 处理单变量含参不等式恒成立、能成立问题，最常用的方法是参变分离法，将参数单独放置在不等式一侧，转化为函数最值问题进行求解，对应四类核心判定规则。 1、， 2、， 3、， 4、， 使用参变分离时需要注意定义域对函数最值的约束，若函数在区间内不存在最大或最小值，需要结合边界极限取值判断参数范围；分离过程中若乘除含变量的代数式，要提前讨论正负，避免不等号方向出错。 知识点02 双变量不等关系与等式存在性问题 设两个函数分别为、，根据题干中两个变量的取值范围、全称/存在量词，分为不等关系、相等关系两类题型。 1、双变量不等关系 （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 解题核心逻辑是区分全称量词“任意”、存在量词“存在”，“任意”对应函数最严格的边界最值，“存在”对应宽松边界最值，先分别求出两个函数在各自定义域内的最值，再对比大小列出不等式求解参数。 2、双变量相等关系 记的值域为集合，的值域为集合，根据量词条件转化为集合交集问题。 （1）若，，有成立，则有； （2）若，，有成立，则有； （3）若，，有成立，故； 先分别求出两个函数完整值域，再结合集合包含、相交关系判断约束条件，值域区间端点能否取到会直接影响最终参数范围，计算完成后需要代入验证。 题型深研·通法变式提能力 题型一：一元二次不等式在R上的恒成立问题 例1．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 变式1-1．函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 变式1-2．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 变式1-3．若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得： ， 由于分母 ，故只需满足 ， 即原不等式恒成立等价于对任意实数恒成立， 即：， 解得： . 故选：D 题型二：一元二次不等式在R上的能成立问题 例2．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 变式2-1．（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 变式2-2．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 变式2-3．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 题型三：一元二次不等式在区间上的恒成立问题 例3．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 变式3-1．已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 因为p为假命题，所以或， ，则在上恒成立， 又当，当且仅当时取得等号， 因为q为真命题，所以， 所以实数a的取值范围为. 变式3-2．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 变式3-3．若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 题型四：一元二次不等式在区间上的能成立问题 例4．已知函数（），则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】D 【详解】由函数是开口向上的二次函数，且， 若，，即方程有正实根， 则，解得，所以充分性成立； 若，则，即方程有实根， 又二次函数的对称轴，即该方程必有正实根， 即，，所以必要性成立， 故“，”是“”的充分必要条件． 变式4-1．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 变式4-2．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 变式4-3．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】不等式在区间内有解，即在区间内有解， 那么，设. 根据二次函数的性质可知，所以. 故答案为：. 题型五：给定参数的一元二次不等式恒成立问题 例5．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 变式5-1．若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】设， 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，即， 整理得，解得， 故实数的取值范围为. 变式5-2．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为． 故答案为： 变式5-3．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，对一切均大于0恒成立， 所以 ，或， 或， 解得或，，或， 综上，实数的取值范围是，或. 故选：A. 题型六：基本不等式中的恒成立问题 例6．已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即， 即，得最大值为8． 变式6-1．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 变式6-2．若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 变式6-3．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 题型七：基本不等式中的能成立问题 例7．若存在，使不等式成立，则k的最小值是（    ） A．8 B．10 C．16 D．24 【答案】A 【详解】因为，故， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 因为存在，使不等式成立， 所以，即的最小值为8， 故选：A. 变式7-1．若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为存在，使得成立时假命题， 所以对，使得是真命题， 即在恒成立， 令，则， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 故选：D. 变式7-2．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由，可得，所以， 当时，； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述：实数的最大值为. 故选：A. 变式7-3．已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，有解，即， 因为，所以， 那么 ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则的最小值为. 故选：D. 题型八：双变量的恒成立和能成立问题 例8．已知函数，，若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以的值域是， 所以对任意，总存在唯一，使得成立， 当，即时，有，解得； 当，即时，有，解得； 当，即时，有或， 解得. 综上，所以a的取值范围为或. 故答案为： 变式8-1．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【详解】在，上先减后增 故当时，函数有最小值（1），当时，函数有最大值（3） 故，， 在，上单调递减，故，， 对任意，，总存在，，使得成立， ， ， 解可得， 故答案为： 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用，属于中档题． 变式8-2．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设，若时，对任意，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】 【详解】（1）由，     则（i）时，解得或，解集为；     （ii）时，由解得，解集为；     （iii）时，解得或，解集为.     综上，时，解集为，时，解集为， 时，解集为. （2）由题意：，在上的值域， 设在上的值域，则， 对称轴为， （i）若，即，则在上单调递增， 所以， 所以，解得；     （ii）若，即，则在上单调递减， 所以， 所以，解得；     （iii）若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以在上的最大值， 所以当，即时，不存在，使得， 故此情形不成立. 综上，的取值范围是. 变式8-3．已知函数 （1）若对任意x∈[-3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围； （2）若存在使成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1) 依题意得对任意恒成立，即对任意恒成立，则，求出其最小值即可. （2）存在，使成立,即，在上求出的最小值和最大值即可. 【详解】解：（1）依题意得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则,当时， 所以 （2）因存在，使成立 则有 因，则 ，则 于是，即 解得 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，为真命题，则时，， 而，故当时，取到最大值6，故， 因此是所求必要不充分条件的范围的真子集， 故选项中只有满足条件， 故选：C 2．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 3．“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“不等式的解集为空集”等价于“不等式在上恒成立”， 其充要条件为，即. 因为能推出，推不出， 所以“”是“不等式的解集为空集”的充分不必要条件. 4．若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 5．若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【详解】由题意，，对任意恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 故答案为：（不唯一） 6．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足条件的一组的值为___________．（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一）． 【详解】因为该一元二次不等式有解，所以，不妨设， 的解集为，又在上恒成立， 则必须是的子集，所以且， 例如，． 故答案为：（答案不唯一）． 7．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为， 所以等价于，整理得. 若“存在，使得不等式成立”可转化为. 因为，当时取等号. 所以，即. 故答案为：. 8．已知为实数，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】， 当时，显然成立， 当时，恒成立， 令，则恒成立，故，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 9．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 10．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 11．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 【答案】 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 12．已知函数，（）． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）恒成立，即恒成立， 故，解得， 的取值范围为； （2）当时，，当时，，故， ①若的对称轴或，此时在区间单调， 则在，处取得最值，所以，解得， 解不满足或，舍去； ②若对称轴，故， 即，解得或， 此时，最大值依然在，处取到，故. 综上所述：. 创新提升 1．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由可得：， 所以，. 又，且，，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立，所以. 由二次函数的性质可知的图象开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A. 2．已知，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，即，， 可得，又，故， 即，即， 即， 由题意知，则恒成立， 所以，即， 当时，，， 满足， 所以最大值为4， 故选：B 3．已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析： 或． 综上所述或. 4．设关于x的不等式的解集为A，集合， （1）若对任意的，都有，求实数a的取值范围； （2）若对任意，存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】（1）若对任意的，都有，则，， 当时，，符合题意； 当时，方程的判别式， 两根，， 则，不合题意； 当时， 若，即时，，符合题意； 若，即时， 方程两根，， 则， 则当时，， 由于的对称轴为， 则当时，即，所以； 综上所述，； （2）由题意不等式在上恒成立， 所以，即， 所以存在，使不等式成立， 设，则只需或， 即或， 所以或， 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了集合间关系的应用及一元二次不等式恒成立问题的求解，考查了运算求解能力，属于中档题. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $