第2章 锐角的正弦、余弦、正切（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学第2章锐角三角函数能力提升单元卷，通过无人机测速、遮阳篷设计等真实情境，覆盖三角函数定义、解直角三角形及综合应用，适配单元复习，提升数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数定义、基础计算|结合坡角耗能情境，巩固概念| |填空题|6/18|解直角三角形、几何作图|融入尺规作图，强化几何直观| |解答题|8/72|测量、旋转、体积计算|设计旗杆测量、感应灯区域等综合题，体现模型意识与推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 锐角的正弦、余弦、正切·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·广西北海·期末）计算等于（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，若的三边长，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（    ）    A．58J B．159J C．1025J D．1732J 5．（25-26九年级上·河南南阳·期末）“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．某交警在一次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为96米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（   ）米/秒． A． B． C． D． 6．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心A的距离为厘米，小球从点A处摆动到最低点B处时，，在点O的正下方有一个阻碍物P，小球从点B处到点C的摆动，是以P为圆心，为半径的向右摆动，设点A和点C的垂直高度差为m（点A高于点C），的长为n，若，则m和n满足的关系为（取）（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（    ） A． B． C． D． 9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形为矩形，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·湖南永州·期末）在中，已知，，则的值是______． 12．如图，在 中， ，分别以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交 BC于点D，若，则 ___________________ 13．在中，若，则是________． 14．如图，在中，，，，D是的中点，过点B作线段的垂线，垂足为点E．的值为______． 15．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为_____米（结果保留根号）． 16．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，两束光线从成像图层的点O处发出，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N．若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离为_________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知：如图，在中，，求和的值． 18．计算： (1) (2) 19．（25-26八年级下·吉林·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 21．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 22．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示． (1)在图2中，与桌面l的位置关系为______； (2)延长与l交于点F，求证： (3)判断图1中矩形的面积与图2中的面积的大小，并求斜坡的坡度（即的值）．（直棱柱体积底面积×高） 23．数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长．    测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可．    解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 24．综合与探究 问题情境： 在矩形中，，，M为边上的中点，E为直线上一动点（不与点B重合），连接．作点B关于的对称点，连接，，． 观察发现： (1)如图1，当点E恰好与点D重合时，试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，当点E在线段上运动时，连接CE，在某一时刻，（1）中判断的四边形的形状仍然成立，试判断此时与的数量关系，并说明理由． (3)在点E运动的过程中，连接，当时，请直接写出的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 锐角的正弦、余弦、正切·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·广西北海·期末）计算等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值直接计算即可． 【解析】解：． 故选：D． 2．如图，若的三边长，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断 为直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求解即可． 【解析】解：∵ ∴ ∴ ∴ 是直角三角形，且， 在中，． 3．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【解析】解：在中， ， ， ， ， ， ． 4．爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（    ）    A．58J B．159J C．1025J D．1732J 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值计算求解． 【解析】 故选：B． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 5．（25-26九年级上·河南南阳·期末）“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．某交警在一次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为96米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（   ）米/秒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了俯角的定义，直角三角形的边角关系，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．如图所示，过点A作于点D，通过俯角的定义和解直角三角形求出，由汽车通过山洞的时间为12秒，求出小车过山洞的平均速度． 【解析】解：如图所示，过点A作于点D， 由题意得，，，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵汽车通过山洞的时间为12秒， ∴小车过山洞的平均速度为（米/秒）， 故选：B． 6．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心A的距离为厘米，小球从点A处摆动到最低点B处时，，在点O的正下方有一个阻碍物P，小球从点B处到点C的摆动，是以P为圆心，为半径的向右摆动，设点A和点C的垂直高度差为m（点A高于点C），的长为n，若，则m和n满足的关系为（取）（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，过点C作于点E，根据题意得出，然后利用余弦函数结合图形求解即可，熟练掌握三角函数的应用是解题关键 【解析】解：过点A作于点D，过点C作于点E，如图所示：    根据题意得：， 在和中， ， ∴（厘米），（厘米）， ∵， ∴， ∴， 故选：A 7．如图，在中，，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，由旋转的性质易证是等边三角形，再利用直角三角形，分别得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【解析】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 8．利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】勾股定理求出的长，利用平移的性质，推出，得到，求出的长，延长交的延长线于点，作于点，证明，得到，求出的长，进而得到的长，证明，得到，求出的长，再利用坡度等于，求解即可． 【解析】解：由题意，得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 延长交的延长线于点，作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即：斜坡的坡比为； 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理以及平移的性质，本题的难度较大，属于压轴题，解题的关键是构造相似三角形． 9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案． 【解析】解：在中，， ∴， 在中， ∵， ∴． 10．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形为矩形，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数，矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，延长交于点，可得四边形为矩形，推出，，由折叠可得：，，，推出，进而得到，，得到，，最后根据，即可求解． 【解析】解：如图，过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，， 由折叠可得：，，， ， ， ，， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·湖南永州·期末）在中，已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．先设出三角形的三边，再利用正切的定义求解即可． 【解析】解：∵在中，，， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在 中， ，分别以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交 BC于点D，若，则 ___________________ 【答案】 【分析】连接，根据作图，得到,利用勾股定理，根据正切函数的定义，计算即可，本题考查了线段垂直平分线的作图，勾股定理，三角函数的计算，理解作图的意义，熟记三角函数的定义是解题的关键． 【解析】连接，根据作图，得到, ∴， ∴, 故答案为：． 13．在中，若，则是________． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【解析】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 14．如图，在中，，，，D是的中点，过点B作线段的垂线，垂足为点E．的值为______． 【答案】 【分析】由D是的中点推出，根据勾股定理求出及的长，结合计算即可． 【解析】解：∵D是的中点， ∴， ∴， ∵，，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，，， 又∵， ∴， 即， 解得， ∵， ∴． 15．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为_____米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交延长线于，可得，，利用的三角函数得出米，设米，则，利用的三角函数列分式方程，求出的值即可得答案． 【解析】解：如图，过点作，交延长线于，则， ∵太阳光与水平面的夹角为，斜坡部分的坡角为， ∴，， ∵米， ∴（米）， 设米，则， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴大树的高为． 故答案为： 16．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，两束光线从成像图层的点O处发出，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N．若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，其他问题（解直角三角形的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离． 【解析】解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为、，过作于，过作于． 由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为， ∴． 对于的光线： 根据反射定律，入射角等于反射角， ∴是等腰直角三角形（）， 在中，， 即， 解得：． 又∵垂直平分（反射对称性）， ∴， 对于的光线： 在中，， 即， ∴， 同理，垂直平分， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知：如图，在中，，求和的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【解析】解：由， 根据勾股定理，得， 在中，，． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可求解； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再进行实数运算即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 19．（25-26八年级下·吉林·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【解析】（1）略； （2）略； （3）略． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】(1)（米） (2)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，理解图示，掌握解直角三角形的计算是关键． （1）根据题意得到四边形和四边形为矩形，结合图形即可求解； （2）根据题意，设长为x米，则（米），根据，，分别求出，结合列式求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，， ∴四边形和四边形为矩形， 米，米， （米）； （2）解：设长为x米，则（米）， ，，， ， ，， ， 由（1）得四边形和四边形为矩形， ， 米， ， 解得， 米， 答：旗杆的高度为米． 21．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得到，，结合垂直平分，得到，根据，计算，根据三角形的面积公式，计算即可． （2）根据在中，，为边上的高，得，作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E，计算即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，线段的垂直平分线，熟练掌握勾股定，三角函数是解题的关键． 【解析】（1）∵，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在中， ∵，为边上的高， ∴， 作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， ∴，， ∴， ∴ ． 22．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示． (1)在图2中，与桌面l的位置关系为______； (2)延长与l交于点F，求证： (3)判断图1中矩形的面积与图2中的面积的大小，并求斜坡的坡度（即的值）．（直棱柱体积底面积×高） 【答案】(1)平行 (2)见解析 (3)相等； 【分析】（1）根据题意可直接得出结果； （2）延长，交直线于点H，根据平行线的性质得出，再由正方形的性质及相似三角形的判定即可证明； （3）根据图形得出矩形的面积为：，设，利用等体积法得出，确定的面积，进行比较即可；再由正切函数的定义求解即可． 【解析】（1）解：∵水面是水平的， ∴； （2）解：延长，交直线于点H，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴； （3）根据题意得：棱长为，， ∴， ∴矩形的面积为：， 设， ∵水的体积不变， 水平放置时水的体积为：， ∴放在斜坡上时，水的体积可以看作是正方体体积减去三棱柱的体积， 正方体体积， 三棱柱体积为：， ∴， 解得，即， ∴的面积为： ∴图1中矩形的面积与图2中的面积相等； 由（2）得， 在中，， 即． 23．数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长．    测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可．    解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为． 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的相关知识． （1）作于，由，，可得，即可求解； （2）作于，于，延长交于，则，可得四边形、四边形是矩形，在中，由，求出，根据，求出，然后根据，求出，最后由线段的和差即可求解． 【解析】解：（1）如图，作于，   ，． 在中，，即， ， 答：遮阳篷前端到墙面的距离约为； （2）解：如图，作于，于，延长交于，则，   四边形、四边形是矩形， 由（1）得， ， 在中，，即， ， 由题意得：， ， 在中，，即， ， ， 答：挡沿部分的长约为． 24．综合与探究 问题情境： 在矩形中，，，M为边上的中点，E为直线上一动点（不与点B重合），连接．作点B关于的对称点，连接，，． 观察发现： (1)如图1，当点E恰好与点D重合时，试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，当点E在线段上运动时，连接CE，在某一时刻，（1）中判断的四边形的形状仍然成立，试判断此时与的数量关系，并说明理由． (3)在点E运动的过程中，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形．理由如下： 如图1，延长交于点H． ∵M是边的中点， ∴． 根据轴对称的性质，得，，． ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． (2)．理由如下： 如图2，过点C作于点N． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得． ∴．解得． ∴． ∴． ∴． (3)或 【分析】（1）如图1，延长EM交于点H．由中点的定义和折叠的性质可得，再利用矩形的性质证明、，即可得到结论； （2）如图2，过点C作于点N．利用平行线的性质可得，利用余弦的定义可得；在中，根据勾股定理得，进而得到与的数量关系； （3）由矩形的性质以及勾股定理可求得，再分点E在线段上和点E在的延长线上两种情况，分别利用轴对称的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角以及线段的和差求解即可． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：∵矩形中，，， ∴， ①如图3，当点E在线段上时，设，交于点F． 根据轴对称的性质，得垂直平分． ∴，． ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴． ②如图4：当点E在的延长线上时， 同理，得． 综上所述，DE的长为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 锐角的正弦、余弦、正切·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·广西北海·期末）计算等于（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，若的三边长，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（    ）    A．58J B．159J C．1025J D．1732J 5．（25-26九年级上·河南南阳·期末）“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．某交警在一次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为96米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（   ）米/秒． A． B． C． D． 6．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心A的距离为厘米，小球从点A处摆动到最低点B处时，，在点O的正下方有一个阻碍物P，小球从点B处到点C的摆动，是以P为圆心，为半径的向右摆动，设点A和点C的垂直高度差为m（点A高于点C），的长为n，若，则m和n满足的关系为（取）（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．利用投影灯测量计算坡比．如图，投影灯的下边缘光线落在坡脚点B处，上边缘光线落在斜坡点C处，此时投影灯O离地面距离为1.5m，离坡角B点水平距离为5m．将投影灯往上平移，上下边缘的光线，，恰好落在斜坡D，C处，此时投影灯向上平移了0.9米，现测得，则斜坡的坡比为（    ） A． B． C． D． 9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形为矩形，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·湖南永州·期末）在中，已知，，则的值是______． 12．如图，在 中， ，分别以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交 BC于点D，若，则 ___________________ 13．在中，若，则是________． 14．如图，在中，，，，D是的中点，过点B作线段的垂线，垂足为点E．的值为______． 15．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为_____米（结果保留根号）． 16．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，两束光线从成像图层的点O处发出，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N．若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离为_________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知：如图，在中，，求和的值． 18．计算： (1) (2) 19．（25-26八年级下·吉林·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 21．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮． (1)如图1，在中，，，若在顶点B，C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图2，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积． 22．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示． (1)在图2中，与桌面l的位置关系为______； (2)延长与l交于点F，求证： (3)判断图1中矩形的面积与图2中的面积的大小，并求斜坡的坡度（即的值）．（直棱柱体积底面积×高） 23．数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长．    测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可．    解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 25．综合与探究 问题情境： 在矩形中，，，M为边上的中点，E为直线上一动点（不与点B重合），连接．作点B关于的对称点，连接，，． 观察发现： (1)如图1，当点E恰好与点D重合时，试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，当点E在线段上运动时，连接CE，在某一时刻，（1）中判断的四边形的形状仍然成立，试判断此时与的数量关系，并说明理由． (3)在点E运动的过程中，连接，当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章锐角的正弦、余弦、正切·数学·答案及评分参考 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 23 4 5 6 7 8 9 10 D 0 D B B C B B 0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11,2V2 √5 12.3 13.等腰直角三角形 4 14.2 15. 5v6-5n2 16.8W5-8-8+8V5 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 解：由AC=3,BC=4 根据勾股定理，得4B=VAC+BC=5 在,m4G手mB-G-号 AB=5,(6分) 18.(6分) (1)解：sin30°.cos45°-tan45°+tan30°.tan60° 1/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22 3 xV3 -1+1 4 2 4:(3分) +(sin60°-1)°-2cos30°-(（1-tan60) -21-2x90-间 =2+1-√3-1+5 =2.(6分) 19.(8分) (1)略；(3分) (2)略；(6分) (3)略.(8分) 20.(8分) (1)解：由题意得∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BWF=90°， :.四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，(4分) .DF=AM=4米，EF=BN=3米， :DE=DF-EF=4-3=1(米)； (2)解：设CD长为x米，则CE=x+1(米)， :∠CAD=30,∠ADC=90,an∠CAD=am30=CD-5 AD 3, ·AD=CD _x=3x tan30°√3 3 ∠CBE=459,∠CEB=90,tan∠CBE=tan450=CE=1 BE 2/7 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BE CE x+1 tan451=x+1 由(1)得四边形AMFD和四边形BNFE为矩形， .MF AD=3x,FN=BE=x+1 MN=33米， .V3x+x+1=33 解得x=16W5-16 :CF=CD+Dr=165-16+4=65-12米 答：旗杆CF的高度为 65-12米.(8分) 21.(10分) (1).∠A=90°，AB=6m,AC=8m CC-1om.tanc AC4, ,EF垂直平分BC, :.CF=BC=5m. .tanC= EF 3 FC 4 EF=15 4 S.mc-EFCF=1x .15_75 2 48 2(m2).(4分) (2)在△ABC中， F ,AB=AC=5m,BC=6m,AD为BC边上的高， 3/7 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD-CD-BC=3m.D=-BD-4m. 作线段AB的垂直平分线FE,交AB于点F,交AD于点E, m80岩器-n, 2 :EF=3 41 m 8 S边g8=S.4o-S4eF(7分) ×3x4-1x515 1 Γ2 228 63 -32 -时.00分) 22.(10分) (1)解：水面MN是水平的， .AN∥I:(3分) (2)解：延长AW,交直线BC于点H,如图， D A(M) H B F G :AN∥FE, ∴.∠AHE=∠E=a, .AD II BC. ∠DAN=∠AHE=&, ∴.∠DAW=∠E=a, ,正方形ABCD, .∠D=∠ABC=∠EBF=90°， 4/7 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△ADN∽△EBF;(6分) (3)根据题意得：棱长为9cm,BM=7cm, .'AM =2cm, ∴.矩形AMWD的面积为：2×9=18cm2, 设DN=xcm, ,水的体积不变，水平放置时水的体积为：9×9×7=567cm3, .放在斜坡上时，水的体积可以看作是正方体体积减去三棱柱的体积， 正方体体积9×9×9=729cm3, 1 三棱柱体积为：2 xDNx ADx =。x×9×9 AA'2 :729 2x9x9=567 解得x=4,即DN=4cm, ÷△ADN的面积为：2 xADx DN=)x9x4=18cm 2 ∴图1中矩形AMND的面积与图2中△AND的面积相等；(8分) 由(2)得∠DAN=∠E=&, 在RtAND中，tan∠DAN=DN_4 AD 9 4 即ana=g.(10分)y 23.(10分)解：(1)如图，作BM⊥AD于M, A M.... B E,AB=4m∠BAD=70 :在RtaBAM中，sin∠BAM=BM AB,即sin70°=BM 4 5/7 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BM=sin70°×4≈0.940×4=3.76m 答：遮阳篷前端B到墙面AD的距离约为3.76m,(5分) (2)解：如图，作BM⊥AD于M,CH⊥AD于H,延长BC交DE于K,则BK⊥DE, B M 四边形 、四边形 是矩形， K E . BMHC HDKC 由(1)得BM=3.76m, .DK=HC=BM=3.76m 在RI4BM中，os∠BAM=4M AB, 即cos70°=AM 4, .AM=cos70×4≈0.342×4=1.368m 由题意得：DF=2.76m, ∴.FK=DK-DF=3.76-2.76=1m, 在RtACFK中，tan∠CFK=C FK,即an60'=CK 1， .CK=1xtan60°≈1x1.732=1.732m. .BC=AD-AM-CK=3.5-1.368-1.732=0.40m, 答：挡沿部分BC的长约为0.40m.(10分) 24.(8分) (1)略(2分) (2)略(4分) (3)解：：矩形ABCD中，BC=2,CD=1, BD-BC+CD=5 ①如图3，当点E在线段BD上时，设BB',EM交于点F. 根据轴对称的性质，得EM垂直平分BB', 6/7 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BM=B'M,BE=BE. .∠MBB'=∠MB'B. 又：B'E∥BC, .∠EB'B=∠MBB'. ∴.∠EB'B=∠MB'B 又∠EFB'=∠MFB=90°，B'F=B'F, △EB'F≌△MB'F(ASA) ∴.EB'=MB'. ∴.EB'=MB'=MB=EB ∴，四边形BMB'E是菱形. ∴.BE=BM=1. :DE=BD-BE=5-1.(6分) D 0 A B M E B 图3 图4 ②如图4：当点E在DB的延长线上时， 同理，得DE=BD+BE=5+1 综上所述，DB的长为5-1欧5+1.(8分) 7/7