专题06 一元二次方程的计算必刷100题（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法与根的性质，通过分层训练构建从基础运算到综合应用的能力体系，渗透运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法训练|约60题|指定/自选方法解方程（配方法/公式法/因式分解法）|从具体解法操作到方法选择优化，夯实运算基础| |解法辨析与优化|约10题（如第7、66题）|含错误解法分析、解题策略比较|通过错例反思提升思维严谨性，培养批判性思维| |根的性质应用|约20题（如第39、45、55题）|涉及判别式、根与系数关系证明及计算|从方程解的存在性到数量关系推导，发展推理意识| |综合拓展应用|约10题（如第65、67、79、98题）|结合新定义（常定数/差根方程等）及几何情境|从代数性质到跨情境应用，体现模型意识与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06一元二次方程的计算必刷100题 1.(1)x=3 (2)X1=4,X2=5 2.(1)x=- 足原分式方性的根 ②x学X=-1 3.(1) X1=3,X2=-7 (2) X1=2,X,=3 4.(1)x=-3 5.(1) x1=3+V6,x2=3-6: (2) 原方程无解。 6.(1)x1=1,x2=-9 -1+9V13-1-9V13 2x1-3 ,X23 7.两边同除以x-2时，未考虑到x-2可能为0. 正确解答：2x-2=x-22, 移项，得2x-2-x-22=0, 提取公因式，得x-22-x+2=0,即x-2川4-x=0, ∴.x-2=0或4-x=0, 解得X1=2,X2=4」 8.①)x1=1+V2,X2=1-V2 3+53-5 2 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8x=子，号 2 9.(1)x1=1+),x2=16 2 (2x=3-2,=3+V2 10.(1)x1=0,X2=4 xx- 11.(1)X1=5,X2=-1 ®西 ._1-3 ，X2 2 (3)x1=1,X2=-5 (4X1=3,X2=-3 12.(1)x1=-1+5,x2=-1-5 ②x2.x是 3)x1=-1+3,X2=-1-93 0x2x号 13.(1)x1=6,x2=-4 (2)x1=-6,x2=-5 14.(1)x=3 5 ②X1-号X2=2 15.(1)x1=-2+V2,X2=-2-2 (2)x=3 160x2x=号 (2)x=-1 1.0①x3X=3 (2)x1=3,X2=1 18.(1)X1=-3,X2=-1 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②)x1=2+2,X,=2-9V2 19.(1)x1=11,X2=-9 ②x,=3+6x-3-只6 2,X23 20.(1)X1=2,X2=-4 (2)9a+9 9+V579-V57 21.1x16 ,26 3 2X1=2X,=2 22.(0x1-2 +52-5 ,X2= 2 @x2.=号 2.0x号 (②)x1=2+3,X2=2-3. 24.(1) X1=X2=-1 (2) X3x号 25.x1=4-715,x2=4+9V15 26.(1) X1=2+V11,x2=2-/11 (2) 2,号 27.1)x2-y2+6y-9 (2)x2+y2=9 280-1,×号 ②x=9x0 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.(1)X1=0,X2=6 5+933-5-V33 (②x1=4 ,X224 8x3.号 30.(1) 7+57-V5 X1=2巴，x2F2 (2) 3,号 31.(1) X1=5,X2=-1 (2) 2+V72-V7 13 ,X23 32.(1)X1=0,X2=4 (2)x1=5,X2=-1 33.(1)x1=2+2V3,X2=2-23 (2)x1=1,X2=-1 34.(1)X1=2,X2=3 (2)x1=2-33,x2=2+33 80x号x=号 5+V335-33 (2)x1= 4 ,X2= 4 0x号6 36.(1)x1=-3,X2=1 (2)x1=-2,X2=4 37.(0x1=3 1+7--1-V7 ,X23 (2x1=5+3,x2=5-3. 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8045x35 2 (2)2x2+y2 39.(1)证明：将原方程整理为一般形式，得x2-2x-8-k=0, ∴根的判别式△=(-2)2-4×1×-8-k=36+4k, .k≥0， .36+4k>0, 即△>0， ∴对于任何实数k,方程总有两个不相等的实数根： (2)k=±7 40.0y1+5 =1-5 . 2 (2)X1=2,X2=4 41.(1)X1=2,X2=3 3+/13 (②x12 -3-V13 X22 2V3+V6 42.X13 23-V6 ,X2 3 43.-3 44.(1)X1=1,X2=3 (2)x=3 45.(①)将x-1x-2=m2,整理得 x2-3x+2-m2=0, ∴.△=-32-42-m2=9-8+4m2=4m2+1>0, 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①m=±V6;②0 46.X1=-1,X2=5 47.(1)±2V2 (2)21 48.(1)x1=-6,X2=-1 (2)b=5,方程的另一个解为x=-3 49.(1)x1=-5,x2=5 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x1=3,X2=-4 50.(1)x1=1,X2=4 (2) 选择甲的说法进行判断：甲的说法错误，理由如下： 对x2-k+1x+k=0,因式分解得(x-1)(x-k)=0, ∴.X-1=0或x-k=0, 解得x1=1,x2=k, 当k=1时，x1=X2=1,方程有两个相等的实数根，故甲的说法错误. 选择乙的说法进行判断：乙的说法正确，理由如下： 对x2-k+1x+k=0,因式分解得(x-1)(x-k)=0, ∴.x-1=0或x-k=0, 解得x1=1,X2=k, ..无论k取任何值，X1=1恒为整数， 无论k为何值，方程至少有一个整数根，故乙的说法正确 51.0x13X,-3 (2)x1=2+23,x2=2-23 52.(1)X1=4,X2=-2 (2)x1=1,X2=-3 53.(1) X1=4,X2=-2 (2 3-V11 ,X22 54.(1)X1=4,X2=-2 ②x1=7x3 55.(1)m<9 (2)m=8 56.(1)x1=1,x2=-8 (2)x1=-1,X2=1 57.X1=2,X2=-3 6/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 58.1)X1=4,X2=2: ._2-2 ,X22 59.(①)X1=3,X2=-1 0x1,x号 60.(1)证明：，ax2+a-2x-2=0, .ax2+ax-2x-2=0, ax2+ax-2x+2=0, axx+1-2x+1=0, x+1川ax-2=0, 解得：X-1,X=2 ∴.无论a取何值，-1是方程①的一个根： 时片 (3)c的最大值为1 61.(1)x1=-2,X2=1 x ._3-V5 2,X22 62.(1)x1=5,X2=-1 (2)x1=1,X2=-3 63.(1) X1=3,X2=-1 (2) X1=3,X2=5 b-/b2-4ac 64.(02a (2)x+3川x-4 a227 65.(1)A=b2-4ac=2m+4-4×4m=4m2+16, .m2≥0 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .4m2+16>0 .△>0， 所以不论m取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根， (2)m=3 6)m=1428 或 66.(1)小明和小颖的解法都不正确， 正确的解答过程：整理得：x-2?-5x-2=0, .x-2x-2-5=0,即x-2川x-2-5=0, .x-2川x-7=0, .x-2=0或x-7=0, .X1=2,X2=7 (2)先移项将其整理为mx2-x=0的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元 一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解. 67.(1) 不是 (2) 有常定数，常定数为0和5 (3) 7 68.(1)m>-2 (2)x1=3/3+1,x,=-3/3+1 69.(1)x1=0.4,X2=-2.4 1 (2X1=2,x2= 70.(1)证明：.△=k+22-4×2k=k2-4k+4=k-22≥0， ∴无论k取何实数，该方程总有两个实数根： (2)△ABC的周长为7或8 71.(1)X1=4,X2=-2 2-V7 (2)x1= _2+V7 3 2,X23 1 (3)X1=3’x=1 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)x1=5,X2=-1 72.(1)x1=0,X2=6 +V Qx1-2 3-5 2,X22 73.(1)x1=-3+3,x2=-3-3 (2)X1=9,X2=-2 74.(证明：对于方程x2-2m+3x+m2+3m+2=0, 其中a=1,b=-2m+3,c=m2+3m+2, △=b2-4ac=[-2m+3]2-4×1×m2+3m+2, =(2m+3)2-4m2+3m+2 =4m2+12m+9-4m2-12m-8 =1, .△=1>0恒成立， .·无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根 (2)m1=2,m2=-5 75.(1)X1=2,X2=1 @x 2+V6_2-V6 6,X22 76.(@)实数k的取值范围是k≥ 4 (2)k=2 77.(1)x1=5.5,x2=-2.5 ,22 ②)x=2+14￥-2-14 8④x=号 (2)X1=1,X2=-3 79.(1)① a号 (3)x2-V13x+3=0 80.(1)x1=-2,X2=4 (2)x1=2+/11,x2=2-9/11 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 81.(1) (2) X1=2,X2=-4 82.(1)x=5 (②x1=2+7 x_2-V7 3 ,x,3 83.(1)m=-6,n=3,x1=6+2/3,x2=6-23 (2)x1=13,x2=-7 4.0x=x专 (②X13 2+97-2-9V7 ,X23 85.0号1 1+9/17 ②x1-4 -1-V17 ,X2= 4 86.(1) X1=4,X2=-2 (2) x1=-2+V6,x2=-2-V6 87.(1)证明：.△=(m-3)2-4m-5 =m2-10m+29 =(m-5)2+4>0 ∴.无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： (2)m的值为10 88.(1)x1=-3+/6,X2=-3-9V6 (2)x1=1,X2=-1 89.(1)m<2 (2)m=-3 90.(①)另一个实数根为5 10/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②2或2 91.(x1-4 3+9/33-3-V33 ,824 (2)x1=X2=6 92.(1)X1=-4,X2=6 +9V/14_2-914 ②x1-2 ,X22 93.4x0X,-5 (2)x1=6,X2=-1 94. k=1,此时方程的解为x1=x2=1 95.(1)x1=1,x2=-5 1 (2②x17X=-1 96.(1)4x2-5x+1=0, 4x-1川x-1=0, 4x-1=0或x-1=0, 所以X子，X斗， (2)x=1 (3)a=3 97.(1)x1=2+/7,X2=2-V7 (2)x1=-7,X2=1 98.(1)③ (2)2或4 (3)证明：设方程x2-bx+C=0的两个根为x1,X2, 则x1+x2=b,X1x2=C,且△=-b2-4×1×c=b2-4c≥0， ,方程x2-bx+c=0是“邻根方程”， x1x2=1, .x1-x22=1 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x1+x32-4x1X2=1, ∴.b2-4c=1, b2-1 ∴.c= 4 :b2c*1=h1+21-号书+b*吃b+2b+ 42 号b, 而b+12≥0， 2b+120, 故b+2c+1≥0. 99.(1)X1=6,X2=-6 (2)x1=1,X2=-3 100.1)x1=-1+/2,x2=-1-V2 (2)X1=-5,X2=-3 12/12函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06一元二次方程的计算必刷100题 1.(25-26八年级下.陕西西安期末)解下列方程： 、+2=X-2 x-55-x (2x2-16=x-4|2x-1 2.(25-26八年级下.陕西咸阳·期末)解方程： a2+3x1 x+11-x2x-1 (2)3x2-x-4=0. 3.(22-23九年级上·新疆阿克苏·期末)用适当的方法解方程： (1)x+22-25=0 (2)2x2-7x+3=0 4.(25-26八年级下陕西咸阳·期末)解方程： 2，+1=2x x-113x-3 (2)6x2+x-2=0. 5.(25-26八年级下江苏南京·期末)解下列方程： (1)x2-6x+3=0: 32 26-2x 6.(25-26九年级上·福建莆田·阶段检测)解方程 (1)x2+8X-9=0;(配方法) (2)3x2=4-2x:(公式法) 7.（25-26八年级下·浙江台州期末)小李解方程2x-2=x-2的过程如下： 解：方程的两边同除以x-2,得2=x-2,解得 x=4. 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程. 8.(25-26九年级上·北京东城期中)用适当的方法解下列方程 (1)x-12=2 (2)x2-3x+1=0 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)5x3x+2=6x+4. 9.(21-22九年级上河南郑州开学考试)解方程： (1)2x2-4x=1: (2)V3x2-6x+/3=0. 10.(25-26八年级下·黑龙江绥化期末)用指定的方法解下列方程： (1)2x2-8x=0(因式分解法) (2)4x2-4x-3=0(公式法) 11.（25-26九年级上河北阶段检测)解方程. (1)x2-4x-5=0 (2)2x2-2x-1=0 (3)x2+4x=5: (4x-32=2xx-3 12.(25-26九年级上·四川南充阶段检测)解方程(1)、(2)小题按指定方法解，(3)、(4)小题选 择适当的方法解 吃×+x=2(气方法) (2)2x2-7x+6=0(公式法) (3)x+12-3=0 (4)4x+2=3xx+2 13.(25-26八年级下·湖南长沙期末)解方程： (1)x-12=25; (2)xx+6=-5x+61: 14.(25-26八年级下陕西咸阳期末)解方程： (2)x3x-5=6x-10 15.（2026江苏徐州·模拟预测)解方程： (1)x2+4x+2=0: 16.(22-23九年级上·江苏无锡·开学考试)解方程： 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)3xx-2=22-x 号41 17.（21-22九年级上·新疆哈密期中)解方程： (1)2x2+3=7X. (2)x-3P+2xx-3=0 18.(25-26九年级上·四川南充阶段检测)用适当的方法解方程： (1)x+3=2x+6: (2)x2-4x+2=0. 19.（22-23九年级上·吉林长春·开学考试)解方程： (1)x2-2x=99: (2)3x2-6x+1=0. 20.(22-23九年级上·浙江温州·阶段检测)解方程、化简 (1)解方程：x2+2x=8: (2)化简：a+32-aa-3. 21.(21-22九年级上山东青岛期中)解一元二次方程： (1)3x2-9x+2=0(配方法) (2)7x=-2x2-6(公式法) 22.(21-22九年级下·吉林长春·开学考试)解方程： (1)4xx-2=1(公式法)： (2)3xx-2=22-x. 23.(22-23九年级上河南郑州开学考试)解方程： 冬石1 (2)x2-4x+1=0 24.(22-23九年级上·江西九江阶段检测)解方程： (1)x2+2x+1=0 (2)2x-3=3xx-3. 25.(25-26九年级上安徽芜湖·阶段检测)解方程：x2-8x+1=0 26.(2022九年级上·重庆江津竞赛)解下列方程： 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2-4x-7=0: (2)3xx-2=x-2 27.(25-26九年级上·安徽芜湖阶段检测)在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单. 例如，在计算x-y-3x-y+3时就可以将x-y看成一个整体，式子转化为： x-y-32=x2-2xy+y2-9. 请借助整体思想完成： (1)计算x+y-3川x-y+3. (2x2+y2+2x2+y2-2=77,求x2+y2的值. 28.(25-26九年级上·安徽芜湖·期中)解方程与求值 (1)解方程3x2-4x+1=0 ②求的位：49x+号月 =-42 29.（22-23九年级下·甘肃酒泉·开学考试)解一元二次方程： (1)x2-6x=0 (2)2x2+5x-1=0 (3)2x(x-3)=x-3 30.(22-23九年级下·江苏苏州开学考试)解方程 (1)x2-7x+11=0: (2)2x-3=3xx-3. 31.(22-23九年级下·青海西宁开学考试)解方程： (1)xx-5+x-5=0: (2)3x2-1=4x 32.(26-27九年级·全国·暑假作业)解方程： (1)x2-4x=0: (2)x2-4x-5=0 33.（25-26八年级下·辽宁盘锦期末)解方程 (1)x2-4x=8: (2)x-12=21-x. 34.(25-26九年级上·北京·阶段检测)用适当方法解下列方程 (1)x2-5x+6=0 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2x-22-27=0 35.（25-26八年级下山东泰安·期末)解一元二次方程： (1)4x-12=9: (2)2x2-5x-1=0: (3)3x2+24=22x. 36.(25-26八年级下·辽宁大连·期末)解一元二次方程： (1)x2+2X-3=0: (2)xx-4=8-2x. 37.(25-26八年级下山东泰安期末)解方程 (1)3x-1x+1=1:(公式法) (2)x2-25x+2=0.(配方法) 38.(2026江苏无锡.中考真题)按要求完成下列小题： (1)解方程：x2-3x+1=0: (2)计算：x+yP+xx-2y: 39.(2022北京朝阳·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x+2川x-4=k. (1)求证：对于任何实数k,方程总有两个不相等的实数根： (2)设x+2x-4=k的两个实数根分别为x1、x2,若x12+x2=34,求k的值. 40.(25-26九年级上·广东茂名·期床)解方程： (1)x2+x=1. (2)x2-6x+8=0 41.(21-22八年级下·浙江金华阶段检测)用适当的方法解下列方程： (1)x-2}2=x-2: (2)x2+3x-1=0 42.（25-26九年级上·安微芜湖阶段检测)用公式法解一元二次方程：3x2-4V3x+2=0 43.(25-26九年级上·北京.阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2+2m-3x+m=0的两个不相等的 实妆银，陆女日1.求m的做， 44.(25-26八年级下.黑龙江佳木斯·期末)解方程： (1)x2-4x+3=0; 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1=3 (2) x-2 x 45.(25-26八年级下河北张家口·期末)已知关于x的方程x-1x-2=m2. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若X1,X2是方程的两根. ①当X1=-1时，求m的值： ②直接写出代数式x1-11-x2的最小值. 46.(25-26八年级下·湖南长沙期末)解方程：x2-4x-5=0, 47.(25-26八年级下·浙江台州·期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx+2=0. (1)若方程有两个相等的实数根，求b的值. (2)设x1,x2是方程的两个实数根，当b=5时，求x1+x2的值 48.(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx+6=0. (1)当b=7时，求方程的解. (2)若x=-2是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解。 49.(25-26八年级下·福建福州·期末)解方程： (1)x2-25=0: (2)x(x-3)=4(3-x) 50.(25-26八年级下·浙江杭州·期末)已知关于x的一元二次方程x2-k+1x+k=0. (1)当k=4时，求该方程的根. (2)甲说：无论k为何值，方程都有两个不相等的实数根：乙说：无论k为何值，方程至少有一个整数根. 请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由.（若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分） 51.(25-26八年级下·山东威海·期末)用适当的方法解一元二次方程： (1)3x2+8x-3=0 (2)x2-4x-8=0 52.(25-26八年级下·浙江舟山期末)解方程： (1)2x-12=18 (2)x2+2x-3=0 53.(25-26八年级下·陕西西安·期末)解下列一元二次方程： (1)x2-2x-8=0 (2)2x2-6x-1=0 54.（25-26八年级下·广西百色·期末)解下列方程： 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2-2x-8=0: (2)2x2-5x-3=0. 55.(25-26八年级下·江苏苏州期末)已知关于x的一元二次方程x2-6x+m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的两根为X1,X2,且X1=2x2,求m的值. 56.(25-26八年级下·福建莆田·期末)解方程： (1)x2+7x-8=0: (2)3xx+1=3x+3. 57.(25-26八年级下江苏苏州·期末)解方程：xx-2=-3x-2. 58.(25-26八年级下·山东菏泽·期末)用适当的方法解方程 (1)x2-6x=-8: (2)2x2-4x+1=0. 59.(25-26八年级下·河北石家庄·期末)解下列一元二次方程： (1)x2-2X-3=0 (2)4x-12+xx-1=0 60.(25-26八年级下.浙江杭州期末)关于x的一元二次方程ax2+a-2x-2=0①(a为常数，且a≠0) 的两个根分别为X1,X2,且X1<0,X2>0 (1)求证：无论a取何值，-1是方程①的一个根. 1+的取值范围。 (2当a>1时，求x1x2 (3)若关于x的一元二次方程ax2+a-2x-2=a3-4a+c(a为常数，且a0)的一个根比方程①的根x1大 a,求c的最大值 61.(25-26八年级下·浙江金华.期末)解方程： (1)xx+2=x+2: (2)x2-3x+1=0. 62.（25-26九年级下.黑龙江大庆·期末)解方程： (1)4x-22=36: (2)x2+2x-3=0. 63.(25-26八年级下·浙江台州期末)解方程： (1)x2-2X=3: 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(x-3)}=2(x-3) 4.(25-26八年级下.浙江金华.期末)我们把形如ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0,b0且c0)的 多项式叫做关于X的二次三项式.通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程.反过来，也可以利用 求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解.例如：一元二次方程2x+10x+12=0的 两个根为x1=-2,x2=-3,则二次三项式2x2+10x+12因式分解的结果是2x+2x+3. ()下面是代数推理过程，请补全过程： -b+Vb2-4ac 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,且b2-4ac20)的两个实数根为x12a -b-b2-4ac x2-2a 则a(x-x1x-x小=ax-b+6-4ac (x-)=ax2+bx+c. 2a ax2+bx+c=a(x-x1(x-x2). (2)已知关于x的一元二次方程x+mx+n=0(m,n是常数)的两个实数根为x1=-3,X2=4,则二次三项 式x+mx+n因式分解的结果是_， (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式3x2-8x-4进行因式分解. 65.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)我们把一元二次方程ax2+bx+c=0a0的两根记为X1,X2,若 方程的两根满足X1+x2=2k,则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为k;对于两个对称根 方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对 已知关于x的方程x2-2m+4x+4m=0 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为5，求m的值； (3)若x2-10x+21=0是它的互补对，求m的值. 66.(25-26八年级下·山东烟台期末)小明与小颖两位同学解方程5x-2=x-2}的过程如图： 小颖： 小明： 移项，得5x-2-x-22=0 两边同除以 x-2, 提取公因式，得 得5=x-2, x-25-x-2=0. 解得x=7. .X-2=0或5-x-2=0. 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得X1=2,X2=3 (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程： (②)请结合上述解题过程归纳总结：形如mx=x的一元二次方程的一般解法. 67.(25-26八年级下·浙江台州·期末)对于代数式ax+bx+c,若存在实数n,使得当x=n时，代数式的 值等于常数，则称n为这个代数式的常定数.例如，对于代数式ax2-2ax+1,当x=0时，代数式的值为 1,当x=2时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当x=1时，代数式的值为 a-2a+1=1-a,不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数. (1)判断：X=2 (是或不是)代数式mx2-3mx+4的常定数. (2)代数式mx2-5mx+4是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由. (3)已知代数式mx-2nx+4,当x分别为0和1时，代数式的值均为4，若)m(x-3)-n(x-3)-6n存在 两个常定数X1和X2,求X1+X2的值 68.(25-26八年级下.山东烟台期末)新运算：a*b=a2-2a-3b,例如：3*5=32-2×3-3×5=-12.若 关于x的方程x*m=5有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求m的取值范围； (2)当m=7时，用配方法解此方程， 69.（25-26八年级下山东烟台·期末)解方程： (1)3251+x2=637: (2)3x-2x-3=4-4x. 70.(25-26八年级下山东烟台期末)已知关于x的方程x2-k+2x+2k=0. (1)求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根： (2)若等腰△ABC的边长a=3,另两边长b,c恰好是这个方程的根，求△ABC的周长. 71.(25-26八年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程： (1)4(x-1)2=36: (2)3x2-4x-1=0; (3)3x-1)2=6x-2: (4)x-1川x-3=8 72.(25-26八年级下，浙江台州·期末)解一元二次方程： (1)x2-6x=0: (2)x2-3x+1=0 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 73.(25-26八年级下·安徽阜阳·期末)解方程： 哈x3 (2)x2-7x-18=0 74.(25-26八年级下山东泰安·期末)已知关于x的方程x2-2m+3x+m2+3m+2=0. (1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根： (2)若该方程两个根的平方和为25，求m的值 75.(25-26八年级下山东泰安·期末)解下列方程： (1)x-22=2-x (2)2x2-4x-1=0 76.(25-26八年级下·黑龙江大庆期末)已知关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k2+1=0. (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根X1,X2满足X1+X2=-X1·X2,求k的值. 77.(25-26八年级下山东泰安期末)解方程： (1)2x-32-64=0: (2)2x2-4x-5=0(用配方法解方程). 78.(25-26八年级下·广东深圳·期末)解下列方程： 2X+2 (2)x2+2x-3=0. 79.(25-26八年级下·广东深圳·期末)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根X1,X2, 若满足X1一X2=1,则此类方程叫做“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是 ；(填写序号) ①x2-x=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x+2ax=0是“差根方程”，求a的值， (3)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为V7,若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1 的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”. 80.(25-26八年级下·湖南长沙期末)解下列方程： (1)3x-12=27: (2)x2-4x-7=0 81.(25-26八年级下·黑龙江大庆·期末)解方程： 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)4x-12=9 (2)x2+2x-8=0. 82.(25-26八年级下·山东枣庄·期末)解方程 (002-1=3 4-xx-49 (2)3x2-4x-1=0. 83.(25-26九年级下·山东淄博·期末)爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解 法.如：解方程xX+4=6 解：原方程可变形，得，x+2-2x+2+2=6 整理得，x+22-22=6, 所以，x+22=10: 所以，直接开平方得，x+2=只10，或x+2=-10】 所以，原方程的解为：X1=-2+V10,x2=-2-V10】 (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程x-3川x-9=3时，写的解题过程。 解：原方程可变形，得，x+m+nx+m-n=3, 整理得，x+m2-n2=3, 所以，x+m2=3+n2, 所以，直接开平方得，x+m=3+n2,或x+m=-3+n2, 所以，原方程的解为：x,=-m+3+n2,x2=-m-3+n. 请直接写出上述过程中的m,n的值及方程x-3x-9=3的根： (2)请用小强同学发现的新解法解方程：x-11川x+5=36 84.（25-26八年级下·安徽毫州期末)解方程： (1)4x2-4x+1=0 (2)3x2-1=-4x 85.(25-26八年级下·山东泰安·期末)用适当的方法求解下列方程： (1)3xx-1=2x-2: (2)2x2+x-2=0. 86.(25-26八年级下·浙江金华期末)解下列方程： (1)x-1}2=9: (2)x2+4x-2=0 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 87.(25-26八年级下·安徽宣城期末)己知关于x的一元二次方程x2+m-3x+m-5=0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程有两个实数根x1,X2,且X1+X2+2x1x2=3,求m值. 88.(25-26八年级下·山东日照期末)解方程： (1)用配方法解方程：X2+6x+3=0: (2)用适当方法解方程：X-1=x-12x+3. 89.(25-26八年级下·山东青岛期末)已知关于x的一元二次方程x2-2X+m-1=0有两个不相等的实数 根X1,X2, (1)求的取值范围； (2)若x1X2-x1+x2=m2-15,求m的值. 90.（25-26八年级下·山东威海·期末)已知关于x的一元二次方程x-2x-3a+1=0有两个不相等的实数 根. (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根： (2)若c,β是该方程的两个根，且c+β2=26，求a的值. 91.(25-26八年级下山东威海期末)解下列方程： (1)2x-1x+2=1 (2)x-32+9=6x-3 92.(25-26九年级下·山东烟台期末)解方程： (1)x2-16=2x+4: (2)0.4x2-0.8x-1=0: 93.(25-26八年级下·山东济南期末)解方程： (1)5x2=4x (2)x2-5x-6=0 94.(25-26八年级下·北京延庆·期末)关于x的方程x2-2x+k=0有实数根，且k为正整数，求k的值并 求此时方程的解。 95.(25-26八年级下·北京延庆期末)解方程： (1)x2+4x-5=0: (2)2x2+x-1=0. 96.(25-26八年级下·广东深圳期末)阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题， 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”， 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如，分解因式4x2-3xy-y2. 方法如下：拆两头，4x拆为4x,x,-y拆为y,-y, 4x 然后排列如下： -V 交叉相乘，积相加得3y,凑得中间项， 所以分解为4x2-3xy-y2=4x+y川x-y. (1)用因式分解法解方程4x2-5x+1=0. 内容2：小远准备完成思目：解分式方程：X。=2- x-3 3-x 发现数字◆印刷不清楚， (②)他把“◆”猜成5，请你解方程：X=2-5 x-323-x: (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是 几？ 97.(25-26八年级下·河北衡水·期末)解方程： (1)x2-4x-3=0 (2)x2+6x-7=0 98.(25-26八年级下·福建福州·期末)定义：如果x1,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且 x1一X2=1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如：一元二次方程x2-3x+2=0的两个根是x1=1, x2=2,此时x1-x21-2=1,则方程x2-3x+2=0是“邻根方程”. (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 (填序号). ①x2=1:②x2+4X+4=0:③x2-X=0. (2)已知方程(x一k)(x-3)=0是“邻根方程”，求k的值. (3)若方程x2-bx+c=0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0. 99.(25-26八年级下：福建福州·期末)解方程： (1)x2-36=0: (2)x2+2x-3=0. 100.(25-26八年级下·福建福州期末)解方程： (1)x+1}2-2=0 (2x+52=2x+5 13/13 专题06 一元二次方程的计算必刷100题 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：, 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 经检验是原方程的解． （2）解： ， ， ， ， 或， ． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是原分式方程的根 (2)， 【分析】（1）先因式分解分母，找最简公分母去分母，最后检验增根即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：两边同时乘得， 解得， 检验：把代入得， ∴是原分式方程的根． （2）解：因式分解得， ∴或， 解得，． 3．（22-23九年级上·新疆阿克苏·期末）用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：方程左右两边同乘， 得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． （2）解：这里，，． ∴， ∴， 即， 5．（25-26八年级下·江苏南京·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ，； (2) 原方程无解. 【分析】（1）用配方法变形方程后开方求解； （2）去分母转化为整式方程求解，检验后舍去增根得到结论． 【详解】（1）解：移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． （2）解：， 方程变形为． 两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得． 检验：当时，． 因此是增根． 所以原方程无解． 6．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小李解方程的过程如下： 解：方程的两边同除以，得，解得． 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程． 【答案】两边同除以时，未考虑到可能为． 正确解答：， 移项，得， 提取公因式，得，即， 或， 解得，． 【详解】略 8．（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 9．（21-22九年级上·河南郑州·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)x1，x2 【详解】（1）解： ， ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 10．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 11．（25-26九年级上·河北·阶段检测）解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 12．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 13．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解为． （2）解：， 即， 或， 解得：，． 15．（2026·江苏徐州·模拟预测）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 16．（22-23九年级上·江苏无锡·开学考试）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 17．（21-22九年级上·新疆哈密·期中）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，． 18．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 19．（22-23九年级上·吉林长春·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程． （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即，， 解得，． （2）解：， ，，， ， ， ， 整理得， 解得，． 20．（22-23九年级上·浙江温州·阶段检测）解方程、化简 (1)解方程：； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解： ． 21．（21-22九年级上·山东青岛·期中）解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程变形为再求解即可； （2）先将方程变形为，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ， 22．（21-22九年级下·吉林长春·开学考试）解方程： (1)（公式法）； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：方程化成一般形式为， ∴方程中的， ∴方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∴， ∴方程的解为，． （2）解：， ， ， ， 或， 或， 即，． 23．（22-23九年级上·河南郑州·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可解题． 【详解】解：（1）去分母得：， 去括号得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）， ， ， 即， ， ，． 24．（22-23九年级上·江西九江·阶段检测）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）左边为完全平方式，因式分解后即可得解； （2）移项后，根据因式分解法求一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴， 解得：． （2）解：， 移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 25．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 26．（2022九年级上·重庆江津·竞赛）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) ，. (2) ，. 【详解】（1） 解：移项得， 配方得， 整理得， 开方得， 因此，． （2）解：移项得， 提取公因式得， 则或， 解得，． 27．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 28．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）解方程与求值 (1)解方程 (2)求x的值： 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：因式分解得, ． （2）解：二次项系数化为1，得， 开平方得， ，． 29．（22-23九年级下·甘肃酒泉·开学考试）解一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 或 ∴， （2）解： ，， ∴， （3）解： 或 ∴， 30．（22-23九年级下·江苏苏州·开学考试）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ，. 【详解】（1）解： ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解： ∴，． 31．（22-23九年级下·青海西宁·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) , 【详解】（1）解：， ， 或， 解得， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 解得， . 32．（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． （2）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 33．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解： ， ， ，． 34．（25-26九年级上·北京·阶段检测）用适当方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，． （2）解： 移项得 开平方得 解得，． 35．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）变形后使用直接开平方法求解， （2）无法因式分解，使用求根公式法求解， （3）整理为一般形式后使用因式分解法求解． 【详解】（1）解：对于方程， 两边同时除以得， 开平方得， 解得，． （2）解：对于方程， 可得，，， ∴， ∴， 解得，． （3）解： ∴， 因式分解得， 可得或， 解得，． 36．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 37．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 (1)；（公式法） (2)．（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． 【详解】（1）解： 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解： ， ， ， ， ∴，． 38．（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：原式 ． 39．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 40．（25-26九年级上·广东茂名·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得， ，，， ， ， 则， （2）解： ， 或， 所以，． 41．（21-22八年级下·浙江金华·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 42．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 43．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 44．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴， ． （2）解：去分母得， 去括号得， 解得， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 45．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 46．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】， ， 或， 解得：，． 47．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 48．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个解为 【分析】（1）当时，方程为，运用因式分解法求解即可； （2）把代入方程，求出b的值，再解方程即可解答． 【详解】（1）解：当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． （2）解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为． 49．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ 50．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该方程的根． (2)甲说：无论为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论为何值，方程至少有一个整数根．请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由．（若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分） 【答案】(1)， (2) 选择甲的说法进行判断：甲的说法错误，理由如下： 对，因式分解得， 或， 解得，， 当时，，方程有两个相等的实数根，故甲的说法错误． 选择乙的说法进行判断：乙的说法正确，理由如下： 对，因式分解得， 或， 解得，， 无论取任何值，恒为整数， 无论为何值，方程至少有一个整数根，故乙的说法正确． 【详解】（1）解：将代入方程得， 因式分解得， 或， 解得，． （2）略 51．（25-26八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． 52．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用直接开平方法求解方程即可； （2）运用因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 所以或． （2）解：， ， 或， 所以或者． 53．（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， 解得：，． 54．（25-26八年级下·广西百色·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 55．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 56．（25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）先整理方程，提取公因式因式分解后，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：，． （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 57．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 58．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， 或， 解得：，； （2）解：， 整理得， 配方得：，即， 两边同时开方得：， 解得：，． 59．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式； （2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0即可得到方程的根． 【详解】（1）解： 因式分解得 或 解得， （2）解： 提取公因式得 整理得 或 解得， 60．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 61．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，． （2）解：中，，， ， 则， 解得：，． 62．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， 或， ． 63．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得． 64．（25-26八年级下·浙江金华·期末）我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果； （2）根据题干所给例子即可得出结果； （3）利用公式法求出一元二次方程的解，并结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． （2）解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； （3）解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． 65．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 66．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 67．（25-26八年级下·浙江台州·期末）对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 【答案】(1) 不是 (2) 有常定数，常定数为和 (3) 【分析】（1）根据常定数的定义判断即可； （2）原式变形为，根据常定数的定义得出，解方程即可； （3）先根据当时，代数式的值为4，求出，代入并化简得，根据常定数的定义得出，化简后根据根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）解：当时，代数式的值为，不是恒定的常数， 所以不是这个代数式的常定数； （2）解：有常定数，常定数为和 理由：若有常定数， 则， 解得或 故代数式有常定数，常定数为和； （3）解：当时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴ ， ∵存在两个常定数和， ∴，即， ∴. 68．（25-26八年级下·山东烟台·期末）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 69．（25-26八年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 或， ． （2）解：， 整理得：， ， ， ． 70．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 71．（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 72．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 73．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （2）解： ∴ 解得，． 74．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【答案】(1)证明：对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 (2) 【分析】（1）证明恒大于0； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，利用求根公式： 解得：； 75．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：移项得， 提取公因式得：， ∴， 即，， 解得：，． （2）解：对于方程，其中，，， ∴判别式， ∴， ，． 76．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 77．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 78．（25-26八年级下·广东深圳·期末）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过等式两边同时乘，移项，合并同类项，解分式方程； （2）通过因式分解解一元二次方程． 【详解】（1）解： 等式两边同时乘，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，，， ∴是原方程的解； （2）解： ， ，或， ，． 79．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 80．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解方程； （2）根据求根公式解方程． 【详解】（1）解：原方程整理得， 可得， 解得，． （2）解： ，，， ∴， ∴， 解得，． 81．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 当时，； 当时，； ∴，； （2）解：， ， 或， 解得，. 82．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 解得， 经检验：是原方程的根； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ，． 83．（25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 84．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对方程因式分解，得， 解得． （2）解：移项，得， 判别式， 由公式法解得，． 85．（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据因式分解法解方程即可； 根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 86．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）因为等式左侧是完全平方形式，所以可以用直接开平方法，根据平方根的定义，得到等于9的两个平方根，再分别求解． （2）可选择配方法，先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式后开平方求解． 【详解】（1）解： 两边直接开平方得： ， 当 时，解得 ； 当 时，解得 ． ． （2）解：先移项得：， 配方得： ， 整理得， 开平方得：， 移项得， ． 87．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 88．（25-26八年级下·山东日照·期末）解方程： (1)用配方法解方程：； (2)用适当方法解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 89．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 90．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 91．（25-26八年级下·山东威海·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴，， 解得． 92．（25-26九年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （2）解：， 原方程可变为：， ， ∴， 解得：，． 93．（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， ； （2）解：， ， 或， ． 94．（25-26八年级下·北京延庆·期末）关于x的方程有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 【答案】 ，此时方程的解为 【分析】先利用一元二次方程有实数根的条件，得到根的判别式非负，据此求出k的取值范围，再结合k为正整数确定k的取值，最后代入原方程求解方程的根即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴根的判别式， 解得：， 又∵k为正整数， ∴， 将代入原方程，得， 整理得：， 解得：． 95．（25-26八年级下·北京延庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，． （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 96．（25-26八年级下·广东深圳·期末）阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1)， ， 或， 所以，； (2) (3) 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）方程去分母转化成一元一次方程，然后求解检验即可； （3）首先解方程得到，然后得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （3）解：设原题中“◆”是， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 97．（25-26八年级下·河北衡水·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， ， （2）解： 或， ，． 98．（25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）略 99．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （2）解：， ∴ 解得，． 100．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 开平方得， 解得，， （2） 移项得， 提取公因式得， 整理得， 则或， 解得，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $