第15课时 2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦一元二次不等式的应用，系统梳理分式不等式转化为整式不等式的解法，一元二次不等式恒成立问题的分类讨论（含定义域范围），以及实际应用中的建模步骤（审题、设量、列不等式、求解、作答），作为前续一元二次不等式基础解法的延伸学习支架。 资料特色体现在分层跟踪训练（基础过关、能力提升、拓展拔高）和实际案例（工厂成本与利润问题）设计，通过实际问题建模培养学生用数学眼光观察现实世界，恒成立问题分类讨论发展数学思维的逻辑性，典例精析与分层练习结合，助力课中教学实施和课后学生查漏补缺。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第二课时一元二次不等式的应用 【学习目标】 ①掌握分式不等式的解法； ②掌握一元二次不等式的实际应用； ③借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养； 【学习重点】 掌握分式不等式解法、一元二次不等式恒成立求解及一元二次不等式实际应用. 【学习难点】 含参一元二次不等式恒成立分类讨论，以及从实际问题中抽象不等关系建立不等式数学模型. 一、核心知识梳理（必背必会） 拓展知识1 简单分式不等式的解法 （1）；（2）； （3）；（4） 拓展知识2 简单绝对值不等式的解法 若，则， 拓展知识3 一元二次不等式恒成立问题 1.在上的恒成立问题 （1）一元二次不等式，对任意恒成立的条件是； （2）一元二次不等式，对任意恒成立的条件是； （3）一元二次不等式，对任意恒成立的条件是； （4）一元二次不等式，对任意恒成立的条件是； 2.在给定范围内的恒成立问题 （1）若，当时，一元二次不等式恒成立的条件是； （2）若，当时，一元二次不等式恒成立，若，则；否则或 （3）若，当时，一元二次不等式恒成立的条件是； （4）若，当时，一元二次不等式恒成立，若，则；否则或. 注：这部分内容可以看作是上一节已知不等式解集求系数问题的特例，同样可以作图理解.此类问题也可以通过分离参数，转化为最值问题处理，但未必是一元二次函数的最值. 拓展知识4：一元二次不等式的实际应用 解决一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式，一般可按照以下步骤进行： （1）阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； （2）引进数学符号，用不等式表示不等关系； （3）解不等式； （4）回归实际问题作答. 二、典例精析 题型1.简单分式不等式的解法 例1 解下列不等式 （1）；（2） 方法总结： 题型2 一元二次不等式的恒成立问题 例2 已知函数 （1）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 易错警示： 题型3 一元二次不等式的实际应用 某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 解后反思： 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．“ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 3．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 7．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 8．命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【能力提升】（多数必做） 9．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 10．对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 11．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 12．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第二课时一元二次不等式的应用 【学习目标】 ①掌握分式不等式的解法； ②掌握一元二次不等式的实际应用； ③借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养； 【学习重点】 掌握分式不等式解法、一元二次不等式恒成立求解及一元二次不等式实际应用. 【学习难点】 含参一元二次不等式恒成立分类讨论，以及从实际问题中抽象不等关系建立不等式数学模型. 一、核心知识梳理（必背必会） 拓展知识1 简单分式不等式的解法 （1）；（2）； （3）；（4） 拓展知识2 简单绝对值不等式的解法 若，则， 拓展知识3 一元二次不等式恒成立问题 1.在上的恒成立问题 （1）一元二次不等式，对任意恒成立的条件是； （2）一元二次不等式，对任意恒成立的条件是； （3）一元二次不等式，对任意恒成立的条件是； （4）一元二次不等式，对任意恒成立的条件是； 2.在给定范围内的恒成立问题 （1）若，当时，一元二次不等式恒成立的条件是； （2）若，当时，一元二次不等式恒成立，若，则；否则或 （3）若，当时，一元二次不等式恒成立的条件是； （4）若，当时，一元二次不等式恒成立，若，则；否则或. 注：这部分内容可以看作是上一节已知不等式解集求系数问题的特例，同样可以作图理解.此类问题也可以通过分离参数，转化为最值问题处理，但未必是一元二次函数的最值. 拓展知识4：一元二次不等式的实际应用 解决一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式，一般可按照以下步骤进行： （1）阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； （2）引进数学符号，用不等式表示不等关系； （3）解不等式； （4）回归实际问题作答. 二、典例精析 题型1.简单分式不等式的解法 例1 解下列不等式 （1）；（2） 思路分析： （1）先把分子整理成首项系数为正，再转化为等价整式不等式组求解； （2）先移项通分，把右侧1移到左边合并成单一分式，再转化为等价不等式求解. 规范解答： （1）由得，等价于，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）由，得，即，整理得， 等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 方法总结：解简单分式不等式的一般步骤：移项→通分→化整式. 注：通分后将分子、分母最高次系数化为正数，便于一元二次不等式求解. 题型2 一元二次不等式的恒成立问题 例2 已知函数 （1）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 思路分析：明确一元二次不等式恒成立问题的类型，直接套用知识点求解. 规范解答： （1）当时，恒成立，符合条件； 当时，由题意可得，解得， 综上，实数的取值范围是. （2），即，整理得， 若，则不等式即，显然恒成立，符合条件； 若，由题意，则，解得，即此时； 若，因为，则或， 即或，解得或，即此时； 综上，实数的取值范围是. 易错警示：当二次项系数为参数时，要注意对参数为0的讨论. 题型3 一元二次不等式的实际应用 某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 思路分析：先建立经济量的数学表达式，再转化为一元二次不等式求解，最后回归实际问题取正整数 规范解答 （1）由题可知平均成本；要使平均成本不超过售价50元，则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵，，所以最小值为，即至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 解后反思： （1）经济应用题常用公式 ①平均成本 = 总成本 ÷ 产量；②总收入 = 单价 × 销量；③利润 = 总收入 − 总成本。 （2）解不等式后必须结合实际背景：产量 x 是正整数，不能直接写实数解，向上取整； （3）分式不等式注意分母符号，本题产量，可以直接去分母； （4）一元二次不等式解集得到区间后，在区间内寻找最小正整数即为 “至少生产件数”. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．“ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：令，得到，化简得， 得到，解得或， 则“ ” 是 “ 或 ”的充分不必要条件． 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 答案：C 解析：由得，所以， ， 所以. 3．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由可得， 即，解得， 4．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 5．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 答案：AC 解析：若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 6．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 答案：BC 解析：设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 7．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 答案： 解析：因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题，所以，解得． 即实数的取值范围是 8．命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 解析：（1）若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 【能力提升】（多数必做） 9．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 答案： 解析：甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 10．对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 答案： 解析：已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 11．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 解析：（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 12．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 解析：（1）由，，，解得，即. 当时，不等式的解集为或，即. . （2）由题意，且， 所以不等式对恒成立. 所以不等式对恒成立， ，当且仅当时取等号， . 因此实数的取值范围.（此题分离参数步骤简单，因此不用一元二次不等式恒成立方法） 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 (1) 核心概念：分式不等式、绝对值不等式解法；一元二次不等式恒成立、有解问题；一元二次不等式的实际应用； (2) 工具：一元二次不等式解法、判别式；分式等价变形规则；函数最值；转化与化归、数形结合、分类讨论、数学建模思想； (3) 解题核心：分式不等式等价转化为整式不等式（勿忘分母不为 0）；恒成立问题分类讨论二次项系数，合理选用判别式或分离参数；实际应用题提取不等关系建立模型，结合现实约束取舍解集。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $