第01讲 平面向量的概念及线性运算（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 平面向量的概念及线性运算 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 平面向量的概念与表示 2 题型02 向量的几何表示 3 题型03 相等向量及其应用 4 题型04 平面向量线性运算 6 题型05 根据向量的线性运算求参数 8 题型06 平面向量共线定理与点共线问题 10 题型07 平行向量（共线向量）求参数 10 重难·创新演练 12 真题·实战演练 18 模拟·基础演练 考查重点：侧重平面向量相关概念辨析、几何表示、线性运算以及向量共线定理的应用，结合几何图形考查向量运算与参数求解。 题型01 平面向量的概念与表示 1.关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 2．若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量与方向相反，所以，. 故选：A. 3．（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“”的充要条件是且 C．若与共线，与共线，则与共线 D．向量与不共线，则与都是非零向量 【答案】ABC 【分析】利用共线向量，向量的模，充分必要条件的定义进行判定． 【详解】对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故A错误； 对于B，充要条件是且方向相同，故B错误； 对于C，当时，与共线不一定成立，故C错误； 对于D，向量与不共线，则与都是非零向量，故D正确． 故选：ABC． 4．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．平行向量一定是共线向量 C．两个单位向量的和一定不是单位向量 D．若，是不共线向量，则向量，都是非零向量 【答案】BD 【分析】应用向量的定义判断A，应用平行向量的定义判断B，D，应用特殊向量的加法及单位向量判断C. 【详解】由向量的定义可知A错误； 由平行向量的定义可知平行向量一定是共线向量，B正确； 当两个单位向量的夹角为时，这两个单位向量的和还是单位向量，C错误； 因为零向量与任何向量平行，所以当，是不共线向量时，向量，都是非零向量，D正确. 故选：BD． 题型02 向量的几何表示 5..如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 6.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． （1）在如图所示的坐标系中画出，，，； （2）求B地相对于A地的位移． 【答案】（1）答案见解析 （2）B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 【分析】（1）根据题意，直接画出向量图； （2）先得到四边形ABCD为平行四边形，即可得B地相对于A地的位移. 【详解】（1）向量，，，，如图所示： （2）由题意知．所以，且，则四边形ABCD为平行四边形． 所以，则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 题型03 相等向量及其应用 7．设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案. 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 8．若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】根据平面向量加减法的运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】由得，，即四边形为平行四边形， 又，所以，整理得，即， 所以四边形为矩形， 故选：B． 9.如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中 （1）与相等的向量；（2）与平行的向量；（3）与模相等的向量；(4)的负向量． 【答案】（1） （2） （3），，，； (4) 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 题型04 平面向量线性运算 10．（25-26高三上·江苏·期中）在中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 又，所以. 11．（2026·河南安阳·阶段检测）已知平行四边形的对角线的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解. 【详解】在中，. 故选：C 12．在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是边上的中点，所以，即. 故选：A. 13.在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件确定点的位置然后利用向量的线性运算用表示即可. 【详解】因为，所以为线段的三等分点，如图所示， . 故选：A 14.在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】 ，其中， 故． 故选：B． 题型05 根据向量的线性运算求参数 15．如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【详解】在平行四边形中，，， 所以， 若，则，所以． 故选：A． 16．（25-26高三上·云南·阶段检测）在平行四边形中，，则______． 【答案】/0.25 【分析】根据平面向量线性运算及平面向量基本定理可得结果. 【详解】如图，因为在平行四边形中，，所以， 所以，所以， 所以，则，所以． 故答案为：. 17．（25-26高三上·四川雅安·阶段检测）在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数__________． 【答案】4 【分析】利用定比分点将化简，由平面向量共线定理计算可得结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 由与平行可得， 即，又不共线，所以，解得. 故答案为：4 18．（25-26高三上·天津红桥·阶段检测）如图，在中，是的中点，点N在边上，且，与相交于点，设，则_________；_________.（注：用和来表示） 【答案】 【分析】根据中线的向量表示求出，设，，再由平面向量基本定理列出方程即可求出得解. 【详解】因为是的中点，，所以， 设，则， 设，则，所以，解得，所以. 故答案为：； 题型06 平面向量共线定理与点共线问题 19．已知，，（和不共线），则三点共线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以共线， 即三点共线，故A正确； ，，，不共线，故B错误； ，，，不共线，故C错误； ，，， 不共线，故D错误； 故选：A 20．已知非零向量，不共线，若，，，且A，C，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数x，使得，即可求得参数. 【详解】因为A，C，D三点共线，故可得，则存在非零实数x，使得． 又，，故可得．又非零向量，不共线， 故可得，，解得，． 故答案为：. 题型07 平行向量（共线向量）求参数 21．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得求参数，再由向量同向共线求解. 【详解】因为向量，共线，所以，解得或， 当时，向量与方向相反，不满足，当时，向量与方向相同，满足， 故. 故选：B 22．已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，为不共线向量，且，为共线向量，所以，而，， 则，故，解得，故D正确. 故选：D. 23．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 【分析】（1）根据向量共线定理证明与共线，再由与有公共点，得三点共线； （2）由向量共线定理设存在实数，使得，根据向量相等，列 出相应方程组，求解可得实数的值. 【详解】（1）因为，是不共线的两个向量，且，， 所以， 因为，所以，所以与共线. 又与有公共点，所以三点共线. （2）若与共线，则存在实数，使得， 即，因为与不共线，所以， 整理得，，解得.所以. 重难·创新演练 设题创新: 融入生活实物、特殊多边形等新颖情境，设置新定义题型，结合不等式、动点、圆等知识综合设问。 1．以下命题中正确的是（    ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D. 【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A不符合题意； 对于B，当时，则不一定成立，故B不符合题意； 对于C，，两边平方可得，则与的夹角为0，则，故C正确； 对于D，若，则与不一定相等，例如，故D不符合题意. 故选：C． 2．设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断. 【详解】因为，所以，但向量的方向不确定， 所以推不出； 又根据，得到，所以可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 3．【新情境】纸风车体现了数学的对称美，如图是一个纸风车示意图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量相等定义，向量数量积以及平行四边形法则可得结果. 【详解】不妨设，则， 与方向不一致，所以，故A错误； 由题干图中所示，为钝角，所以，故B错误； 结合题干及图，由向量的平行四边形法则可知，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 4．已知半径为1的圆O的内接正十二边形的顶点依次为，，，…，，P为圆O内的任意动点（不包含边界），若，则（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】根据向量线性运算可得答案. 【详解】易知，由 得， 故． 故选：B. 5.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为（    ） A.2 B.4 C.3 D.1 【答案】B 【解析】方法一　设=a，=b，因为|a-b|=3，即|-|=||=3， 即||=3，所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上， 又a是单位向量，则||=1，故||的最大值为||+||=1+3=4，即|b|的最大值为4. 方法二　因为b=a-(a-b)，所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4，所以|b|的最大值为4. 6．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故， 从而， 当且仅当等号成立. 故选：A 7.（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 【答案】BD 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量，则根据向量的运算法则可得，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断选项D. 【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误； 若向量，则，所以，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误； 若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确. 故选：BD. 8. （多选）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列说法正确的是（    ） A.△PCD的面积为定值 B.∃λ∈R，使得||>|| C.∠CPD的取值范围是 D.||的取值范围是[1，] 【答案】AC 【解析】对于A，由=+λ，λ∈R可得-=λ，即=λ，可得∥，因此，点P在正六边形ABCDEF的对角线BE上， 所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确； 对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故||=||，故B错误； 对于C，根据图形的对称性，当点P为BE的中点时，∠CPD取得最大值；当点P与B或E重合时，∠CPD取得最小值，即∠CPD的取值范围是，故C正确； 对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d=，又当PC⊥BE时，||有最小值，故D错误. 故选：AC. 9【新角度】已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=　　　.  【答案】 【解析】由-3+2=0，得-=2(-)，即=2，所以=+=， 所以||=||，即=. 故答案为： 10．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 【答案】9 【分析】利用 平面向量三点共线的结论得到，利用基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】、、三点共线（该直线不过原点），且， ，， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为. 故答案为： 11.已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，半圆与△ABC在BC的异侧.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是　　　　　　　.  【答案】 【解析】如图，取AB的中点D，连接CD，则=λ+μ=2λ+μ， 显然，当P与C重合时，2λ+μ取得最小值1.将CD平行移动至与半圆相切处， 当P为切点时，2λ+μ取得最大值， 设半圆的圆心为O，连接PO并延长交CD于点G，易知OG=BD=.易知=2，AE=EF，则=， 所以由等和线定理知2λ+μ的最大值为.故2λ+μ的取值范围是. 故答案为： 12．【新考法】（25-26高三上·四川南充·期中）记直线与的边交于两点，且． （1）若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； （2）若直线恒过的重心，试求的最小值． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【分析】（1）第一小问结合已知条件运用向量的线性运算规律即可表示出，第二小问先将用表示，再根据三点共线得到； （2）利用为重心得到，再根据三点共线得到，运用基本不等式知识即可得到的最小值． 【详解】（1）（i）因为，所以， 则． （ii）因为，所以，由（i）知， 所以， 因为三点共线，所以，所以． （2）因直线恒过的重心，连接并延长交于点， 则为的中点，所以， 因为，所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3． 真题·实战演练 高频考点：向量概念判断、线性运算、基底表示、利用共线关系求参数，以及向量模长、系数范围类题型。 1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连结，则为的中位线， ， 故选：A 2.（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 3.（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】, 【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论； 第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围. 解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围. 解法三：不妨设，，， ，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可. 【详解】由题意，，，， 第一空： 当时，，∴，∴. 第二空：解法一：将代入得， 两边平方，得：，展开：， 代入，，记，， 令，，，则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ，即 ，解得， ，因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设，则. 解法三：因为，，不妨设，，，即点在直线上， 且，，因为， 若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 故答案为：, 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量的概念及线性运算 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 平面向量的概念与表示 2 题型02 向量的几何表示 2 题型03 相等向量及其应用 3 题型04 平面向量线性运算 3 题型05 根据向量的线性运算求参数 4 题型06 平面向量共线定理与点共线问题 4 题型07 平行向量（共线向量）求参数 5 重难·创新演练 5 真题·实战演练 7 模拟·基础演练 考查重点：侧重平面向量相关概念辨析、几何表示、线性运算以及向量共线定理的应用，结合几何图形考查向量运算与参数求解。 题型01 平面向量的概念与表示 1.关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 2．若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“”的充要条件是且 C．若与共线，与共线，则与共线 D．向量与不共线，则与都是非零向量 4．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．平行向量一定是共线向量 C．两个单位向量的和一定不是单位向量 D．若，是不共线向量，则向量，都是非零向量 题型02 向量的几何表示 5..如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 6.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． （1）在如图所示的坐标系中画出，，，； （2）求B地相对于A地的位移． 题型03 相等向量及其应用 7．设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 8．若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 9.如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中 （1）与相等的向量；（2）与平行的向量；（3）与模相等的向量；(4)的负向量． 题型04 平面向量线性运算 10．（25-26高三上·江苏·期中）在中，，设，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河南安阳·阶段检测）已知平行四边形的对角线的交点为，则（    ） A． B． C． D． 12．在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 13.在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 14.在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 题型05 根据向量的线性运算求参数 15．如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·云南·阶段检测）在平行四边形中，，则______． 17．（25-26高三上·四川雅安·阶段检测）在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数__________． 18．（25-26高三上·天津红桥·阶段检测）如图，在中，是的中点，点N在边上，且，与相交于点，设，则_________；_________.（注：用和来表示） 题型06 平面向量共线定理与点共线问题 19．已知，，（和不共线），则三点共线（    ） A． B． C． D． 20．已知非零向量，不共线，若，，，且A，C，D三点共线，则 ． 题型07 平行向量（共线向量）求参数 21．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 22．已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（    ） A．2 B．4 C． D． 23．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 重难·创新演练 设题创新: 融入生活实物、特殊多边形等新颖情境，设置新定义题型，结合不等式、动点、圆等知识综合设问。 1．以下命题中正确的是（    ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．【新情境】纸风车体现了数学的对称美，如图是一个纸风车示意图，则（    ） A． B． C． D． 4．已知半径为1的圆O的内接正十二边形的顶点依次为，，，…，，P为圆O内的任意动点（不包含边界），若，则（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 5.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为（    ） A.2 B.4 C.3 D.1 6．【新融合】（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（    ） A．2 B．4 C． D．8 7.（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 8. （多选）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列说法正确的是（    ） A.△PCD的面积为定值 B.∃λ∈R，使得||>|| C.∠CPD的取值范围是 D.||的取值范围是[1，] 9. 【新角度】已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=　　　.  10．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 11.已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，半圆与△ABC在BC的异侧.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是　　　　　　　.  12．【新考法】（25-26高三上·四川南充·期中）记直线与的边交于两点，且． （1）若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； （2）若直线恒过的重心，试求的最小值． 真题·实战演练 高频考点：向量概念判断、线性运算、基底表示、利用共线关系求参数，以及向量模长、系数范围类题型。 1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $