专题5.2 平面向量的概念及线性运算（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以题型分类为框架，覆盖平面向量概念、表示、运算及共线定理应用，分层突破实现从基础到真题的能力递进，注重抽象能力与几何直观的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量的基本概念|4题|辨析向量与数量的本质区别，强化抽象能力|从概念生成到运算应用，构建“概念-表示-运算-定理-参数”的递进逻辑链，强化推理能力| |向量的几何表示|4题|考查单位向量、零向量的几何属性，培养几何直观| |向量加、减法的几何意义|4题|结合图形分析向量合成与分解，提升空间观念| |向量的线性运算|4题|在平行四边形、梯形中进行向量线性表示，训练运算能力| |根据向量线性运算求参数|4题|通过线性运算建立参数关系，发展推理意识| |平面向量共线定理及其应用|4题|判断三点共线及共线条件应用，深化逻辑推理| |已知向量共线求参数|4题|利用共线定理建立方程求参数，强化应用意识|

专题5.2 平面向量的概念及线性运算（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 平面向量的基本概念】 1 【题型2 向量的几何表示】 3 【题型3 向量加、减法的几何意义】 4 【题型4 向量的线性运算】 6 【题型5 根据向量线性运算求参数】 8 【题型6 平面向量共线定理及其应用】 10 【题型7 已知向量共线（平行）求参数】 12 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 平面向量的基本概念】 1．（25-26高一下·天津宝坻·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解题思路】根据向量的概念即可判断. 【解答过程】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一下·河南·阶段检测）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【解题思路】由向量的概念，可得答案. 【解答过程】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 3．（25-26高一下·贵州黔南·阶段检测）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解题思路】由向量的概念逐个判断即可； 【解答过程】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 4．（25-26高一下·黑龙江绥化·阶段检测）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【解题思路】根据向量的相关概念直接判断即可. 【解答过程】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B. 【题型2 向量的几何表示】 5．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【解题思路】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【解答过程】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B. 6．（25-26高一下·新疆巴州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【解题思路】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【解答过程】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【解题思路】由正六边形性质可得，进而由向量的加法法则求解即可. 【解答过程】由题意，可知， 所以, 故选：B. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量没有方向 D．向量的模是一个正实数 【答案】A 【解题思路】根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误. 【解答过程】A：与的长度相等，方向相反，正确； B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误； C：零向量的方向任意，故错误； D：向量的模是一个非负实数，故错误. 故选：A. 【题型3 向量加、减法的几何意义】 9．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定方格图，利用向量的加减法计算即得. 【解答过程】如图所示，    . 故选：C. 10．（25-26高一下·贵州六盘水·阶段检测）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算可得结果. 【解答过程】∵ ， ∴. 故选：A. 11．（25-26高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【解题思路】利用平面向量的减法法则结合给定条件得到，结合平行四边形性质和为线段的中点得到，进而求出结果即可. 【解答过程】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量加法的运算法则逐项判断即可. 【解答过程】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形， 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 【题型4 向量的线性运算】 13．（2026·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可. 【解答过程】如图，由题意,可知是的中点， 所以 ． 故选：C． 14．（2026·四川眉山·一模）在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算即可结合选项逐一判断. 【解答过程】在平行四边形ABCD中，， 而，， ， . 故选：B. 15．（2026·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】依题意可得 ． 故选：D. 16．（2026·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用平面向量加减法则，即可得到答案. 【解答过程】由题意有， 所以． 故选：A. 【题型5 根据向量线性运算求参数】 17．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【解答过程】由题设，则， 即，则， 又，所以 . 故选：C. 18．（2026·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算，即可求解. 【解答过程】， 所以，即，即， 即. 故选：D. 19．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据图形由向量的加法法则运算即可． 【解答过程】设，因为是边的中点，所以， 所以， ， 又，所以，解得． 故选：A． 20．（25-26高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由向量的线性运算即可求解. 【解答过程】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 【题型6 平面向量共线定理及其应用】 21．（25-26高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【解题思路】利用平面向量共线向量定理求解即可. 【解答过程】由题意，，，， 不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误， 由于， 所以，则，，三点共线，故D正确. 由于， 不存在唯一的实数使得， 不存在唯一的实数使得，故BC错误， 故选：D. 22．（25-26高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由三点共线的向量表示即可求解. 【解答过程】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C. 23．（2026·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【解答过程】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 24．（25-26高一下·四川凉山·期中），则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解题思路】根据平面向量共线定理逐一判断各个选项中的两个向量是否共线，即可得解. 【解答过程】对于A，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故A不符题意； 对于B，因为， 所以， 又因为为公共点，所以三点共线，故B符合题意； 对于C，， 设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故C不符题意； 对于D，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故D不符题意. 故选：B. 【题型7 已知向量共线（平行）求参数】 25．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量共线，可得，列方程即可求得答案. 【解答过程】因为向量共线， 所以存在实数 ，使得， 所以，解得，则. 故选：D. 26．（25-26高一下·浙江湖州·阶段检测）已知，为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（   ） A．2 B． C．-2 D． 【答案】C 【解题思路】根据向量共线定理求解. 【解答过程】因为与平行，所以存在实数使， 所以，由，解得. 故选：C. 27．（2026·福建福州·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果. 【解答过程】依题意，设，又是两个不共线的向量， 所以，所以． 故选：D. 28．（25-26高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理即可求解. 【解答过程】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 一、单选题 1．（25-26高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【解题思路】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【解答过程】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 2．（2026·重庆·一模）在平行四边形中，与相交于，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案 【解答过程】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 3．（2026·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【解答过程】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 4．（2026·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2026·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合重心性质与向量运算化简可得. 【解答过程】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 6．（25-26高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【解答过程】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 7．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（    ） A．3 B．-3 C．-2 D．2 【答案】B 【解题思路】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【解答过程】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：B. 8．（25-26高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．8 B．16 C．18 D．25 【答案】D 【解题思路】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【解答过程】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D. 二、填空题 9．（25-26高二上·河北·期中）四边形中，“”是“是梯形”的___________条件． 【答案】充分不必要 【解题思路】根据共线向量的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【解答过程】若，则且，则四边形为梯形，故充分性成立， 若为梯形，则或，若不平行于，则，故必要性不成立. 所以“”是“是梯形”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 10．（2026·安徽·模拟预测）在中，已知，且，则___________． 【答案】4 【解题思路】根据向量加减法的运算法则，拆解向量，化简求值. 【解答过程】因为， 则带入，得， 整理得．又， 所以，解得． 故答案为:4. 11．（25-26高一下·广东河源·期中）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则__________. 【答案】 【解题思路】根据向量共线可设，进而对比系数列式求解即可. 【解答过程】因为是两个不共线的向量，， 若与是共线向量，设，则， 则，解得. 故答案为：. 12．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【解答过程】如下图所示： 因为，为边的中点，所以， 又三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】根据条件可以得出，取上靠近点的三等分点，即可得到，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【解答过程】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．    故选：D. 2．（2026·河北·模拟预测）在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】设内切圆圆心，将、、分解为从出发的向量；利用等边三角形“重心与内心重合”的性质，简化向量和为；通过三角形面积与内切圆半径的关系求得，进而计算向量和的模长. 【解答过程】设点为内切圆圆心，则， 则， 因为是等边三角形，故点也是的重心， 故，故， 由等面积得，则， 故. 故选：B. 3．（2026·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断. 【解答过程】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A. 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【解答过程】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B. 二、解答题 5．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【解答过程】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）证明：因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 6．（25-26高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)  答案见解析； (2)地在地的东南方向，距地 【解题思路】（1）根据向量的定义即可求解， （2）根据三角形的边角关系即可求解. 【解答过程】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示． （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 7．（25-26高一下·云南·期中）如图，在中，. (1)用表示； (2)若点满足，证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）应用向量的线性关系结合向量的减法计算求解； （2）根据已知得出进而证明三点共线. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以. 同理， 所以. （2）求证：由， 可得. 又， 所以，又因为有公共点， 所以三点共线. 8．（2026·湖南郴州·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得； （2）利用余弦定理计算可得，再由向量定比分点以及余弦定理计算可得的长. 【解答过程】（1）依题意可得， 得. 因为，所以， 则， 因为，所以，所以 （2）由题意得， 解得（负根已舍去）. 因为，所以， 所以由余弦定理可得. 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解. 【解答过程】因为，且 ，则， 所以， 所以当反向时，取最大值为4. 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【解题思路】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【解答过程】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 二、填空题 3．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则__________（用，表示），若，，则___________. 【答案】； 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【解答过程】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 平面向量的概念及线性运算（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 平面向量的基本概念】 1 【题型2 向量的几何表示】 2 【题型3 向量加、减法的几何意义】 2 【题型4 向量的线性运算】 3 【题型5 根据向量线性运算求参数】 4 【题型6 平面向量共线定理及其应用】 5 【题型7 已知向量共线（平行）求参数】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 平面向量的基本概念】 1．（25-26高一下·天津宝坻·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2．（25-26高一下·河南·阶段检测）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 3．（25-26高一下·贵州黔南·阶段检测）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 4．（25-26高一下·黑龙江绥化·阶段检测）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【题型2 向量的几何表示】 5．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 6．（25-26高一下·新疆巴州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 7．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 8．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量没有方向 D．向量的模是一个正实数 【题型3 向量加、减法的几何意义】 9．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高一下·贵州六盘水·阶段检测）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 向量的线性运算】 13．（2026·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·四川眉山·一模）在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据向量线性运算求参数】 17．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 18．（2026·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 19．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 20．（25-26高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【题型6 平面向量共线定理及其应用】 21．（25-26高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 22．（25-26高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 24．（25-26高一下·四川凉山·期中），则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【题型7 已知向量共线（平行）求参数】 25．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一下·浙江湖州·阶段检测）已知，为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（   ） A．2 B． C．-2 D． 27．（2026·福建福州·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 一、单选题 1．（25-26高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 2．（2026·重庆·一模）在平行四边形中，与相交于，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（    ） A．3 B．-3 C．-2 D．2 8．（25-26高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．8 B．16 C．18 D．25 二、填空题 9．（25-26高二上·河北·期中）四边形中，“”是“是梯形”的___________条件． 10．（2026·安徽·模拟预测）在中，已知，且，则___________． 11．（25-26高一下·广东河源·期中）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则__________. 12．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）中，为边的中点，为中线上的一点（不包含端点），且，则的最小值为___________. 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（2026·河北·模拟预测）在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（2026·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、解答题 5．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 6．（25-26高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 7．（25-26高一下·云南·期中）如图，在中，. (1)用表示； (2)若点满足，证明：三点共线. 8．（2026·湖南郴州·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的长. 一、单选题 1．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 二、填空题 3．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则__________（用，表示），若，，则___________. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $