专题05 根与系数的关系及应用8类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以韦达定理为核心，通过“通法归纳+8类题型精讲+压轴挑战”构建从基础到综合的系统性训练，突出解题逻辑与能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心框架|“三条底线”准则（a≠0、判别式验证、结果核验）|以一元二次方程标准形式为起点，延伸对称式求值等五大方向| |8类题型|每类1典例+3-4变式|直接求值用公式、降次用恒等式替换、参数求解需双重检验等|从基础对称式到根分布、新定义，形成“概念-应用-综合”递进链条|

专题05 根与系数的关系及应用8类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用根与系数的关系直接求值 1 类型二、利用根与系数的关系降次求值 2 类型三、利用根与系数的关系求参数 3 类型四、利用根与系数的关系分式化整求值 4 类型五、根与系数的关系关联根的判别式 4 类型六、利用根与系数的关系分类解析根分布 5 类型七、利用方程的根和根与系数的关系构建方程 6 类型八、根与系数的关系有关的新定义问题 7 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 根与系数的关系（韦达定理）是一元二次方程体系的延伸核心重难点，全部题型依托一元二次方程标准形式展开，围绕对称式整体求值、参数反向求解、判别式联动约束、根的分布判定、跨模块综合应用五大核心方向考查。解题严守三条不可突破的底线准则：一是只有一元二次方程才可使用韦达定理，必须优先保证二次项系数a≠0；二是题目涉及实数根时，前置验证判别式划定参数有效范围；三是由两根条件求出的参数、代数式最终结果，全部需要回代原方程合规核验，剔除增根与无效解。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用根与系数的关系直接求值 典例精讲1（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 题型归纳 1.特征：已知一元二次方程两个实数根，直接求解基础对称代数式，如等。 2.方法： ① 先判定方程类型：确认a≠0，有实数根附加 ② 套用韦达核心公式： ③ 完全平方变形： 3.易错提醒：两根之和公式遗漏负号；未验证直接代入运算；差值绝对值开二次根式时丢失根号 变式训练1（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 变式训练2（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 变式训练3（25-26九年级上·江苏常州·期末）已知和是方程的两个解，则的值为______ ． 变式训练4（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别是，不解方程求下列式子的值． (1) (2) 类型二、利用根与系数的关系降次求值 典例精讲2（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 题型归纳 1.特征：已知单根满足原方程，所求代数式含等高次幂，无法直接代入求解 2.方法：① 将根代入原方程，得到降次恒等式； ②反复用二次式替换高次项，逐级降为一次整式； ③ 结合韦达定理整体代换算出最终结果。 3.易错提醒：降次替换时符号恒等变形出错；多次迭代降次混淆替换逻辑，计算失误 变式训练1（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知、是方程的两个实根，则的值为________． 变式训练2（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为______． 变式训练3（25-26九年级上·全国·课后作业）若是方程的两个实数根，则代数式的值为__． 变式训练4（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为_____ 类型三、利用根与系数的关系求参数 典例精讲3（25-26九年级上·四川成都·期中）已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为_________． 题型归纳 1.特征：给出两根限定条件（一根为 0、两根互为相反数、两根互为倒数、两根差值为固定常数等），反向求解方程中的字母参数。 2.方法：① 根据根的约束列出或的等式； ② 联立韦达表达式解方程得到参数候选值； ③ 双重检验：a≠0且，舍去不符合条件的增根。 3.易错提醒：求解参数后跳过判别式检验；相反数、倒数对应的等量关系式列写错误。 变式训练1（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为______． 变式训练2（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________． 变式训练3（2025·湖南娄底·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为___________． 变式训练4（24-25九年级上·山东聊城·期末）关于的一元二次方程，如果方程的两个实数根为，，且，则k的值为______． 类型四、利用根与系数的关系分式化整求值 典例精讲4（2025·四川南充·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 题型归纳 1.特征：目标代数式为分式结构 2.方法：对分式通分变形，统一拆解为仅含或的整体形式，再代入韦达结果计算 变式训练1（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练2（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 变式训练3（2025·浙江·模拟预测）已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练4（2025·四川南充·一模）已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 类型五、根与系数的关系关联根的判别式 典例精讲5（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 题型归纳 1.特征：中考解答题经典综合题型，先用判别式锁定参数取值范围，再通过韦达定理化简代数式求值，最终在有效区间内筛选合规答案。 2.方法：① 前置建立约束不等式组：； ② 对所求代数式做对称式变形，整体代入韦达定理计算； ③ 仅选取满足参数范围的数值作为最终答案 3.易错提醒：先计算代数式再补参数范围，解题逻辑倒置；不等式边界等号取舍判断错误 变式训练1（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根． (2)若m，n为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 变式训练2（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知平行四边形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形？ (2)若，求的值． 变式训练3（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 类型六、利用根与系数的关系分类解析根分布 典例精讲6（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程，设，是此方程的两个根． (1)若，求的值； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 题型归纳 1.特征：限定两根符号与大小分布，如两正根、两负根、一正一负根、一根大于常数m一根小于m，求解参数取值范围。 2.方法：联立多重条件取解集交集： ① 基础前提：a≠0； ② 实根保障：； ③ 符号约束：利用或正负列不等式（如一正一负根只需\(x1x2<0\)，自动满足 3.易错提醒：遗漏判别式核心条件；多个不等式组求解后交集取错 变式训练1（25-26九年级上·北京·期中）（1）若m，n是方程的两根，求的值． （2）若一元二次方程的两根都大于1，求a的取值范围． 变式训练2（23-24九年级上·湖北·期中）m为何值时，方程有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？ 变式训练3（2025九年级上·全国·专题练习）m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 (1)两个正根 (2)一正一负两根 (3)两根都大于1． 类型七、利用方程的根和根与系数的关系构建方程 典例精讲7（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知满足，满足，且，则 ______． 题型归纳 1.特征：已知两个数为某一元二次方程的两根，反向构造出符合要求的一元二次方程 2.方法：设两根为m、n，直接套用构造公式：，可同乘非零整数化为最简整系数一般形式 3.易错提醒：一次项系数符号写反；未整理成标准最简形式 变式训练1（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）已知，且满足，，那么的值为______________． 变式训练2（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知实数，满足，，且，求的值________ 变式训练3（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知实数、、满足：，，且，令，则的取值范围是________． 类型八、根与系数的关系有关的新定义问题 典例精讲8（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 题型归纳 1.特征：题干给出课本没有的全新数学概念（如倍根方程、友好根、伴随方程、特征值等），依托一元二次方程两根x1、x2的数量关系设置规则，要求翻译条件、求参数、判断方程类型或构造新方程，常与判别式、含参分类讨论综合考查，侧重信息读取与数学建模能力 2.方法：① 拆解文字定义，转化为或的等式； ② 套用韦达定理列式求解参数； ③ 双重检验：a≠0且，舍去不符合条件的增根。 变式训练1（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 变式训练2（25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 变式训练3（25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 2．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为（　　） A．且 B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 9．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为_____． 10．（25-26九年级上·重庆·期末）若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 11．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 12．（湖南省湘西土家族苗族自治州花垣县华鑫教育集团2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 13．（25-26九年级上·福建泉州·期末）按要求解答下列问题． (1)我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如_________，_________； (2)若关于x的方程（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根； (3)设，是方程（p，q为整数）的两根，且是一个完全平方数，试探究，均为整数． 14．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 15．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 16．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 根与系数的关系及应用8类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用根与系数的关系直接求值 1 类型二、利用根与系数的关系降次求值 2 类型三、利用根与系数的关系求参数 8 类型四、利用根与系数的关系分式化整求值 11 类型五、根与系数的关系关联根的判别式 14 类型六、利用根与系数的关系分类解析根分布 19 类型七、利用方程的根和根与系数的关系构建方程 23 类型八、根与系数的关系有关的新定义问题 25 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 根与系数的关系（韦达定理）是一元二次方程体系的延伸核心重难点，全部题型依托一元二次方程标准形式展开，围绕对称式整体求值、参数反向求解、判别式联动约束、根的分布判定、跨模块综合应用五大核心方向考查。解题严守三条不可突破的底线准则：一是只有一元二次方程才可使用韦达定理，必须优先保证二次项系数a≠0；二是题目涉及实数根时，前置验证判别式划定参数有效范围；三是由两根条件求出的参数、代数式最终结果，全部需要回代原方程合规核验，剔除增根与无效解。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用根与系数的关系直接求值 典例精讲1（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 题型归纳 1.特征：已知一元二次方程两个实数根，直接求解基础对称代数式，如等。 2.方法： ① 先判定方程类型：确认a≠0，有实数根附加 ② 套用韦达核心公式： ③ 完全平方变形： 3.易错提醒：两根之和公式遗漏负号；未验证直接代入运算；差值绝对值开二次根式时丢失根号 变式训练1（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到一元二次方程两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，. ∴． 变式训练2（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后代入数值计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为，， ，， ， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·江苏常州·期末）已知和是方程的两个解，则的值为______ ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2030． 变式训练4（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别是，不解方程求下列式子的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，，将变形为，代入计算即可； （2）由方程的解的意义，可知，得代入，将变形为，将（1）中结果代入即可解答． 【详解】（1）解：∵在方程中，，，， ∴，， ∴． （2）解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴． 类型二、利用根与系数的关系降次求值 典例精讲2（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到，根据根与系数的关系得到，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：因为α是方程的实数根， 所以， 即． 因为α，β是方程的两个实数根， 所以根据根与系数的关系，． ∴ 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知单根满足原方程，所求代数式含等高次幂，无法直接代入求解 2.方法：① 将根代入原方程，得到降次恒等式； ②反复用二次式替换高次项，逐级降为一次整式； ③ 结合韦达定理整体代换算出最终结果。 3.易错提醒：降次替换时符号恒等变形出错；多次迭代降次混淆替换逻辑，计算失误 变式训练1（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知、是方程的两个实根，则的值为________． 【答案】2030 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：2030． 变式训练2（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系；利用方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． 则 ． 代入 ，得 ． 原式 ． 由根与系数的关系，方程 的两根之和为 ． ∴ 原式 ． 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·全国·课后作业）若是方程的两个实数根，则代数式的值为__． 【答案】4046 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关性质是解题的关键． 根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将变形为，再代入得到，即可求解． 【详解】解：整理得：， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：4046． 变式训练4（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，是一元二次方程的两根，求的值为_____ 【答案】100 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，求出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 类型三、利用根与系数的关系求参数 典例精讲3（25-26九年级上·四川成都·期中）已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，先将方程化为标准形式，利用判别式得到的取值范围，再根据根与系数的关系代入条件方程求解，最后验证判别式以确定符合题意的值． 【详解】解：方程化为 方程有两个实数根， ，即， 解得：， ，， 由， 可得：， ， 即， 整理得：， 解得：， 又， 不符合题意，舍去， 时，，符合条件， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：给出两根限定条件（一根为 0、两根互为相反数、两根互为倒数、两根差值为固定常数等），反向求解方程中的字母参数。 2.方法：① 根据根的约束列出或的等式； ② 联立韦达表达式解方程得到参数候选值； ③ 双重检验：a≠0且，舍去不符合条件的增根。 3.易错提醒：求解参数后跳过判别式检验；相反数、倒数对应的等量关系式列写错误。 变式训练1（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，由一元二次方程根和系数的关系可得，，进而可得，据此即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程两根为、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练2（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程； 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入，即可求出m的值，即可求解． 【详解】解：由题意，得 ，， ∵， ∴， 即， 解得或． ∵， ∴或（无解）， 解得， ∴， 则． 故答案为0． 变式训练3（2025·湖南娄底·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为___________． 【答案】0或8/8或0 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得或，分两种情况：①和②，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ①当时，这个方程有两个相等的实数根， 则这个方程根的判别式， 解得或； ②当时，则，符合题意； 综上，的值为0或8， 故答案为：0或8． 变式训练4（24-25九年级上·山东聊城·期末）关于的一元二次方程，如果方程的两个实数根为，，且，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义；根据根与系数的关系得出，，代入求出，根据判别式检验，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为， ∴，，且， ∵， 即有， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴， 故答案为：． 类型四、利用根与系数的关系分式化整求值 典例精讲4（2025·四川南充·一模）若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，得到 和，并将表达式中的 转化为，从而简化原式． 【详解】解： m，n 是方程 的两个根， ，， ， ， 故选：A． 题型归纳 1.特征：目标代数式为分式结构 2.方法：对分式通分变形，统一拆解为仅含或的整体形式，再代入韦达结果计算 变式训练1（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，理解方程的根以及根与系数的关系是解答的关键．首先根据解的概念得到，变形得到，利用根与系数的关系得到，，然后代入整体求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ∴ ． 故选：A． 变式训练2（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先设，，则可用、表示，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，的值，然后将两个式子相加即可得． 【详解】解：设，， ∴， ， ∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， ∴， ， 将两个式子相加得：， ∴， 即， 故选：A． 变式训练3（2025·浙江·模拟预测）已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、利用完全平方公式进行运算等知识，熟练运用相关知识是解题关键．设，则，易得，再设，则，进而可得，可知为方程的两个实根，利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：设，则， ∴，即， 再设，则， ∴，即， 则为方程的两个实根， ∴，， ∴． 故选：D． 变式训练4（2025·四川南充·一模）已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 【答案】﹣1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，再整体代入求值即可得到答案； 【详解】解：由条件可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 类型五、根与系数的关系关联根的判别式 典例精讲5（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】(1) 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 题型归纳 1.特征：中考解答题经典综合题型，先用判别式锁定参数取值范围，再通过韦达定理化简代数式求值，最终在有效区间内筛选合规答案。 2.方法：① 前置建立约束不等式组：； ② 对所求代数式做对称式变形，整体代入韦达定理计算； ③ 仅选取满足参数范围的数值作为最终答案 3.易错提醒：先计算代数式再补参数范围，解题逻辑倒置；不等式边界等号取舍判断错误 变式训练1（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根． (2)若m，n为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) 证明：方程为， ， ， ∴无论取何值，方程总有实数根． (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算得出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：，为方程的两个实数根， ，．         又， ， ． 变式训练2（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知平行四边形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形？ (2)若，求的值． 【答案】(1) 当时，四边形是菱形 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质、解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识点． （1）由题意得出当时，平行四边形为菱形，从而得到，求出m的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，将化简为，代入可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 当时，平行四边形为菱形， 的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， 整理得：， 解得：， 当时，四边形为菱形； （2）解：的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ，即 整理得：， 解得：或， 边长为正数， 它们的和， 当时，不符合题意，应舍去， ． 变式训练3（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合一元二次方程有实数根，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，得，故，又因为，则，解得或，由（1）得，即． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得， （2）解：∵方程的两实数根分别为， ∴， 则， ∵ ∴ ∴ 解得或， 由（1）得， ∴舍去， ∴． 类型六、利用根与系数的关系分类解析根分布 典例精讲6（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程，设，是此方程的两个根． (1)若，求的值； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵是方程的根， ， ， 解得； （2）解：， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 题型归纳 1.特征：限定两根符号与大小分布，如两正根、两负根、一正一负根、一根大于常数m一根小于m，求解参数取值范围。 2.方法：联立多重条件取解集交集： ① 基础前提：a≠0； ② 实根保障：； ③ 符号约束：利用或正负列不等式（如一正一负根只需\(x1x2<0\)，自动满足 3.易错提醒：遗漏判别式核心条件；多个不等式组求解后交集取错 变式训练1（25-26九年级上·北京·期中）（1）若m，n是方程的两根，求的值． （2）若一元二次方程的两根都大于1，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的定义和根与系数的关系是解题的关键， （1）根据m，n是方程的两根，所以代入可得，，再由根与系数关系可得，，将化简后得，代入即可得到答案； （2）设是方程的两个根，则，再由题意可得，代入解得，取公共部分即可得到答案． 【详解】（1）解：∵m，n是方程的两根， ∴，，，， ∴，，， ∴ ， ． （2）解：设是的两根， ∴， ∵方程的两根都大于1， ∴ 代入整理得： 解得： ∴综上所述：． 变式训练2（23-24九年级上·湖北·期中）m为何值时，方程有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？ 【答案】，负根的绝对值大 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，欲保证方程有一个正根，一个负根，则必须保证，且两根之积小于零．欲比较方程的正根与负根绝对值的大小，可以比较两根之和与零的关系．若两根之和大于零，则正根大于负根的绝对值，反之则负根的绝对值大于正根． 【详解】解：方有一个正根，一个负根的条件为： 且， 解得， 根据两根之和公式可得， 又∵， ∴， 即此时负根的绝对值大． 变式训练3（2025九年级上·全国·专题练习）m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 (1)两个正根 (2)一正一负两根 (3)两根都大于1． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）直接利用根与系数的关系得出关于k的不等式进而求出即可； （2）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于k的不等式进而求出即可； （3）根据两根分别减1后，两根都为正，然后利用根与系数的关系及根的判别式，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：（1）由题意可得， ， 解得，或， 即当或时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两个正根． （2）由题意可得， ，解得：1＜m＜3； 即当1＜m＜3时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有一正一负两根． （3）根据题意，得：， 即， 解得：﹣6+3≤m≤1， 即当﹣6+3≤m≤1时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两根都大于1． 【点睛】本题主要考查根与系数分关系和根的判别式，解决此类题目的关键是能熟练运用根与系数的关系，，，及根的判别式． 类型七、利用方程的根和根与系数的关系构建方程 典例精讲7（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知满足，满足，且，则 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．由题意可知实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，由此可得答案． 【详解】解：实数、满足，，且， 实数、是关于的方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知两个数为某一元二次方程的两根，反向构造出符合要求的一元二次方程 2.方法：设两根为m、n，直接套用构造公式：，可同乘非零整数化为最简整系数一般形式 3.易错提醒：一次项系数符号写反；未整理成标准最简形式 变式训练1（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）已知，且满足，，那么的值为______________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，由已知条件，和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系，可得，，所求可化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，且满足，， ∴、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：5． 变式训练2（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知实数，满足，，且，求的值________ 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将第二个方程 变形，得到满足的方程 ，与第一个方程形式相同，且，因此 和 是方程的两个不相等的根，利用根与系数的关系求出 和的值，代入所求表达式化简即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，变形得， 又，且， 所以和是方程 的两个根， 由根与系数的关系，得， 所求表达式， 代入已知值，分子，分母， 所以， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知实数、、满足：，，且，令，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键．由题意可得实数、是关于的一元二次方程的两个根，进而得到，，，结合求出，再将这个式子化简，即可求解． 【详解】解：实数、、满足：，， 实数、是关于的一元二次方程的两个根， ，，， ， ， ，即， ， ， ， 的取值范围是， 故答案为：． 类型八、根与系数的关系有关的新定义问题 典例精讲8（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算将原方程化为一般式，利用根与系数的关系求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程的两根记为、， ∴， ∴， 故答案为：2． 题型归纳 1.特征：题干给出课本没有的全新数学概念（如倍根方程、友好根、伴随方程、特征值等），依托一元二次方程两根x1、x2的数量关系设置规则，要求翻译条件、求参数、判断方程类型或构造新方程，常与判别式、含参分类讨论综合考查，侧重信息读取与数学建模能力 2.方法：① 拆解文字定义，转化为或的等式； ② 套用韦达定理列式求解参数； ③ 双重检验：a≠0且，舍去不符合条件的增根。 变式训练1（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴； （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ， ∴ ∴ ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 2．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：设方程的两根为、，且，， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴，即， ∴，解得， 又判别式， 当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件； 综上，的取值范围是． 4．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系与勾股定理的结合应用，关键是通过韦达定理求出两直角边的和与积，再利用勾股定理计算斜边． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为、， ∵、是方程的两个根， ∴根据韦达定理，得，， 由勾股定理，斜边， ∵， ∴． 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系，将条件转化为关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵方程是， ∴设，，， 则，， ∴， 代入，， 得， 给定， ∴， 解得， ∴， 当时，方程为，其根的判别式，满足题意 此时，方程确为二次方程，符合条件． 故选：D． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为（　　） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程有两个正实数根，需满足二次项系数非零、判别式非负、根的和与积均为正，进行解答即可． 【详解】解：∵方程有两个正实数根， ∴，即， ， 解得：， 两根之和，两根之积， ∵分子均为正， ∴，即， 综上，， 故选：D． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值． 【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即． 则． 因此，． 由， 两边除以，得， 即． 所以，原式 ． 故答案为：2024． 9．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴由根与系数的关系得：，； ，； … ，； ∴原式 ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·重庆·期末）若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、，是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，，进而求出，再利用根与系数的关系可得出 ， ，整体代入化简后的表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴ ， 同理：． ∴， ∵， ， ∴原式． 故答案为：． 11．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 12．（湖南省湘西土家族苗族自治州花垣县华鑫教育集团2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)-4 (2)23 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系． （1）先求出， ，再展开，再代入求值即可； （2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可； 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 13．（25-26九年级上·福建泉州·期末）按要求解答下列问题． (1)我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如_________，_________； (2)若关于x的方程（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根； (3)设，是方程（p，q为整数）的两根，且是一个完全平方数，试探究，均为整数． 【答案】(1)， (2)，根为0和2 (3) 证明：， （p、q为整数）， ，是方程（p，q为整数）的两根， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 又q是整数， 是整数．即是4的倍数， 必为偶数， 设，k为整数， 是整数， ，都是整数． 【分析】本题考查命题真假判断、一元二次方程根与系数的关系、完全平方数的性质，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）要判断命题是假命题，只需找出满足a、b和与积为整数，但a、b本身不是整数的反例即可； （2）先根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合两根为整数的条件，通过因式分解求出m的值和方程的根； （3）利用求根公式表示出方程的根，再根据完全平方数的性质证明两根为整数即可． 【详解】（1）解：令a，b，． 验算：、均是整数，但a，b都不是整数， 故答案为：，； （2）解：设关于x的方程（m为整数）的两根分别为，，由题意得： ， 整理得：， ，是整数， 、都是整数， 分情况讨论： 当、时， 解得、， ； 当、时， 解得、， ； 综上所述，，方程根为0和2； （3）略 14．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 15．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据根与系数的关系可得出，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：∵， ∴的最小整数值为2．   把代入方程，得 ，    ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴的周长为． 16．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2043 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据二次项系数 且判别式大于零列式求解即可； （2）把代入方程得到 ，由两根为 和 ，得出 ，，，然后将原式变形为求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴或， 解得或， 综上可知，或且． （2）解：取满足（1）中条件的最小正整数，即． 代入方程得， 设两根为和，则，，， ∴，， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $