精品解析：2026年北京市朝阳区中考考前模拟模拟数学试卷

北京市朝阳区2025~2026学年度九年级第三次模拟 数 学 试 卷 考生须知 1． 本试卷共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2． 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3． 试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4． 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5． 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( ) A. B. C. D. 2. 中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( ) A. B. C. D. 5. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为( ) A. B. C. D. 4 6. 一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，除数字外四张卡片无其他区别．随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 8. 线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点．以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形，以线段为边作等边．设点的运动时间为t，扇形的弧的长为，等边的面积为S，则与，与满足的函数关系分别是（ ） A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，一次函数关系 D. 二次函数关系，正比例函数关系 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 10. 因式分解：=_______________. 11. 学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是_______． 12. 在平面直角坐标系xOy中，点在双曲线上，则______（填“＞”或“＜”）． 13. 如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且．若测得的长为，则的长为____________m． 14. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 15. 若，且a，b是两个连续整数，则_________． 16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量/升 2 3 4 盒子单价/元 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为_____元； （2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为_____．（写出一种即可） 三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩 b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次 竞 赛 人 数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次 竞 赛 人 数 2 12 16 平均分 84 87 93 和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98 d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点； （2）直接写出m，n的值； （3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由． 24. 如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 25. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 （1）水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求的值； （2）点在此抛物线上，若存在，使得，求的取值范围． 27. 如图，AD是的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上—点（不与点E重合），． （1）比较与的大小； （2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明. （3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明． 28. 对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图． （1）已知点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为______； （2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标； （3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳区2025~2026学年度九年级第三次模拟 数 学 试 卷 考生须知 1． 本试卷共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2． 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3． 试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4． 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5． 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答． 【详解】由侧面是3个矩形，上下为2个三角形，可得该几何体为三棱柱 故选：D． 【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 2. 中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式对数值进行表示即可． 【详解】解：5500=5.5×103， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题关键． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解； 【详解】解：，A准确； ，B错误； ，C错误； ，D错误； 故选A． 【点睛】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键． 4. 如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数轴得到实数a，b，c的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可. 【详解】∵−3＜a＜−2，∴2＜|a|＜3，故A选项错误； ∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，故B选项正确； ∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a＜﹣b，故Ｃ选项正确；a＋b＜0，故D选项错误． 故选C. 【点睛】本题主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算，学会观察数轴是解题的关键. 5. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为( ) A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆周角定理，得＝90°，由勾股定理得BC长度． 【详解】∵， ∴ ∵OB=OC=2 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟练使用以上知识点是解题的关键． 6. 一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，除数字外四张卡片无其他区别．随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出卡片上的数字之和等于5的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 所有等可能的情况有12种，其中卡片上的数字之和等于5的有4种， 则卡片上的数字之和等于5的概率P为：． 故选择：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 故选：C． 8. 线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点．以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形，以线段为边作等边．设点的运动时间为t，扇形的弧的长为，等边的面积为S，则与，与满足的函数关系分别是（ ） A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，一次函数关系 D. 二次函数关系，正比例函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：设点的运动时间为t，则，， 则， ， ∴与，与满足的函数关系分别是正比例函数关系，二次函数关系， 故选：B． 【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0，确定的取值范围，解不等式即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ． 10. 因式分解：=_______________. 【答案】a(a+b)(a-b). 【解析】 【详解】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式. 解析：原式= a(a+b)(a-b). 故答案为a(a+b)(a-b). 11. 学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h），分别为：4，5，5，6，10．这组数据的方差是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键．先求平均数，再进一步求解方差即可． 【详解】解：平均数为； 方差为． 故答案为： 12. 在平面直角坐标系xOy中，点在双曲线上，则______（填“＞”或“＜”）． 【答案】> 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k=3>0，y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k=3>0， ∴y随x的增大而减小， ∵<， ∴>． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键． 13. 如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且．若测得的长为，则的长为____________m． 【答案】20 【解析】 【分析】根据两边对应成比例，夹角相等证明，再由相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 14. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 15. 若，且a，b是两个连续整数，则_________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，题目不难，是基础题. 先估算的大小，再得出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7 16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量/升 2 3 4 盒子单价/元 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为_____元； （2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为_____．（写出一种即可） 【答案】 ①. ②. 4，4，2 【解析】 【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用； （2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程和不等式，然后求整数解即可． 【详解】（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3， 则购买费用为：（元）， 故答案为：； （2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个， 根据题意得：， ①当时，， ∵x，y，z都为正整数， ∴时，，（不符合题意舍去）， ②当时，， ∵x，y，z都为正整数， ∴时，， 综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为4，4，2． 故答案为：4，4，2． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，分别和两种情况列出方程求出整数解是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据整式的运算法则把化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出一个或几个式子的值，这时可以把这一个或几个式子看作一个整体，将待求式化为含有这一个或几个式子的形式，再代入求值．运用整体代换，往往能使问题得到简化． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵对于一元二次方程， 其根的判别式， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可证明； （2）把方程的根代入原方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入，得， 解得：． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出的值；（2）代入x=0得出关于m的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵EF=DA， ∴EF=BC，EF∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形， 又∵CE⊥AD， ∴∠CEF=90°， ∴平行四边形BCEF是矩形； （2）EF=． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证； （2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=3， ∵CF=4，DF=5， ∴CD2+CF2=DF2， ∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°， ∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD， ∴CE=， 由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形， ∴∠FBC=90°，BF=CE=， ∴BC=， ∴EF=． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 且 【解析】 【分析】（1）根据直线平移前后不变和待定系数法解题； （2）根据题意得到，分类讨论即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数（）的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴一次函数表达式为，代入点，有， 解得， ∴这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， 即， 化简得； 当时，不等式不成立，舍去； 当时，，不等式可化为，当时，不存在这样的，能使恒成立，舍去； 当时，，不等式可化为， 要使当时，该不等式恒成立，则有， 即， 解得， 又∵， ∴且． 23. 某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．这30名学生第一次竞赛成绩 b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次 竞 赛 人 数 10 10 10 平均分 82 87 95 第二次 竞 赛 人 数 2 12 16 平均分 84 87 93 和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98 d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 m 87.5 88 第二次竞赛 90 n 91 根据以上信息，回答下列问题： （1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点； （2）直接写出m，n的值； （3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示． （2）， （3） 可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高， 理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛． 答：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛． 【解析】 【分析】本题考查统计图分析，涉及中位数、加权平均数、众数， （1）根据这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是89，纵坐标是90的点即代表小松同学的点； （2）根据平均数和中位数的定义可得m和n的值； （3）根据平均数，众数和中位数进行决策即可． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 ， ∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为： 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98， ∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数， ∴， ∴，； 【小问3详解】 略 24. 如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：，， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先由、为直径推出垂直，再结合垂直平分得到，通过内错角角相等证明，得出垂直于直径，从而证明为圆的切线； （2）先根据垂直平分条件结合证明四边形是菱形得到，算出长度，在直角三角形中利用勾股定理求出半径，再在中利用勾股定理算出长，利用与相等，结合余弦定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 与互相垂直平分， 四边形是菱形， ， ，， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 25. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 （1）水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （3）假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【答案】（1）；或 （2）两个水池面积差的最大值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求的值； （2）点在此抛物线上，若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线得到，再将点，代入抛物线即可求的值； （2）由，，得，解得，再根据二次函数的性质以及对称轴进行分类讨论，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，函数表达式为， 当时，， 当时，， ∴，； 【小问2详解】 （2）由，，得 解得 根据题意，抛物线的对称轴为， ∵， ∴， 当时， 当时，；当时，， ∵，y随的增大而减小， ∴， ∵， ∴且， ∴， 当时，总有，不符合题意， 综上，的取值范围是． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解，注意分类讨论． 27. 如图，AD是的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上—点（不与点E重合），． （1）比较与的大小； （2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明. （3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2），理由见详解；（3）DH⊥AC． 【解析】 【分析】（1）过点A作AG⊥CE，然后利用HL证明Rt△ABD≌Rt△AFG，即可得到结论成立； （2）连接AE，则AE=AF，则AG垂直平分EF，则，即可得到答案； （3）连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，由等腰三角形的性质知∠BAM+∠ABM=90°，再利用四边形内角和定理说明∠ACB+∠BAM=90°，则∠ACD=∠ABM，由∠AMB=∠ADB=90°，由四点A、B、D、M共圆解决问题． 【详解】解：（1）； 理由如下：过点A作AG⊥CE，如图： 根据题意，点B关于直线AC的对称点为E， ∴AC平分∠BCE， ∵AD⊥BC，AG⊥CE， ∴AD=AG， ∵AF=AB， ∴Rt△ABD≌Rt△AFG（HL）， ∴； （2）； 理由如下：连接AE，如图： ∵Rt△ABD≌Rt△AFG， ∴， ∵点B关于直线AC的对称点为E， ∴AB=AE， ∴AE=AF， ∴AG垂直平分EF， ∴， ∴， ∴； （3）DM⊥AC，理由如下： 连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H， ∵AB=AF，点M为BF的中点， ∴AM⊥BF， ∴∠BAM+∠ABM=90°， ∵点B关于直线AC的对称点为E， ∴∠ACB=∠ACF， ∵∠ABC=∠AFE， ∴∠ABC+∠AFC=180°， ∴∠BAF+∠BCF=180°， ∴∠ACB+∠BAM=90°， ∴∠ACD=∠ABM， ∵∠AMB=∠ADB=90°， ∴四点A、B、D、M共圆， ∴∠ABM=∠ADM， ∴∠ADM+∠HDC=90°， ∴∠ACD+∠HDC=90°， ∴DH⊥AC． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 28. 对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图． （1）已知点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为______； （2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标； （3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）25π；（2）点B的坐标为或；（3）m≤－5或m≥11 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理，可得AB的长，根据圆的面积公式，可得答案； (2)根据确定圆,可得l与⊙A相切,根据圆的面积,可得AB的长为3,根据等腰直角三角形的性质,可得，可得答案； (3)根据圆心与直线垂直时圆心到直线的距离最短,根据确定圆的面积,可得PB的长,再根据30°的直角边等于斜边的一半，可得CA的长. 【详解】（1）(1)∵A的坐标为(−1,0)，B的坐标为(3,3)， ∴AB==5， 根据题意得点A，B的“确定圆”半径为5， ∴S圆=π×52=25π． 故答案为25π； （2）∵直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积 为9π， ∴⊙A的半径AB＝3且直线y＝x＋b与⊙A相切于点B，如图， ∴AB⊥CD，∠DCA＝45°． ， ①当b＞0时，则点B在第二象限． 过点B作BE⊥x轴于点E， ∵在Rt△BEA中，∠BAE＝45°，AB＝3， ∴． ∴． ②当b＜0时，则点B'在第四象限． 同理可得． 综上所述，点B的坐标为或． （3）如图2， ， 直线当y＝0时，x＝3，即C（3，0）． ∵tan∠BCP＝， ∴∠BCP＝30°， ∴PC＝2PB． P到直线的距离最小是PB＝4， ∴PC＝8． 3－8＝－5，P1（－5，0）， 3＋8＝11，P（11，0）， 当m≤－5或m≥11时，PD的距离大于或等于4，点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π． 点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，m的范围是m≤－5或m≥11． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，解（1）的关键是利用勾股定理得出AB的长；解（2）的关键是等腰直角三角形的性质得出；解（3）的关键是利用30°的直角边等于斜边的一半得出PC=2PB. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $