精品解析：2026年北京陈经纶中学分校初三中考前模拟数学试题

陈经纶中学分校初中数学学业水平测试模拟 2026.06.18 一、选择题（每小题3分，共24分），每小题符合题意的选项只有一个． 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 3. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 如图， 是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据 是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆．据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费为1800亿元（1亿），2026年同比增长．将2026年旅游消费用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：（亿元）， 亿． 6. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率． 【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元． 随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1. 10元和20元，和为30元； 2. 10元和30元，和为40元； 3. 20元和30元，和为50元． 其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）． 因此，所求概率为：． 故选：C． 7. 如图，在 中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边 于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接 ，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线 一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得 的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得 为等腰直角三角形； ④若直线 与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ② D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，进而求出点 B 坐标和直线 解析式； 对于①，考虑直线 与双曲线相切或垂直于 x 轴的特殊情况； 对于②，计算  的面积，设点 C 坐标表示   的面积，列方程求解； 对于③，分为直角三种情况讨论，结合等腰三角形性质验证点 C 是否在 x 轴正半轴； 对于④，假设，利用中点公式求出点 D 和 C 的坐标，再验证 是否等于 ． 【详解】解： ∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为， ∵点在双曲线上，  ∴， 即， 把和代入得： ， 解得：，  ∴直线解析式为； 对于①：当直线 与双曲线相切于点 A 时，联立方程组只有一组解， 设直线 为，把代入得： ， 即， ∴直线 为， 令 ， 整理得：， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 此时直线 为， 令得 ， 解得：，点 在 x 轴正半轴，符合题意，故结论①错误； 对于②：设直线 交 x 轴于点E， 把代入得：， 解得：， ∴点 ， ， 设，则， , 令， 解得， ∵， ∴ 存在点 满足条件， 故结论②正确； 对于③：∵，， ∴， 设点C的坐标为， ， ， 当时，， ∴， 解得：， 此时， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意；故结论③错误； 对于④：若 ，则 D 为线段中点， 设，则， ∵点 D 在双曲线上，  ∴， 解得 ， 此时 ，， ∴，， ∴， ∴不可能使得 成立，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是②④． 二、填空题（共16分，每空2分，共20分） 9. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 10. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为：． 11. 方程的解是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母得到整式方程，然后解整式方程，再对计算结果进行检验即可求解． 【详解】解：去分母，得 解得 检验：当时， ∴是原分式方程的解． 12. 解方程组：的解为_____________． 【答案】   【解析】 【详解】解： 得：， 解得， 再将代入方程②得到， 解得， 故原方程组的解为： ． 13. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为，乙楼的高是______．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】由题知四边形是矩形，然后解三角形即可求解． 【详解】解：如图， 由题可知，四边形是矩形，，，， 在直角三角形中，， ∴， ∴， 则乙楼的高是． 14. 如图，正方形 的边长为 4，点 E 为 的中点，点 F 在   上，，则 的面积为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质， 根据正方形性质及勾股定理求出，证明和相似得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∵点E是 的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴的面积为：． 故答案为：5． 15. 如图1，在 中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点 沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1）______；（2）______． 【答案】 ①. 8 ②. 12 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点 与点 重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点 作，根据面积公式求出 的长，证明，列出比例式求出 的长，进而求出 的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点 与点 重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点 作于点 ，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 为 的中点， ∴； 故答案为：12． 16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e的卡片写有数字_______． 【答案】 ①. B ②. 4 【解析】 【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案． 【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片， 白卡片数字1摆在了标注字母B的位置， 黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，； 第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾， 第一行中C为白2； 第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾， 第二行中c为白3， 第二行中a为黑2，b为黑3； 第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾， 第二行中e为白4． 故答案为：①B，②4． 【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置． 三、解答题（17－22每题6分，23－24每题7分，共56分．） 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，利用完全平方公式因式分解后约分，即可得到化简结果． 【详解】解：原式 ． 18. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象过点和． （1）求函数（）的解析式； （2）已知函数（），若时，对于x的每一个值，都存在整数n，使得成立，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用函数图象过点直接求出，再将点代入含的解析式，通过解方程求出，即可求得函数的解析式； （2）分和两种情况讨论，分别画出图象求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， 把代入得：， 解得， ∴函数； 【小问2详解】 解：∵ ∴当时，， ∴ 当时，如图， 和的交点在第三象限， ∴当时，存在，故不符合题意； 当时，如图，取点 将代入得， 解得 ∵当时，对于x的每一个值，都存在整数n，使得成立， ∴的图象要在点B上方或经过点B， ∴由图象可得，； 如图，当和平行时， ∴ ∵当时，对于x的每一个值，都存在整数n，使得成立 ∴当时，的图象要在的图象的上方 ∴由图象可得，； 综上所述，． 19. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格． 【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 20. 如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 为⊙ 的直径，与 相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵以 为半径的⊙ 与 相切于点 ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 21. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． （1）写出表中的值； （2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 【答案】（1） （2） ①补全水温与时间的函数图象如图所示： ② （3）不能 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可； ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．在这个过程中每分钟，水温升高，从而求出每增加分钟水上升的温度，据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）由表1可知，的水从加热到需要分，此时离出门还剩（分）；根据表2，计算水温从降到需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【小问1详解】 解：在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， （）， ∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①略 ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每1分钟水温升高（）， 由此得， 解得， （分）， 根据表2的数据可知，经过分后水温降到了， ∴当时，． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由表1可知，的水从加热到需要分，（分）， 由表2可知，水温从降到需要（分）， ∵，且电源已关闭， ∴出门前，他不能喝到低于的水． 故答案为：不能． 22. 已知二次函数（）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）将函数表达式化为顶点式，即可求解； （2）①由函数的图象与x轴有公共点，可得，即可求解； ②由函数的图象与x轴有两个公共点，可得 或 ，再分别计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 令， 当 时，， 解得，， ∴的解集是或， ∵ ， ∴a的取值范围为或． ②∵函数的图象与x轴有两个公共点， ∴， 则由①可知，或， 当 时，图象开口向上，对称轴为 ， ∵函数的图象与x轴有两个公共点，，，对称轴 在之间， ∴当 时，， 解得， 当时，， 解得， ∴； 当时，图象开口向下， 同理可得， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 23. 如图，在 中，，，（）， 是 的中点， 是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点 作交射线于点． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①如图， 即为所求； ； ②证明：连接 ， ∵，， 是 的中点， ∴，， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明如下：延长至点H，使得，连接，如图所示： ∵ 是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②根据题意得出，，，再由直角三角形两锐角互余即可证明； （2）延长至点H，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k．已知圆O的半径为2， （1）若点M的坐标为，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为___________，点M关于圆O的特征值为___________； （2）直线分别与x，y轴交于点A，B，若线段 上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围； （3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r，点S关于圆O的特征值记为s．当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 【答案】（1），3 （2）b的取值范围是或； （3） 【解析】 【分析】（1）设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时 最小，求出，再由，得到当点H与点M重合时，有最大值，即可求出 的最小值为，则被圆O截得的弦长取值范围为，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3； （2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解； （3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于圆O的特征值不可能为0，由此可得，则或；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意，由此求解即可． 【小问1详解】 解：设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时 最小， ∵点M的坐标为， ∴， 又∵， ∴当点H与点M重合时，有最大值， ∴此时有最小值， ∴ 的最小值为 ∵过点M的直线被圆O截得的弦长的最大值为4（直径）， ∴被圆O截得的弦长取值范围为， ∴被圆O截得的弦长为正整数的只有是3或4， ∵被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条， ∴点M关于圆O的特征值为3， 故答案为：，3； 【小问2详解】 解：设点G是圆O的特征值为4的点， 由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条， ∵特征值要保证为4， ∴经过点G且弦长为2的直线有且只有1条， ∴经过点G的直线被圆O截得的弦长的最小值为2， ∵， ∴由（1）可知，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上， ∵直线分别与x，y轴交于点A，B， ∴，， ∴， ∴ 当时， ∵线段 上总存在关于圆O的特征值为4的点， ∴线段 与以O为圆心，为半径的圆有交点， 当线段 与以O为圆心，为半径的圆相切时，将切点设为H，连接OH，则， ∴， ∴， 将以O为圆心，为半径的圆与y轴正半轴的交点记为，则， 当线段 与以O为圆心，为半径的圆相交，且过点时，可得， ∴； 同理可求当时，； 综上，b的取值范围是或； 【小问3详解】 ：∵同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4， ∴点Q关于圆O的特征值不可能为0， ∴， ∵，且r、s都是整数， ∴或； 当时， ∴经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条， ∴由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上， 同理当时，点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上， ∴当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意； 如图3-1所示， 当以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆外切时，此时； 如图3-2所示，当以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆外切时，此时； 综上所述，当时，存在点R，S，使得． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆与圆的位置关系，切线的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何等等，正确理解题意找到对应点的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陈经纶中学分校初中数学学业水平测试模拟 2026.06.18 一、选择题（每小题3分，共24分），每小题符合题意的选项只有一个． 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆．据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费为1800亿元（1亿），2026年同比增长．将2026年旅游消费用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 6. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得 的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得 为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ② D. ①③④ 二、填空题（共16分，每空2分，共20分） 9. 分解因式：_____________． 10. 不等式组的解集是______． 11. 方程的解是_____________． 12. 解方程组：的解为_____________． 13. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为，乙楼的高是______．（参考数据：） 14. 如图，正方形 的边长为 4，点 E 为 的中点，点 F 在  上，，则 的面积为_________． 15. 如图1，在 中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点 沿折线向点 运动，点沿边CA向点 运动．当点运动到点 时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1）______；（2）______． 16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e的卡片写有数字_______． 三、解答题（17－22每题6分，23－24每题7分，共56分．） 17. 化简：． 18. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象过点和． （1）求函数（）的解析式； （2）已知函数（），若时，对于x的每一个值，都存在整数n，使得成立，直接写出m的取值范围． 19. 下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格． 20. 如图，点 在 的边上，以 为半径的⊙ 与相切于点 ，与相交于点 ， 为⊙ 的直径，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． （1）写出表中的值； （2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； （3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 22. 已知二次函数（）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 23. 如图，在 中，，，（）， 是的中点， 是的中点，连接．将射线绕点 逆时针旋转得到射线，过点 作交射线于点． （1）①依题意补全图形； ②求证：； （2）连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 24. 在平面直角坐标系中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k．已知圆O的半径为2， （1）若点M的坐标为，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为___________，点M关于圆O的特征值为___________； （2）直线分别与x，y轴交于点A，B，若线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围； （3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r，点S关于圆O的特征值记为s．当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $