2.2 基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，从推导过程与几何意义入手，系统梳理成立条件与适用场景，衔接作差法、均值放缩比较大小，再到“一正二定三相等”原则下配凑、“1”的代换求最值，延伸至实际优化问题、恒成立问题及不等式证明，构建递进式学习支架。 该资料突出数学思维与应用结合，通过例9围栏用料最省等实际问题培养模型意识，例题设计强化推理能力，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的应用意识。

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 讲义 [学习要点] 1.理解基本不等式的推导过程与几何意义，掌握基本不等式的成立条件与等号成立条件，能准确辨析不等式的适用场景； 2.能运用基本不等式进行代数式大小比较，掌握作差法与均值放缩两种常用比较思路； 3.熟练掌握利用基本不等式求解代数式最值的方法，深刻理解“一正、二定、三相等”的核心原则，灵活运用配凑、“1”的代换等技巧； 4.能建立数学模型，运用基本不等式解决实际生活中的用料最省、造价最低、面积最大等优化问题； 5.掌握基本不等式背景下恒成立、能成立问题的求解逻辑，能通过分离参数结合最值求解参数范围； 6.能综合运用基本不等式完成简单不等式的证明，理解多次放缩时等号条件的一致性要求。 一、基本不等式的辨析应用 核心知识点 1. 重要不等式 对任意实数，都有，当且仅当时等号成立。 该不等式对全体实数成立，无正数限制。 2. 基本不等式（均值不等式） 若，则，当且仅当时等号成立。 称为正数的算术平均数，称为正数的几何平均数； 本质结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3. 使用核心原则：一正、二定、三相等 · 一正：参与运算的两项必须均为正数，负数需先提取负号转化； · 二定：两项的和为定值时可求积的最大值，积为定值时可求和的最小值； · 三相等：必须验证等号成立的条件能否满足，这是最值存在的必要前提。 4. 常见易错点 忽略正数条件直接套用公式、忽略定义域导致等号无法取到、多次使用不等式时等号成立条件不一致。 例1.（多选）下列说法正确的有（ ） A. 对任意实数，都有 B. 若且，则 C. 对任意实数，恒成立 D. 若，则，且等号可以取到 例2.（多选）下列推导过程正确的有（ ） A. 若为正实数，则 B. 若为非零实数，则 C. 若实数满足，则 D. 若，则 二、利用基本不等式比较大小 核心知识点 1. 比较大小的核心方法 · 作差法：对两式作差，通过因式分解、配方等变形判断符号，适用范围最广； · 基本不等式法：当两式呈现“和与积”“平方和与和的平方”等结构时，直接通过均值不等式放缩得到大小关系。 2. 常用大小关系链（正数范围） 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数，即： 当且仅当时所有等号同时成立。 3. 注意事项 放缩过程中需保证每一步的等号条件一致，避免过度放缩导致大小关系失真。 例3.已知，记，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 例4.已知，，则与的大小关系是 。 三、利用基本不等式求最值 核心知识点 1. 核心结论：积定和最小，和定积最大 已知都是正数： · 若积（定值），则当有最小值； · 若和=S时，积有最大值。 2. 常用解题技巧 · 配凑法：通过加减常数、拆分项等方式，构造出和为定值或积为定值的形式，适用于形如的代数式； · “1”的代换法：已知两个正数的线性和为定值，求分式和的最值（或反之），通过乘“1”展开后使用基本不等式； · 负数转化：若变量为负，先提取负号将代数式转化为正数形式，求出最值后再还原符号。 题型1：配凑法求最值 例5. (1) 若，求的最小值； (2) 若，求的最大值。 例6. (1) 若，求的最小值。 题型2：“1”的代换法求最值 例7. 已知,y>0，且，求的最小值。 例8. 已知正实数=4，求的最小值。 四、基本不等式在生活中的应用 核心知识点 1. 实际问题求解步骤 2. 审题设元：理解题意，设定变量，明确变量的实际意义与取值范围； 3. 建立模型：将实际问题转化为数学代数式，构造出和为定值或积为定值的结构； 4. 求解最值：运用基本不等式求解代数式的最值； 5. 验证条件：检验等号成立的条件是否符合实际场景； 6. 回归作答：将数学结论还原为实际问题的答案。 7. 常见场景 围栏用料最省、图形面积最大、工程造价最低、产量/利润最优等优化问题。 例9. 某农户计划用围栏围建一个面积为64平方米的矩形菜地，一边借助现成的院墙，另外三边用围栏搭建。请问菜地的边长各为多少时，所用围栏总长度最短？最短长度是多少？ 五、基本不等式中的恒成立能成立问题 核心知识点 1. 恒成立问题 · 若在区间上恒成立，则； · 若在区间上恒成立，则。 2. 能成立（存在性）问题 · 若存在使成立，则； · 若存在使成立，则。 3. 通用解题步骤 · 分离参数：将参数与变量分别置于不等式两侧； · 求最值：利用基本不等式求解含变量代数式的最值； · 定范围：根据恒成立/能成立的逻辑，推导参数的取值范围。 例10. 已知对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围。 六、综合用基本不等式证明不等式 核心知识点 1. 证明核心思路 · 从已知条件出发，结合基本不等式及其变形形式，通过放缩、代换推导待证不等式； · 对于条件不等式，常利用“1”的代换构造基本不等式的使用条件； · 多次使用基本不等式时，需保证每次等号成立的条件一致，否则最终等号无法取到。 2. 常用变形结论 · ； · ； · 对正数，有。 例11 已知均为正实数，且，求证：。 七、基本不等式综合问题 本模块综合考察基本不等式与代数变形、几何关系等知识的结合，解题要点： 1. 先通过代数变形、几何性质推导目标代数式，明确变量范围； 2. 灵活运用配凑、代换、换元、消元等技巧，构造基本不等式的使用条件； 3. 多元变量问题优先通过消元减少变量个数，再求解最值； 4. 必须验证等号成立的可行性，避免出现“伪最值”。 例12已知正实数满足，求的最小值。 课堂小结 1. 核心公式：重要不等式；基本不等式。 2. 使用原则：一正、二定、三相等，三者缺一不可。 3. 常用方法：配凑法、“1”的代换法、换元法、分离参数法。 4. 易错提醒：忽略正数条件、等号无法取到、多次放缩时等号条件不一致。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 讲义 [学习要点] 1.理解基本不等式的推导过程与几何意义，掌握基本不等式的成立条件与等号成立条件，能准确辨析不等式的适用场景； 2.能运用基本不等式进行代数式大小比较，掌握作差法与均值放缩两种常用比较思路； 3.熟练掌握利用基本不等式求解代数式最值的方法，深刻理解“一正、二定、三相等”的核心原则，灵活运用配凑、“1”的代换等技巧； 4.能建立数学模型，运用基本不等式解决实际生活中的用料最省、造价最低、面积最大等优化问题； 5.掌握基本不等式背景下恒成立、能成立问题的求解逻辑，能通过分离参数结合最值求解参数范围； 6.能综合运用基本不等式完成简单不等式的证明，理解多次放缩时等号条件的一致性要求。 一、基本不等式的辨析应用 核心知识点 1. 重要不等式 对任意实数，都有，当且仅当时等号成立。 该不等式对全体实数成立，无正数限制。 2. 基本不等式（均值不等式） 若，则，当且仅当时等号成立。 称为正数的算术平均数，称为正数的几何平均数； 本质结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3. 使用核心原则：一正、二定、三相等 · 一正：参与运算的两项必须均为正数，负数需先提取负号转化； · 二定：两项的和为定值时可求积的最大值，积为定值时可求和的最小值； · 三相等：必须验证等号成立的条件能否满足，这是最值存在的必要前提。 4. 常见易错点 忽略正数条件直接套用公式、忽略定义域导致等号无法取到、多次使用不等式时等号成立条件不一致。 例1.（多选）下列说法正确的有（ ） A. 对任意实数，都有 B. 若且，则 C. 对任意实数，恒成立 D. 若，则，且等号可以取到 【答案】BC 【详解】A选项：当为负数时，有意义但为负，不等式不成立，故A错误； B选项：基本不等式，时，当且仅当取等号；时严格大于，故B正确； C选项：重要不等式对全体实数成立，故C正确； D选项：取等号的条件是即矛盾，等号无法取到，故D错误。 例2.（多选）下列推导过程正确的有（ ） A. 若为正实数，则 B. 若为非零实数，则 C. 若实数满足，则 D. 若，则 【答案】AC 【详解】A选项：>0时，均为正，符合基本不等式条件，推导正确； B选项：为非零实数，当时不满足正数条件，推导错误； C选项：说明均为负，提出负号后转化为正数形式使用基本不等式，推导正确； D选项：对任意实数都有，即，故D错误。 二、利用基本不等式比较大小 核心知识点 1. 比较大小的核心方法 · 作差法：对两式作差，通过因式分解、配方等变形判断符号，适用范围最广； · 基本不等式法：当两式呈现“和与积”“平方和与和的平方”等结构时，直接通过均值不等式放缩得到大小关系。 2. 常用大小关系链（正数范围） 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数，即： 当且仅当时所有等号同时成立。 3. 注意事项 放缩过程中需保证每一步的等号条件一致，避免过度放缩导致大小关系失真。 例3.已知，记，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【详解】因为，所以，由基本不等式得： 当且仅当即时取等号。 又因为，因此。 例4.已知，，则与的大小关系是 。 【答案】 【详解】由得，对进行配凑： 当且仅当即时取等号。 因为，所以，因此，故。 三、利用基本不等式求最值 核心知识点 1. 核心结论：积定和最小，和定积最大 已知都是正数： · 若积（定值），则当有最小值； · 若和=S时，积有最大值。 2. 常用解题技巧 · 配凑法：通过加减常数、拆分项等方式，构造出和为定值或积为定值的形式，适用于形如的代数式； · “1”的代换法：已知两个正数的线性和为定值，求分式和的最值（或反之），通过乘“1”展开后使用基本不等式； · 负数转化：若变量为负，先提取负号将代数式转化为正数形式，求出最值后再还原符号。 题型1：配凑法求最值 例5. (1) 若，求的最小值； (2) 若，求的最大值。 【答案】(1) 因为，由基本不等式得： 当且仅当即时，等号成立，故最小值为6。 (2) 当时，6-2，对根式内配凑定值： 当且仅当即时，等号成立，故最大值为。 例6. (1) 若，求的最小值。 【答案】(1) 因为，所以1-，对代数式变形： 由基本不等式，， 因此，故原式， 当且仅当即时，等号成立，最大值为-3。 (2) 因为x-2>0，变形得： 当且仅当即时，等号成立，故最小值为。 题型2：“1”的代换法求最值 例7. 已知,y>0，且，求的最小值。 【答案】利用 “1” 的代换展开： 由基本不等式，， 因此， 当且仅当且，即时，等号成立，故最小值为 18。 例8. 已知正实数=4，求的最小值。 【答案】由得，即，代入得： 由基本不等式，， 因此原式， 当且仅当且，即时取等号，故最小值为。 四、基本不等式在生活中的应用 核心知识点 1. 实际问题求解步骤 2. 审题设元：理解题意，设定变量，明确变量的实际意义与取值范围； 3. 建立模型：将实际问题转化为数学代数式，构造出和为定值或积为定值的结构； 4. 求解最值：运用基本不等式求解代数式的最值； 5. 验证条件：检验等号成立的条件是否符合实际场景； 6. 回归作答：将数学结论还原为实际问题的答案。 7. 常见场景 围栏用料最省、图形面积最大、工程造价最低、产量/利润最优等优化问题。 例9. 某农户计划用围栏围建一个面积为64平方米的矩形菜地，一边借助现成的院墙，另外三边用围栏搭建。请问菜地的边长各为多少时，所用围栏总长度最短？最短长度是多少？ 【答案】设垂直于院墙的边长为米，平行于院墙的边长为米，由题意得，围栏总长度。 由基本不等式： 当且仅当且，即，时，等号成立。 答：当垂直于院墙的边长为米，平行于院墙的边长为米时，围栏总长度最短，最短为米。 五、基本不等式中的恒成立能成立问题 核心知识点 1. 恒成立问题 · 若在区间上恒成立，则； · 若在区间上恒成立，则。 2. 能成立（存在性）问题 · 若存在使成立，则； · 若存在使成立，则。 3. 通用解题步骤 · 分离参数：将参数与变量分别置于不等式两侧； · 求最值：利用基本不等式求解含变量代数式的最值； · 定范围：根据恒成立/能成立的逻辑，推导参数的取值范围。 例10. 已知对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围。 【答案】当时，在时无下界，不等式无法恒成立； 当时，由基本不等式： 当且仅当时取等号，即代数式的最小值为。 要使不等式恒成立，需，解得。 综上，a的取值范围是 六、综合用基本不等式证明不等式 核心知识点 1. 证明核心思路 · 从已知条件出发，结合基本不等式及其变形形式，通过放缩、代换推导待证不等式； · 对于条件不等式，常利用“1”的代换构造基本不等式的使用条件； · 多次使用基本不等式时，需保证每次等号成立的条件一致，否则最终等号无法取到。 2. 常用变形结论 · ； · ； · 对正数，有。 例11 已知均为正实数，且，求证：。 【答案】因为，且，代入得： 由基本不等式，，，， 当且仅当时三个等号同时成立， 因此，原不等式得证。 七、基本不等式综合问题 本模块综合考察基本不等式与代数变形、几何关系等知识的结合，解题要点： 1. 先通过代数变形、几何性质推导目标代数式，明确变量范围； 2. 灵活运用配凑、代换、换元、消元等技巧，构造基本不等式的使用条件； 3. 多元变量问题优先通过消元减少变量个数，再求解最值； 4. 必须验证等号成立的可行性，避免出现“伪最值”。 例12已知正实数满足，求的最小值。 【答案】由且，可知。 对进行配凑： 由基本不等式： 当且仅当即时取等号， 因此，即的最小值为 7。 课堂小结 1. 核心公式：重要不等式；基本不等式。 2. 使用原则：一正、二定、三相等，三者缺一不可。 3. 常用方法：配凑法、“1”的代换法、换元法、分离参数法。 4. 易错提醒：忽略正数条件、等号无法取到、多次放缩时等号条件不一致。 学科网（北京）股份有限公司 $