第2章 分式（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 新教材湘教版八年级下册分式单元拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖分式化简、方程应用及新定义探究，适配单元复习，提升运算能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|分式值、方程无解、实际应用|结合2026深圳峰会物资分装情境，考查模型意识| |填空题|6题/18分|分式值不变、解的范围|设计“无论x取何值分式值不变”问题，强化推理能力| |解答题|7题/72分|化简求值、新定义（和定分式、友好数对）|设置“和定分式”“友好数对”探究题，关联创新意识与抽象能力|

第2章 分式·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，则分式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的关系，再整体代入所求分式化简求值即可． 【详解】解： ，即， ， 将代入得 ， 故选：C． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）若恒成立，则(    ) A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据等式恒成立时分母相同，对应分子为相等多项式，利用对应系数相等列方程组求解和，即可得到的值 【详解】解：右边 ∵等式恒成立，且左右两侧分母相同 ∴分子恒相等，即 整理右侧得 多项式相等则对应系数相等，可得方程组 解得： ∴． 3．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 4．（25-26八年级下·河南周口·期末）关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程无解包括去分母后的整式方程无解或整式方程的解为增根两种情况，本题去分母后的整式方程有解，故无解说明方程存在增根，增根是使原分式方程的最简公分母为0的未知数的值，先确定增根为，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：，即 方程两边同乘最简公分母，去分母得： 整理得：， 即 ∵原分式方程无解， ∴方程的解为增根，满足分母，即增根为 令 解得． 5．（2026·广东深圳·三模）2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到等量关系，列出分式方程． 【详解】解：计划每天分装份，计划完成时间为天， 实际效率提升，则实际每天分装份，实际完成时间为天， ∵实际提前2天完成， ∴． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据x为正整数解，a为正整数，结合分式方程分母不为0的条件，确定a的值． 【详解】解：原方程为 ， 变形得 ， ∵分式分母不为0， ∴， 方程两边同乘 得： ， 整理得 ， ∴， ∵x为正整数，a为正整数， ∴是2的正约数，且 ， 可得 ，解得 ， 此时 ，符合分式方程要求， 故a的值为1． 7．（2026年河南周口市沈丘县周营镇两校九年级二模联考数学试题）已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题要求用作差法比较两个分式的大小，先计算，通分化简后，根据的取值范围判断差的符号，即可解答． 【详解】∵，，为正数， ∴， ，差的符号由分子 决定 或 -当 时，，， ，，即 ， 当 或 时，， ，即 ， ， 当 时，，， ，，即 ， ， 综上，当 或 时，总有 ． 8．关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解． 【详解】∵ ∴ ∴上述方程有解及 即及 所以原方程的解为， 故选：D 【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成． 9．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且． 【详解】解：∵ 分式方程 ，且 ， 两边乘 得：， 整理得：， ∴ （其中 )． 设 （t为整数且 ）， 则 ， 变形得：． ∵ a为整数， ∴ 为整数， 即 是4的约数：， ， ． ∴ ， 对应 ． 但 ，排除 ， ∴ ． 代入求a： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 当 时，原方程无解，无效． 验证各a值均使x为整数且， ∴ 整数a有5个：3， 1， ， ， 故选：C． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）定义：对于两个分式和，若满足（是不为0的常数），则称是的“和美分式”，此时称为“和美数”．下列结论： ①若，，则是的“和美分式”； ②若，且是的“和美分式”，且“和美数”为2，则； ③若分式和，，（，为常数），则一定是的“和美分式”； ④若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”． 其中正确的是（     ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，根据“和美分式”的定义，逐一计算每个结论中的值，判断结果是否为非零常数，即可得到正确选项． 【详解】解：① ， ，，符合定义，①正确； ② 根据定义，是的和美分式，和美数为，则 ，②错误； ③ ， ，若时，则，不符合题意，故③错误； ④ 假设是的“和美分式”，则由题意得 解得，即均为常数，不符合题意， 故假设不成立， ∴若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”，故④正确， 综上，①④正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）代数式与代数式的值相等，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，， 解得； 经检验，是原方程的解. 13．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 14．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程的解大于1，则的取值范围是___________ 【答案】且 【分析】将分式方程转化为整式方程，得到方程的解，再根据解大于1，结合分式有意义的条件列出不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， ∵关于的方程的解大于， ∴，且， 解得，且． 15．（25-26八年级下·河南开封·期末）若运算的结果为整式，则“”中的式子可以是____________． 【答案】 （答案不唯一，只要是含有因子的整式均可） 【分析】先将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分，根据结果为整式的要求，可确定“”中式子需要满足的条件，根据条件写出一个式子即可． 【详解】解： ， ∵运算结果为整式， ∴需要被整除， ∴“”中需要含有因子， ∴“”中的式子可以是（答案不唯一，只要是含有因子的整式均可）． 16．我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如：，若整数m满足，且，同时使得关于x的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的m的值分别为____． 【答案】，， 【分析】根据新定义运算，列出不等式组，求出的取值，根据分式方程解的情况求得的值即可． 【详解】解：整数m满足，且， ， 解得：， ，，，，，，，共个值， 分式方程， 整理得：， 当时，， 当时，方程无唯一确定的解，不符合题意，舍去， ∵分式方程的解为非负整数， ∴且， ，，． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）分式化简 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)；； 【详解】（1）解： （2）解： 当时，原式． 18．（8分）（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 19．（10分）（25-26七年级下·浙江杭州·期末）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖千克，各种糖的质量和单价如表．商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总质量）作为混合糖的单价． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 单价/（元/千克） 已知甲种糖的单价比乙种糖的单价多元/千克，且这千克糖的平均价为元． (1)求表中，的值． (2)加入甲、乙、丙三种糖中的一种糖，使混合糖的单价每千克提高元，应加入哪种糖果？加入多少千克？ 【答案】(1)的值为，的值为 (2)应加入甲种糖，加入千克 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可． （2）需要分类讨论加入哪一种糖，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知甲种糖的单价元/千克，乙种糖的单价元/千克， 列方程组 解得 答：甲种糖的单价元/千克，乙种糖的单价元/千克． （2）解：由（1）知甲种糖的单价元/千克，乙种糖的单价元/千克， 根据题意设加入甲种糖千克，使混合糖的单价为每千克元，列方程， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴加入甲种糖千克，可使混合糖的单价为每千克元． 设加入乙种糖千克，使混合糖的单价为每千克元，列方程， ， ， ， 不成立，舍去． 设加入丙种糖千克，使混合糖的单价为每千克元，列方程， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，但为负值意味着减少丙种糖的含量不符合题意舍去． 综上所述，加入甲种糖千克，可使混合糖的单价为每千克元． 20．（10分）（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 【答案】(1)解：A与B是和定分式，且，理由如下： ∵，， ∴， ∴A与B是和定分式，且； (2) (3)2， 【分析】（1）求出的结果即可得到结论； （2）设（k为常数），则可推出，根据分式D为真分式，得到M的次数小于等于1，据此求出k的值即可得到答案； （3）设（k为常数），则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，且C与D互为“和定分式”， ∴可设（k为常数） ∴， ∴ ∴， ∵分式D为真分式， ∴M的次数小于等于1， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，（a，b为常数），E与F互为“和定分式”， ∴可设（k为常数）， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 21．（12分）（25-26八年级下·福建宁德·期末）观察下列关于正数运算的式子： 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； (1)根据上述式子的特征，分别用含，的代数式表示：当________，________时，； (2)探究：对于正数，，当它们满足什么条件时，（1）中的规律一定成立．请说明理由； (3)小明发现：若是正数，是负数，（1）中的规律不一定成立，请你举一个不成立的例子． 【答案】(1)， (2)对于任意正数，满足时，上面的规律成立，理由如下： ，                                                 ，， ，                                         当时，， ∴当时，，即； (3)，时 由（2）知，即． 【分析】（1）根据算式特点得到规律，即可完成； （2）作差法判断即可． （3）取，时，由（2）得即可． 【详解】（1）解：由算式特点得：当，时，则； （2）解：略； （3）解：略． 22．（12分）（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)①；②1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）①由与互为“关联分式”、，得，求出；②将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； ②当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 【点睛】本题以“关联分式”新定义为载体，融合分式加减运算、分式化简求值、分式方程无解的分类讨论，考查代数运算能力与逻辑推理能力，体现分类讨论的核心数学思想． 23．（14分）（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 分式·拔尖卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，则分式的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）若恒成立，则(    ) A．0 B．4 C．8 D．12 3．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南周口·期末）关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东深圳·三模）2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2026年河南周口市沈丘县周营镇两校九年级二模联考数学试题）已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）定义：对于两个分式和，若满足（是不为0的常数），则称是的“和美分式”，此时称为“和美数”．下列结论： ①若，，则是的“和美分式”； ②若，且是的“和美分式”，且“和美数”为2，则； ③若分式和，，（，为常数），则一定是的“和美分式”； ④若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”． 其中正确的是（     ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）代数式与代数式的值相等，则_______． 13．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 14．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程的解大于1，则的取值范围是___________ 15．（25-26八年级下·河南开封·期末）若运算的结果为整式，则“”中的式子可以是____________． 16．我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如：，若整数m满足，且，同时使得关于x的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的m的值分别为____． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）分式化简 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 18．（8分）（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 19．（10分）（25-26七年级下·浙江杭州·期末）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖千克，各种糖的质量和单价如表．商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总质量）作为混合糖的单价． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 单价/（元/千克） 已知甲种糖的单价比乙种糖的单价多元/千克，且这千克糖的平均价为元． (1)求表中，的值． (2)加入甲、乙、丙三种糖中的一种糖，使混合糖的单价每千克提高元，应加入哪种糖果？加入多少千克？ 20．（10分）（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 21．（12分）（25-26八年级下·福建宁德·期末）观察下列关于正数运算的式子： 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； 当，时，，，； (1)根据上述式子的特征，分别用含，的代数式表示：当________，________时，； (2)探究：对于正数，，当它们满足什么条件时，（1）中的规律一定成立．请说明理由； (3)小明发现：若是正数，是负数，（1）中的规律不一定成立，请你举一个不成立的例子． 22．（12分）（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 23．（14分）（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $