第十二章 分式和分式方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第十二章分式和分式方程基础通关单元卷，注重基础巩固与能力梯度提升，融入科技情境（无人机配送）、文化素材（《九章算术》）及新定义题型，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|分式概念、意义、化简|基础概念辨析，如分式有意义的条件（第2题）| |填空题|4/12|分式化简、应用方程、分离常数法|结合倒数性质（第15题）、新方法应用（第16题分离常数）| |解答题|8/72|化简求值、实际应用、新定义|无人机配送（第7题）、沼气池处理（第20题）等实际问题体现模型意识；和谐分式（第21题）、对称式（第24题）培养创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 分式和分式方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D D C D A D A D D C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16．(1) (2) 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2)，，，； 【分析】本题主要考查分式的运算： （1）； （2）根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】（1）········3分 （2），，，；········5分 根据题意可知，，所以当时，原式．········7分 18．（8分） 【答案】(1) (2)①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6； ②该分式的值也不可能为8 【分析】（1）由除法和减法的意义列式进行计算即可； （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ， ；········3分 （2）解：①略········6分 ② 即该分式的值也不可能为8．········8分 19．（8分) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用减去即可得到，从而判断出“▲”； （2）结合（1）的结论可得，，用除以即可得到代数式． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ∴“▲”所表示的代数式为；········4分 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴．········8分 20．（8分） 【答案】(1)甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨 (2)新建乙种技术沼气池至少4个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，根据等量关系列分式方程解答即可； （2）设新建甲种技术沼气池共个，则新建乙种技术沼气池共个，根据不等式关系列出一元一次不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨．········4分 （2）设新建乙种技术沼气池共个，则新建甲种技术沼气池共个， ，． ，． 综上可知，． 答：新建乙种技术沼气池至少4个．········8分 21．（9分） 【答案】(1)①③④ (2)， (3)化简：， 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”．········3分 （2）解：．········6分 （3）解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故．········9分 22．（9分） 【答案】(1)，； (2)，； (3)， ，， 即， 或， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解； (4)，． 【详解】（1）解：观察材料规律，方程​的解为，，因此当时，解为；········2分 （2）根据上述规律，直接推广可得该方程的解为；········4分 （3）详见参考答案；········6分 （4）令，， ， ， ，， 或， 解得或 当时，，，当时，，， ，是原分式方程的解； ，．········9分 【点睛】本题运用了换元思想和归纳推理，在解题的过程中必须通过拆分、换元构造出的形式是解题的关键，注意分式方程要检验． 23．（11分） 【答案】(1)证明：由题意得： ， ∵， ∴，即， ∴一定为非负数． (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的定义化简、结合完全平方公式即可得证； （2）根据材料中的定义可得或，分别求出的值，代入进行检验即可； （3）得出，则可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）证明：略．········3分 （2）解：∵， ∴或， ①当时，解得，经检验，是这个分式方程的解， 将代入得：， 此时，舍去； ②当时，解得，经检验，是这个分式方程的解， 将代入得：， 此时，符合题意； 综上，的值为．········6分 （3）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴．········11分 24．（12分） 【答案】(1)③ (2)①，；②；③4 【分析】本题考查代数式，完全平方公式，对称式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用公式解决问题． （1）根据对称式的定义判断即可； （2）①利用多项式的乘法公式展开，可得结论；②利用完全平方公式求解即可；③利用非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ 不一定成立，不一定成立，成立，③属于对称式． 故答案为：③．········2分 （2）解：①   故答案为：，；········4分 ②整理得到，解得． ． ．········8分 ③ ， ∵ ∴ 原式 ， ， ， ∴当时，原式取的最小值，最小值为4， 的最小值为4．········12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 分式和分式方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列式子中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个选项中，只有C选项中的式子是分式． 2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）当分式有意义时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 3．（2026·河北邯郸·二模）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式对分母因式分解，再约去分子、分母的公因式． 【详解】解：． 4．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同分母分式加法运算法则计算即可． 【详解】解：． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期中）分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变③（分式本身的符号）和④（分母的符号），分式的值不变． 6．（2025·河北·模拟预测）已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合分式除法法则化简原式，再将各选项代入被污染部分，判断结果是否为整式，即可得到答案． 【详解】解：根据分式除法运算法则，原式可化为： A 当时，原式，结果分母含未知数，不是整式，此选项符合题意； B 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； C 当时，原式，是整式，此选项不符合题意；. D 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； ∴ 被墨水覆盖的部分不可能是． 7．（2026·河南平顶山·三模）为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 【答案】D 【详解】∵公式，题干给出甲配送150件与乙配送120件所用时间相等， 因此方程等式两边分别对应二者的工作时间. ∵已知甲款无人机平均每小时比乙款多配送10件，方程分母分别为和， ∴是甲平均每小时配送的包裹件数，是乙平均每小时配送的包裹件数. 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．3 B． C．0 D．任意实数 【答案】A 【分析】先把原方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程有增根的条件是未知数的值使得分母为0建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·河北邯郸·一模）要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】先对原式通分化简，再根据分式值为整数的条件判断选项，找出不符合要求的值． 【详解】首先对原式变形整理 ∵ ，，分式分母不为0，得 ∴ 原式 通分后计算分子得： ∴ 原式 将选项依次代入验证： A． 时， 是整数，符合要求； B． 时， 是整数，符合要求； C． 时， 是整数，符合要求； D． 时， 不是整数，不符合要求． 因此的值不能是7． 10．（2026·四川南充·一模）已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知等式通分化简，得到与的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴原等式变形为，， 移项得，， 交叉相乘得，，即， 整理得，， ， 两边平方得：， 将代入得：， ∴． 11．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉： 淇淇： A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量 C．表示 D．表示 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，每头牛比每只羊贵1两，牛、羊数量相等．嘉嘉的方程中，表示每头牛的价格，表示每只羊的价格；淇淇的方程中，若为牛（羊）的数量，则为牛价格，由方程和题意可知，表示羊的价格；根据题意，羊的价格为，故应为；因此选项B正确，选项D错误． 【详解】解：设每头牛价格为两，每只羊价格为两， ∵，且牛数量为，羊数量为，数量相等， ∴． 嘉嘉方程：，对比得x为牛价格，为羊价格，即，故A、C正确． 淇淇方程：，为数量，则为牛价格，牛价格减1为羊价格，即，又羊价格为， ∴，而非，故B正确，D错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·二模）化简分式的结果是________． 【答案】 【详解】解：. 14．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 【答案】 【分析】分别表示顺水速度和逆水速度，再根据顺水比逆水少用1小时的时间关系列方程． 【详解】解：∵水流速度为，轮船在静水中速度为， ∴顺水速度为，逆水速度为， ∵A，B两码头相距，时间=路程÷速度， ∴逆水航行时间为小时，顺水航行时间为小时， ∵顺水比逆水少用1小时， ∴可列方程为． 15．（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用倒数性质可以解决一些问题，已知：，易知，取倒数得，化简为，则的值为______． 【答案】 【分析】先对所求代数式取倒数，利用分式运算化简，再结合已知条件通过完全平方公式求出化简后式子的值，最后取倒数得到原代数式的值． 【详解】因为，对取倒数得， 根据分式的除法法则，， 由已知得， 根据完全平方公式可得， 将代入得，， 所以． 16．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键． （1）将分子变形为，通过比较常数项求即可； （2）对分式进行分离常数，得到，令其值为正整数，结合分母不为零且分式值为整数的条件，求整数 ． 【详解】（1）解：由， 得， ， ∴． 故答案为 ：； （2）解：对分式进行分离常数：分子， ∴ ． 设分式的值为正整数，则，即． 由于为正整数，， ∴ ，即． ∵为整数， ∴ 为整数． 又∵为整数且， ∴只能为． 当时，，分式值为，为正整数． 因此满足条件的整数的值为． 故答案为 ：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）嘉琪的练习册上有一道题：“化简：”，其中部分内容被墨迹污染，污染部分的代数式记为，已知该题的正确答案是． (1)求代数式； (2)先将，，，化简，再从中选择一个合适的数作为的值，求代数式的值． 【答案】(1) (2)，，，； 【分析】本题主要考查分式的运算： （1）； （2）根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】（1）········3分 （2），，，；········5分 根据题意可知，，所以当时，原式．········7分 18．（8分）（25-26八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 【答案】(1) (2)①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6； ②该分式的值也不可能为8 【分析】（1）由除法和减法的意义列式进行计算即可； （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ， ；········3分 （2）解：①略········6分 ② 即该分式的值也不可能为8．········8分 19．（8分）（2026·河北邯郸·三模）淇淇在计算“”时，误把“”看成“+”，得到的计算结果为． (1)求“▲”所表示的代数式． (2)若“”的运算结果乘一个关于的代数式，与“”的运算结果相同，求代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用减去即可得到，从而判断出“▲”； （2）结合（1）的结论可得，，用除以即可得到代数式． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ∴“▲”所表示的代数式为；········4分 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴．········8分 20．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 【答案】(1)甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨 (2)新建乙种技术沼气池至少4个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，根据等量关系列分式方程解答即可； （2）设新建甲种技术沼气池共个，则新建乙种技术沼气池共个，根据不等式关系列出一元一次不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨．········4分 （2）设新建乙种技术沼气池共个，则新建甲种技术沼气池共个， ，． ，． 综上可知，． 答：新建乙种技术沼气池至少4个．········8分 21．（9分）（25-26八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)化简：， 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”．········3分 （2）解：．········6分 （3）解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故．········9分 22．（9分）（25-26八年级下·河北保定·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论直接写出方程的解：． 【答案】(1)，； (2)，； (3)， ，， 即， 或， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解； (4)，． 【详解】（1）解：观察材料规律，方程​的解为，，因此当时，解为；········2分 （2）根据上述规律，直接推广可得该方程的解为；········4分 （3）详见参考答案；········6分 （4）令，， ， ， ，， 或， 解得或 当时，，，当时，，， ，是原分式方程的解； ，．········9分 【点睛】本题运用了换元思想和归纳推理，在解题的过程中必须通过拆分、换元构造出的形式是解题的关键，注意分式方程要检验． 23．（11分）（25-26八年级下·河北保定·期末）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 解决下列问题： (1)若k为任意实数，求证：一定为非负数． (2)若，求x的值． (3)若，请直接写出x的值． 【答案】(1)证明：由题意得： ， ∵， ∴，即， ∴一定为非负数． (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的定义化简、结合完全平方公式即可得证； （2）根据材料中的定义可得或，分别求出的值，代入进行检验即可； （3）得出，则可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）证明：略．········3分 （2）解：∵， ∴或， ①当时，解得，经检验，是这个分式方程的解， 将代入得：， 此时，舍去； ②当时，解得，经检验，是这个分式方程的解， 将代入得：， 此时，符合题意； 综上，的值为．········6分 （3）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴．········11分 24．（12分）（2025八年级上·河北沧州·专题练习）我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 【答案】(1)③ (2)①，；②；③4 【分析】本题考查代数式，完全平方公式，对称式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用公式解决问题． （1）根据对称式的定义判断即可； （2）①利用多项式的乘法公式展开，可得结论；②利用完全平方公式求解即可；③利用非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ 不一定成立，不一定成立，成立，③属于对称式． 故答案为：③．········2分 （2）解：①   故答案为：，；········4分 ②整理得到，解得． ． ．········8分 ③ ， ∵ ∴ 原式 ， ， ， ∴当时，原式取的最小值，最小值为4， 的最小值为4．········12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 分式和分式方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列式子中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）当分式有意义时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·二模）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期中）分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 6．（2025·河北·模拟预测）已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南平顶山·三模）为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．3 B． C．0 D．任意实数 9．（2026·河北邯郸·一模）要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 10．（2026·四川南充·一模）已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 11．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉： 淇淇： A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量 C．表示 D．表示 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·二模）化简分式的结果是________． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 15．（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用倒数性质可以解决一些问题，已知：，易知，取倒数得，化简为，则的值为______． 16．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）嘉琪的练习册上有一道题：“化简：”，其中部分内容被墨迹污染，污染部分的代数式记为，已知该题的正确答案是． (1)求代数式； (2)先将，，，化简，再从中选择一个合适的数作为的值，求代数式的值． 18．（8分）（25-26八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 19．（8分）（2026·河北邯郸·三模）淇淇在计算“”时，误把“”看成“+”，得到的计算结果为． (1)求“▲”所表示的代数式． (2)若“”的运算结果乘一个关于的代数式，与“”的运算结果相同，求代数式． 20．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 21．（9分）（25-26八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 22．（9分）（25-26八年级下·河北保定·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论直接写出方程的解：． 23．（11分）（25-26八年级下·河北保定·期末）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 解决下列问题： (1)若k为任意实数，求证：一定为非负数． (2)若，求x的值． (3)若，请直接写出x的值． 24．（12分）（2025八年级上·河北沧州·专题练习）我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 分式和分式方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列式子中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）当分式有意义时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·二模）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期中）分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 6．（2025·河北·模拟预测）已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南平顶山·三模）为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．3 B． C．0 D．任意实数 9．（2026·河北邯郸·一模）要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 10．（2026·四川南充·一模）已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 11．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉： 淇淇： A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量 C．表示 D．表示 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·二模）化简分式的结果是________． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 15．（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用倒数性质可以解决一些问题，已知：，易知，取倒数得，化简为，则的值为______． 16．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）嘉琪的练习册上有一道题：“化简：”，其中部分内容被墨迹污染，污染部分的代数式记为，已知该题的正确答案是． (1)求代数式； (2)先将，，，化简，再从中选择一个合适的数作为的值，求代数式的值． 18．（8分）（25-26八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 19．（8分）（2026·河北邯郸·三模）淇淇在计算“”时，误把“”看成“+”，得到的计算结果为． (1)求“▲”所表示的代数式． (2)若“”的运算结果乘一个关于的代数式，与“”的运算结果相同，求代数式． 20．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 21．（9分）（25-26八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 22．（9分）（25-26八年级下·河北保定·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论直接写出方程的解：． 23．（11分）（25-26八年级下·河北保定·期末）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 解决下列问题： (1)若k为任意实数，求证：一定为非负数． (2)若，求x的值． (3)若，请直接写出x的值． 24．（12分）（2025八年级上·河北沧州·专题练习）我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $