专题04一元二次方程的根与系数的关系的应用（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以根与系数关系为核心，通过8类题型构建“原理-步骤-变式”三阶训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接求代数式值|典例2+变式3|代数式变形整体代入，强调判别式前提|从基础应用到复杂变形| |已知一根求参数|典例1+变式3|代入求参或韦达定理直接计算|方程根的定义与韦达定理结合| |判定两根符号|典例1+变式3|和积符号规则+判别式验证|代数符号与方程根的性质关联| |构造方程|典例1+变式3|和积公式逆用构造方程|韦达定理逆向思维训练| |降次求高次代数式|典例1+变式3|方程根定义降次+整体代入|代数降次思想与韦达定理综合| |几何综合|典例1+变式3|几何量设元转化为方程问题|代数模型解决几何问题（模型意识）| |判别式综合|典例1+变式3|先定参数范围再用韦达定理|代数推理严谨性训练| |新定义综合|典例1+变式3|新规则转化+韦达定理应用|创新意识与知识迁移能力|

专题04 一元二次方程的根与系数的关系的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 直接利用根与系数的关系求代数的值 题型02 已知方程一根，求另一根与参数 题型03 不解方程，判定两根正负与符号特征 题型04 利用根与系数的关系构造一元二次方程 题型05 利用根与系数的关系构造一元二次方程 题型06 根与系数的关系与几何图形的综合运用 题型07根与系数的关系与根的判别式的综合运用 题型08 根与系数的关系与新定义的综合运用 ▌题型01 直接利用根与系数的关系求代数的值 【典例1-1】【答案】D 【典例1-2】【答案】D． 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】2． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． ▌题型02 已知方程一根，求另一根与参数 【典例2】【答案】C 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根是 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）先计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先把代入一元二次方程得到，解一次方程得到，所以原方程为，然后用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入一元二次方程得到， 解得， ∴原方程为， 设方程的另一个根为，则， 解得， 所以方程的另一个根是． ▌题型03 不解方程，判定两根正负与符号特征 【典例3】【答案】D 【变式1-1】 【答案】C． 【变式1-12】【答案】C． 【变式1-3】 【答案】D． ▌题型04 利用根与系数的关系构造一元二次方程 【典例4】【答案】C． 【变式1-1】【答案】A． 【变式1-2】【答案】A． 【变式1-3】【答案】． ▌题型05 结合方程根定义降次，求解高次代数式的值 ◆1、核心原理 若 是方程 的根，则 ，可把二次及更高次幂降为一次式。 ◆2、解题必备步骤 （1）将根代入方程，得到降次等式； （2）对高次代数式不断替换、降次，消去平方、立方等高次项； （3）化简后只剩一次项与常数； （4）结合韦达定理整体代入计算最终数值。 【典例5】【答案】D 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】C ▌题型06 根与系数的关系与几何图形的综合运用 【典例6】 【答案】①证明：对于关于的一元二次方程， ∵这个方程根的判别式为， ∴无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②当时，是直角三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． ①利用一元二次方程根的判别式即可得证； ②先一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，再根据勾股定理的逆定理可得要使是以为斜边的直角三角形，则，解方程可得的值，然后结合即可得出答案． 【详解】①略 ②∵两边、 的长是这个方程的两根， ∴， ∴ ， 要使是以为斜边的直角三角形，则， ∴， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴当时，是直角三角形． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，熟练掌握菱形、矩形的性质是解决问题的关键． （1）利用矩形的两条对角线的长相等，一元二次方程有两个相等的实数根，可建立关于k的方程，求得答案即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，再由菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半建立关于k的方程，求得答案即可． 【详解】（1）解：，n分别为矩形两条对角线的长， ， ， ； （2）解：∵方程的两根m，n分别为菱形两条对角线的长，且菱形的面积为5， ∴，， ∴， ∴， ． 【变式1-2】 【答案】(1)②③ (2)0 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握“归一方程”的定义，是解题的关键： （1）分别求出方程的解，进行判断即可； （2）根据题意，求出，代入代数式进行计算即可； （3）根据根与系数的关系，求出两个根，以及的值即可． 【详解】（1）解：，解得：，故①不是“归一方程”； ，解得：或，故②是“归一方程”； ，解得：，故③是“归一方程”； 故答案为：②③； （2）∵， ∴， ∵方程是“归一方程” ∴， ∴； （3）∵为“归一方程”， ∴方程有一个根为，设另一个根为， 则：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． ▌题型07 根与系数的关系与根的判别式的综合运用 【典例7】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 【变式1-1】 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【变式1-2】 【答案】(1)见解析 (2)或4 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数关系等知识． （1）求出，进一步即可得到结论； （2）根据根与系数关系得到，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意，得． ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，得． 当时，原方程为，解得， 则不成立． 当时，， ∴方程的两根异号． ①若 ， ②若 ． 综上所述，m的值为或4． 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． ▌题型08 根与系数的关系与新定义的综合运用 【典例8】 【答案】(1) 不是 (2) 有常定数，常定数为和 (3) 【分析】（1）根据常定数的定义判断即可； （2）原式变形为，根据常定数的定义得出，解方程即可； （3）先根据当时，代数式的值为4，求出，代入并化简得，根据常定数的定义得出，化简后根据根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）解：当时，代数式的值为，不是恒定的常数， 所以不是这个代数式的常定数； （2）解：有常定数，常定数为和 理由：若有常定数， 则， 解得或 故代数式有常定数，常定数为和； （3）解：当时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴ ， ∵存在两个常定数和， ∴，即， ∴. 【变式1-1】 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 【变式1-2】 【答案】(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程” 【变式1-3】 【答案】(1)是 (2)5 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程的根与系数的关系的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 直接利用根与系数的关系求代数的值 题型02 已知方程一根，求另一根与参数 题型03 不解方程，判定两根正负与符号特征 题型04 利用根与系数的关系构造一元二次方程 题型05 利用根与系数的关系构造一元二次方程 题型06 根与系数的关系与几何图形的综合运用 题型07根与系数的关系与根的判别式的综合运用 题型08 根与系数的关系与新定义的综合运用 ▌题型01 直接利用根与系数的关系求代数的值 ◆1、核心思路 把所求代数式变形为只含 、 的形式，整体代入韦达定理结果计算。 常见变形公式 ◆2、解题必备步骤 （1）确认方程为一元二次方程，写出 ； （2）计算 、； （3）将所求代数式因式分解、配方变形； （4）整体代入求值； ◆3、注意 使用韦达定理前提：方程有实数根，。 【典例1-1】已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解： 一元二次方程中，，，， ，， ∴． 【典例1-2】方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21 【答案】D． 【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣24，再计算（x1+1）（x2+1）得x1x2+x1+x2+1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣24， 所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣24+2+1＝﹣21． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式1-1】设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 【变式1-2】设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝　 ． 【答案】2． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的根， ∴m2+3m﹣5＝0， ∴m2＝﹣3m+5， ∴m2+4m+n＝﹣3m+5+4m+n＝m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根， ∴m+n＝﹣3， ∴m2+4m+n＝﹣3+5＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 【变式1-3】设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． ▌题型02 已知方程一根，求另一根与参数 ◆1、核心原理 方法 1：将已知根代入原方程，先求出参数，再解方程得另一根； 方法 2：韦达定理，利用两根之和 / 积直接求未知根。 ◆2、解题必备步骤 （1）把已知根代入方程，解出字母参数； （2）把参数代回原方程，解方程求出另一根；或利用 ，直接列等式求另一根； （3）检验二次项系数 。 【典例2】若，且n为一元二次方程的一个根，则一元二次方程的另一根为（    ） A． B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】设一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之积为，结合，即可求得． 【详解】解：n为一元二次方程的一个根， 设一元二次方程的另一根为，根据根与系数的关系得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 【变式1-2】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根是 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）先计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先把代入一元二次方程得到，解一次方程得到，所以原方程为，然后用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入一元二次方程得到， 解得， ∴原方程为， 设方程的另一个根为，则， 解得， 所以方程的另一个根是． ▌题型03 不解方程，判定两根正负与符号特征 ◆1、判定规则 设 ，前提 （1）两根同正： （2）两根同负： （3）一正一负： （4）一根为 0： ◆2、解题必备步骤 （1）先计算判别式，保证有实数根； （2）计算两根和、两根积； （3）根据和与积的正负对照规则判断两根符号； （4）写出完整结论。 【典例3】一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．有一个正根，一个负根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）的根的判别式与根的个数．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．求出，判断其符号即可得解，也考查了根与系数的关系． 【详解】解：由，得， ，又， ， 该方程有两个不相等的实根，并设为，， ∵， ∴两个根为一个正根，一个负根． 故选：D． 【变式1-1】（2024春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 【答案】C． 【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断． 【详解】解：在方程中， 可得：， ∵a、b、c是的三条边的长， ∴，，．，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是，两根的积是， ∴方程有两个不等的负实根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根． 【变式1-12】（2024春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【答案】C． 【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【解答】解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【变式1-3】（2024·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况 是（    ）. A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大 C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大 【答案】D． 【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大． 【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac． ∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 设方程两根为x1，x2． ∵，∴方程有异号两实数根． ∵，∴负根的绝对值大． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． ▌题型04 利用根与系数的关系构造一元二次方程 ◆1、核心公式 已知两数 为方程两根，则方程： ◆2、解题必备步骤 （1）算出两根之和 、两根之积 ； （2）代入构造方程基础形式； （3）若要求整数系数，统一去分母化为标准整式方程； （4）整理成 规范形式。 【典例4】已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 【答案】C． 【分析】将原题第二个等式左右两边同时除以n2，变形后与第一个等式比较，得到m与 为方程5x2+2010x+9=0的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【解答】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0， ∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m• = = ． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式1-1】已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 【答案】A． 【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0， ∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根， ∴m＋n＝2a，mn＝2， ∴(m－1)2＋(n－1)2 ＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1 ＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2 ＝4a2－4－4a＋2 ＝4(a－)2－3， ∵a≥2， ∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值， ∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6， 故选A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【变式1-2】（2024春·江苏·九年级专题练习）设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 【答案】A． 【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可 【解答】解： ，， 看作以上方程的两个不同的根， 即是方程的两根， 故，即 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 【变式1-3】若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 ． 【答案】． 【分析】利用2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3，a≠b，则可把a、b看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，根据根与系数的关系得到a+b，ab，再把a2b+ab2分解因式得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3， 即2a2﹣5a﹣3＝0，＝2b2﹣5b﹣3＝0， 而a≠b， ∴a、b可看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根， ∴a+b，ab， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． ▌题型05 结合方程根定义降次，求解高次代数式的值 ◆1、核心原理 若 是方程 的根，则 ，可把二次及更高次幂降为一次式。 ◆2、解题必备步骤 （1）将根代入方程，得到降次等式； （2）对高次代数式不断替换、降次，消去平方、立方等高次项； （3）化简后只剩一次项与常数； （4）结合韦达定理整体代入计算最终数值。 【典例5】已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 【变式1-1】若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可． 【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键． 【变式1-2】已知，是方程的两个根，则代数的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，再代入降次求值即可． 【详解】解：由题意，得， ，， 原式， ， ， =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 【变式1-3】已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． ▌题型06 根与系数的关系与几何图形的综合运用 ◆1、常见考法 直角三角形、线段长度、面积、周长、动点边长等； ◆2、解题必备步骤 （1）设几何图形两条相关线段为方程两根； （2）根据周长、面积、勾股定理列出和、积的等量关系； （3）联立韦达定理求出参数或线段长度； （4）检验：线段长度必须大于 0，满足图形三边关系。 【典例6】关于的一元二次方程 ①求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②若两边、 的长是这个方程的两根，且斜边．问为何值时，是直角三角形． 【答案】①证明：对于关于的一元二次方程， ∵这个方程根的判别式为， ∴无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②当时，是直角三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． ①利用一元二次方程根的判别式即可得证； ②先一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，再根据勾股定理的逆定理可得要使是以为斜边的直角三角形，则，解方程可得的值，然后结合即可得出答案． 【详解】①略 ②∵两边、 的长是这个方程的两根， ∴， ∴ ， 要使是以为斜边的直角三角形，则， ∴， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴当时，是直角三角形． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程的两个根为m，n． (1)若方程的两根m，n分别为矩形两条对角线的长，求k的值； (2)若方程的两根m，n分别为菱形两条对角线的长，且菱形的面积为5，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，熟练掌握菱形、矩形的性质是解决问题的关键． （1）利用矩形的两条对角线的长相等，一元二次方程有两个相等的实数根，可建立关于k的方程，求得答案即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，再由菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半建立关于k的方程，求得答案即可． 【详解】（1）解：，n分别为矩形两条对角线的长， ， ， ； （2）解：∵方程的两根m，n分别为菱形两条对角线的长，且菱形的面积为5， ∴，， ∴， ∴， ． 【变式1-2】若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． (1)下列方程是“归一方程”的有 ．（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． (3)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，则n 的值为 ；方程的另一个解为 ． 【答案】(1)②③ (2)0 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握“归一方程”的定义，是解题的关键： （1）分别求出方程的解，进行判断即可； （2）根据题意，求出，代入代数式进行计算即可； （3）根据根与系数的关系，求出两个根，以及的值即可． 【详解】（1）解：，解得：，故①不是“归一方程”； ，解得：或，故②是“归一方程”； ，解得：，故③是“归一方程”； 故答案为：②③； （2）∵， ∴， ∵方程是“归一方程” ∴， ∴； （3）∵为“归一方程”， ∴方程有一个根为，设另一个根为， 则：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． ▌题型07 根与系数的关系与根的判别式的综合运用 ◆1、核心搭配 先利用 确定参数取值范围，再结合韦达定理列式计算； ◆2、解题必备步骤 （1）写出 ，计算判别式 ； （2）根据题意列不等式，求出参数取值范围； （3）结合韦达定理写出 ； （4）代入代数式求值或列方程求参数； （5）最终结果必须落在判别式求出的取值范围内。 【典例7】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 【变式1-1】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两实数根分别为，且，求m的值及方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)或4 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数关系等知识． （1）求出，进一步即可得到结论； （2）根据根与系数关系得到，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意，得． ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，得． 当时，原方程为，解得， 则不成立． 当时，， ∴方程的两根异号． ①若 ， ②若 ． 综上所述，m的值为或4． 【变式1-3】若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． ▌题型08 根与系数的关系与新定义的综合运用 ◆1、核心要点 先读懂题目自定义运算、新规则，再结合韦达定理解题； ◆2、解题必备步骤 （1）根据新定义列式，整理为一元二次方程； （2）写出 ，计算两根和、两根积； （3）结合题目要求列等式 / 不等式； （4）求解参数，同时满足 ； （5）舍去不符合新定义、无实际意义的解。 【典例8】对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 【答案】(1) 不是 (2) 有常定数，常定数为和 (3) 【分析】（1）根据常定数的定义判断即可； （2）原式变形为，根据常定数的定义得出，解方程即可； （3）先根据当时，代数式的值为4，求出，代入并化简得，根据常定数的定义得出，化简后根据根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）解：当时，代数式的值为，不是恒定的常数， 所以不是这个代数式的常定数； （2）解：有常定数，常定数为和 理由：若有常定数， 则， 解得或 故代数式有常定数，常定数为和； （3）解：当时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴ ， ∵存在两个常定数和， ∴，即， ∴. 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程” 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)5 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程的根与系数的关系的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 直接利用根与系数的关系求代数的值 题型02 已知方程一根，求另一根与参数 题型03 不解方程，判定两根正负与符号特征 题型04 利用根与系数的关系构造一元二次方程 题型05 利用根与系数的关系构造一元二次方程 题型06 根与系数的关系与几何图形的综合运用 题型07根与系数的关系与根的判别式的综合运用 题型08 根与系数的关系与新定义的综合运用 ▌题型01 直接利用根与系数的关系求代数的值 ◆1、核心思路 把所求代数式变形为只含 、 的形式，整体代入韦达定理结果计算。 常见变形公式 ◆2、解题必备步骤 （1）确认方程为一元二次方程，写出 ； （2）计算 、； （3）将所求代数式因式分解、配方变形； （4）整体代入求值； ◆3、注意 使用韦达定理前提：方程有实数根，。 【典例1-1】已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21 【变式1-1】设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【变式1-2】设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝　 ． 【变式1-3】设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) ▌题型02 已知方程一根，求另一根与参数 ◆1、核心原理 方法 1：将已知根代入原方程，先求出参数，再解方程得另一根； 方法 2：韦达定理，利用两根之和 / 积直接求未知根。 ◆2、解题必备步骤 （1）把已知根代入方程，解出字母参数； （2）把参数代回原方程，解方程求出另一根；或利用 ，直接列等式求另一根； （3）检验二次项系数 。 【典例2】若，且n为一元二次方程的一个根，则一元二次方程的另一根为（    ） A． B．-1 C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根． ▌题型03 不解方程，判定两根正负与符号特征 ◆1、判定规则 设 ，前提 （1）两根同正： （2）两根同负： （3）一正一负： （4）一根为 0： ◆2、解题必备步骤 （1）先计算判别式，保证有实数根； （2）计算两根和、两根积； （3）根据和与积的正负对照规则判断两根符号； （4）写出完整结论。 【典例3】一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．有一个正根，一个负根 【变式1-1】（2024春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 【变式1-12】（2024春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【变式1-3】（2024·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况 是（    ）. A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大 C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大 ▌题型04 利用根与系数的关系构造一元二次方程 ◆1、核心公式 已知两数 为方程两根，则方程： ◆2、解题必备步骤 （1）算出两根之和 、两根之积 ； （2）代入构造方程基础形式； （3）若要求整数系数，统一去分母化为标准整式方程； （4）整理成 规范形式。 【典例4】已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 【变式1-1】已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 【变式1-2】（2024春·江苏·九年级专题练习）设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 【变式1-3】若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 ． ▌题型05 结合方程根定义降次，求解高次代数式的值 ◆1、核心原理 若 是方程 的根，则 ，可把二次及更高次幂降为一次式。 ◆2、解题必备步骤 （1）将根代入方程，得到降次等式； （2）对高次代数式不断替换、降次，消去平方、立方等高次项； （3）化简后只剩一次项与常数； （4）结合韦达定理整体代入计算最终数值。 【典例5】已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【变式1-2】已知，是方程的两个根，则代数的值为 ． 【变式1-3】已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 ▌题型06 根与系数的关系与几何图形的综合运用 ◆1、常见考法 直角三角形、线段长度、面积、周长、动点边长等； ◆2、解题必备步骤 （1）设几何图形两条相关线段为方程两根； （2）根据周长、面积、勾股定理列出和、积的等量关系； （3）联立韦达定理求出参数或线段长度； （4）检验：线段长度必须大于 0，满足图形三边关系。 【典例6】关于的一元二次方程 ①求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根． ②若两边、 的长是这个方程的两根，且斜边．问为何值时，是直角三角形． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程的两个根为m，n． (1)若方程的两根m，n分别为矩形两条对角线的长，求k的值； (2)若方程的两根m，n分别为菱形两条对角线的长，且菱形的面积为5，求k的值． 【变式1-2】若关于x的方程有一个解为，则称这样的方程为“归一方程”．例如：方程有解，所以为“归一方程”． (1)下列方程是“归一方程”的有 ．（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，求代数式的值． (3)若关于x的一元二次方程为“归一方程”，则n 的值为 ；方程的另一个解为 ． 【变式1-3】【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． ▌题型07 根与系数的关系与根的判别式的综合运用 ◆1、核心搭配 先利用 确定参数取值范围，再结合韦达定理列式计算； ◆2、解题必备步骤 （1）写出 ，计算判别式 ； （2）根据题意列不等式，求出参数取值范围； （3）结合韦达定理写出 ； （4）代入代数式求值或列方程求参数； （5）最终结果必须落在判别式求出的取值范围内。 【典例7】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【变式1-1】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两实数根分别为，且，求m的值及方程的根． 【变式1-3】若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． ▌题型08 根与系数的关系与新定义的综合运用 ◆1、核心要点 先读懂题目自定义运算、新规则，再结合韦达定理解题； ◆2、解题必备步骤 （1）根据新定义列式，整理为一元二次方程； （2）写出 ，计算两根和、两根积； （3）结合题目要求列等式 / 不等式； （4）求解参数，同时满足 ； （5）舍去不符合新定义、无实际意义的解。 【典例8】对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $