1.2.4 绝对值（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦“绝对值”核心知识点，涵盖几何意义、代数意义及性质。课堂导入从复习相反数切入，通过数轴上3和-3等实例引导观察点到原点距离，建立新旧知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于以几何直观培养数学眼光，通过探究活动发展推理意识。如从具体数绝对值归纳代数意义，用分段讨论解决最值问题，体现数学思维。助力学生提升观察分析能力，为教师提供系统探究与巩固方案，提高教学效率。

第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.4 绝对值 学 习 目 标 1 2 3 理解绝对值的几何意义，掌握绝对值的表示方法，能准确求出一个有理数的绝对值； 能根据数的正负性正确写出绝对值的结果，理解、、三种情形的适用条件； 经历从具体实例到抽象概念的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力. 旧知复习 回顾 上节课我们学习了相反数，回顾一下：什么叫做互为相反数？请举例说明。 相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如： 4. 的相反数记作_______；正数、0、负数. 1. 和 _______互为相反数； 2. 和 _______互为相反数； 3. 的相反数是_______。 - 注：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点距离相等 3 新课引入 思考 互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同，那么它们在数轴上的位置有什么共同特征呢？ 请大家在练习本上画一条数轴，并在数轴上标出表示3和-3的点，观察这两个点到原点的距离分别是多少。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 表示3的点到原点的距离是3 表示-3的点到原点的距离也是3 这两个距离有什么关系呢？这就是今天我们要学习的主题——绝对值. 4 可以发现，无论是3和-3还是10和-10到，每组相反数到原点的距离都相等. 新知探究 探究一：绝对值的几何意义 探究 请同学们再画一条数轴，并在数轴上标出表示10和-10的点，观察这两个点到原点的距离分别是多少？ 在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 表示10的点到原点的距离是10； 表示-10的点到原点的距离也是10 他们到原点的距离都相等 5 知识小结 思考1 设 表示一个数， 与到原点的距离都相等吗？ 可以发现，无论𝑎取什么数， -𝑎与𝑎到原点的距离都相等. 绝对值的概念 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|，读作“的绝对值”. 因为距离不可能是负数，所以为非负数，即 可以是正数、0、负数 6 因为原点到原点的距离是0，所以|0|=0. 新知探究 探究一：绝对值的几何意义 思考2 0的绝对值是多少呢？为什么？ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 表示0的点就是原点 请大家再观察数轴，比较-2.5和2这两个数，它们的绝对值分别是多少？在数轴上如何体现？ -2.5 2 观察到-2.5到原点的距离是2.5，2到原点的距离是2，因此|-2.5|=2.5，|2|=2. 也就是非负数， 即. 7 新知巩固 绝对值的几何意义 如图，在数轴上与表示的点距离2个单位长度的点表示的数是（   ） A．0 B． C．0或 D．2 【分析】先设该点表示的数为，根据两点之间的距离得，求出解即可． 解：设该点表示的数为a，根据题意，得 ， 解得或， 所以该点表示的数是0或． 8 新知探究 探究二：绝对值的代数意义 探究 一个数的绝对值与这个数本身有什么关系呢？ 例：尝试求出下列各数的绝对值. 解：|5|=5,|3.2|=3.2,|0|=0,|-3|=3,|-0.5|=0.5, 正数 负数 0 在以上的例题中，正数的绝对值有什么特点？0的绝对值又有什么特点？负数的呢？ 9 知识小结 探究二：绝对值的代数意义 由以上例子可以发现： ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0 用字母表示数后，可以用含字母的式子表达一般规律： （1）如果是正数，那么||=； （2）如果是0，那么||=0； （3）如果是负数，那么||=-。 10 新知探究 探究二：绝对值的代数意义 由此可知，当是负数时，，这里的””表示的是的相反数，是一个正数，而不是负数。 例如，当时，。 不能误认为””就是负数。 思考 当是负数时，，这里的””表示什么？ 绝对值的代数意义可以简记为： 11 新知巩固 绝对值的代数意义 下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确. 【分析】根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 12 新知探究 探究三：绝对值的性质深化 探究 在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值是越大还是越小？离原点越远呢？ 一、绝对值大小与数轴上点的位置关系 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小； 离原点越远，这个数的绝对值越大。 接近原点 接近原点 越来越小，最小时=0 13 新知探究 探究三：绝对值的性质深化 二、绝对值等于本身或相反数的数的范围 探究1 如果一个数的绝对值等于它本身，即，那么这个数是什么数？一定是正数吗？ 正数的绝对值等于它本身，0的绝对值也等于0（即它本身），所以绝对值等于它本身的数是非负数，即0。 观察绝对值的代数意义可知： 14 新知探究 探究三：绝对值的性质深化 探究2 如果一个数的绝对值等于它的相反数，即，那么这个数是什么数？一定是负数吗？ 二、绝对值等于本身或相反数的数的范围 因此负数的绝对值等于它的相反数，而0的绝对值是0，0的相反数也是 0,所以0也满足。 因此，绝对值等于它的相反数的数是非正数，即。 注：0既满 足,也满足,因为0的相反数就是它本身。 如：|-3|=3,|-0.5|=0.5, 15 新知探究 探究三：绝对值的性质深化 三、绝对值为正数的数有两个且互为相反数 探究 如果|𝑥|=2，那么等于多少？有几个解？请结合数轴说明. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 距离为2 距离为2 |-2|=2 |2|=2 数轴上到原点距离等于2的点有两个，分别在原点的左右两侧 表示的数是2和-2，所以或，即。 观察数轴可知： 注意：解题时不能只写出一个解而遗漏另一个解. 16 探究三：绝对值的性质深化 四、互为相反数的两个数绝对值相等 探究 如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值有什么关系？反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数有什么关系？ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 到原点距离为 到原点距离为 若与互为相反数，即=-，则||=|| 1.互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以它们的绝对值相等. 2.反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数 即若，则或 17 新知巩固 绝对值非负性 【分析】设 𝑎 的相反数为 −𝑎，𝑎 的绝对值为 |𝑎|，则 −𝑎=|𝑎|，得出 𝑎≤0，即可得出答案. 一个有理数 ，满足 的相反数等于 的绝对值，则 可以是 ．（写出一个即可） 解：设 的相反数为 ， 的绝对值为 ， ， ， ，即 ， 当 时，，等式成立， 可以是任何非正有理数，例如 ， 故答案为：（答案不唯一）． 18 绝对值的应用 教材例题 （1）写出，，的绝对值； （2）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 解：(1) (2)因为在点中，点离原点最近，所以在有理数, 中， 的绝对值最小. 【分析】对于（2），一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小. 19 巩固训练1 绝对值的几何意义 【分析】到原点的距离表示该数的绝对值．根据数轴上点的特点进行解答即可． 点M在数轴上表示的数为负数，且点M到原点的距离小于4，则点M表示的数可以是（   ） A．6 B．3 C． D． 解：点M在数轴上表示的数为负数，且点M到原点的距离小于4，则点M表示的数大于， 点M表示的数可以是． 故选：C． 20 巩固训练1 绝对值的几何意义 变式题 关于的说法不正确的是（ ） A. 与的差的绝对值 B. 到的距离 C. 到的距离 D. 与的差的相反数 解：A、表示的是与的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、表示的是到的距离，原说法正确，不符合题意； C、表示的是到的距离，原说法正确，不符合题意； D、与的差的相反数为，而当时， 当时，，原说法错误，符合题意； 21 【分析】先计算括号内的负负得正，得到2，然后计算绝对值内的差值为0，绝对值为0，最后取负得0． 巩固训练2 求一个数的绝对值 计算：___________． 解：计算：，则原式变为 ， 计算绝对值内：，故 ， 最后取负： 22 巩固训练2 求一个数的绝对值 变式题 若，则一定是（ ） A．负数  B．正数  C．非负数  D．非正数 解：∵ ， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； ∴ ，即为非正数． 23 巩固训练3 绝对值的性质 【分析】根据绝对值的意义，得到，进而得到，写出一个整数𝑎的值即可． 已知，请写一个符合条件的整数_______． 解：∵， ∴， ∴符合条件的一个整数； 故答案为：（答案不唯一）． 24 巩固训练3 绝对值的性质 变式题 小贝认为：若有理数 ， 满足 ，则 ．小贝的观点正确吗？请说明理由． 解：小贝的观点不正确． 理由如下： 因为当 时， 但是 ， 所以若 则 不一定成立 所以小贝的观点不正确． 25 拓展提升 绝对值的最值问题 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键. 材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是多少？ 解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴ （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， 26 拓展提升 绝对值的最值问题 ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为 27 课堂总结 本节课你学到了什么？ 28 感谢聆听! 29 $