24.1 圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练24.1圆的有关性质 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点1 弧、弦、圆心角 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 4．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，，，则的大小为 ． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，，则的度数为 ．    6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 7．（2024·江苏扬州·三模）已知下列命题：①在两个圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②等弧所对的弦相等；③相等的弦，所对的弧相等；其中真命题的个数有 个． 8．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（20-21九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C． D． 14．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．无法计算 15．（2024·广西·模拟预测）如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 16．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图点在上，且是延长线上一点，且是中点，若，则． 17．（19-20九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半径为10的中，弦BC、ED所对的圆心角分别是、．已知，，则弦BC等于 ． 18．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 19．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ． 20．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练24.1圆的有关性质 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点1 弧、弦、圆心角 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D 3．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【详解】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 4．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 7．（2024·江苏扬州·三模）已知下列命题：①在两个圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等；②等弧所对的弦相等；③相等的弦，所对的弧相等；其中真命题的个数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等；  在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等的知识是解题的关键． 【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧所对的圆心角相等，故原命题是假命题，不符合题意； ②等弧：能完全重合的弧， ∴等弧所对的弦相等，故原命题是是真命题，符合题意； ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的弧相等，故原命题是假命题，不符合题意； 故答案为：1 ． 8．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 9．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理．连接，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出，，通过含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， 又， 即， ， ， ∴，， ∴，，， ∵，即， 解得， ∴， 故选：C． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故选：C． 12．（20-21九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT． ∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， ∴∠COD=∠BOT， ∴， ∴CD=BT=4， ∵AT是直径，AT=6， ∴∠ABT=90°， ∴AB==， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 13．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理．根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴，， ∴，故D选项的结论错误； ∵， ∴，故选项的结论正确； 如图，连接 ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故选项的结论正确； 作半径，如图， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项的结论正确； 故选：D． 14．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接， 则，； ∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得：， 即的最小值为； 故选：B． 15．（2024·广西·模拟预测）如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则． 【详解】解：如图所示，在上取一点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 16．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图点在上，且是延长线上一点，且是中点，若，则． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 先判断出是的中位线，得到，再判断出，即可得出结论； 【详解】 解：如图，连接， ∵F是的中点， ， ， 是的中位线， , , , , , , 故答案为：12． 17．（19-20九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半径为10的中，弦BC、ED所对的圆心角分别是、．已知，，则弦BC等于 ． 【答案】16 【分析】作于，作直径，连结，先利用等角的补角相等得到，再证明，得到，由，根据垂径定理得，易得为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到， 在中，易求得的长，从而可求得的长． 【详解】作于，作直径，连结，如图： ∵， 而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 而， ∴为的中位线， ∴． 在中，， ∴ ∴， 故答案为16． 【点睛】本题考查了垂径定理和三角形中位线性质以及圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 18．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 19．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等，确定最小值是解题的关键．作点D关于的对称点，则的最小值是，再根据的边角关系求出解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，． 可知，根据“两点之间线段最短”得当C，P，三点共线时，最小，即． ∵点C在上，，点D是的中点， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 20．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$