函数单调性 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的单调性核心知识点，系统梳理增函数减函数的概念及定义域、任意性等关键诠释，衔接判断方法（定义法、图象法、直接法）、等价形式、运算性质及复合函数单调性，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过定义诠释培养抽象能力（数学眼光），定义法证明步骤与例题训练推理能力（数学思维），复合函数“同增异减”表格化呈现助于数学语言表达。课中例题辅助教师教学，课后练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

函数的单调性 知识点一 增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势 下降趋势 知识点二 函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 知识点三 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 知识点四 单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点五 复合函数单调性 复合函数的单调性 ：“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤，  第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。  第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。 第三步：分别确定这两个函数的单调性。 第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性  “同增异减”的意思如下图： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 题型一 单调性的概念与判断 例1.已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增，且， 由增函数的定义可知，当时，有， 充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾， 若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立. 即对实数，“”是“”的充要条件. 例2.下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数的图像可知，其单调递增区间是，，所以A对． 因为抛物线的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以该抛物线在上不单调，所以B错； 因为直线的斜率为-1，所以在上为减函数，所以C错； 根据函数的图像可知其在上为减函数，所以D错；故选：A． 例3.已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数 【答案】A 【分析】在上是减函数，故选项正确；举例说明选项错误，即得解. 【详解】选项，函数在上是增函数，在上是减函数，故选项正确； 选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数， 如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项． 选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数， 如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项． 选项，函数在上是增函数，但为实数）在上不一定是增函数， 例如在上是增函数，但在上不是增函数，故排除选项. 故选：A 例4．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 题型二 定义法证明函数的单调性 步骤 作法 取值 作差 用 变形 合并同类项、通分（分式）、分解因式（整式）、分子分母有理化（根式）、配方等 定号 判断的符号 结论 同号为増，异号为减 例5.求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数. 【答案】证明见详解. 【解析】证明：在区间上任取， 则 因为，故可得；又因为，故可得. 故，即.故在区间上单调递增. 例6.已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【解析】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 例7.已知函数，且. （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性并用定义证明. 【答案】（1）1；（2）在区间上单调递减，证明见解析. 【解析】（1）由，得，所以. （2）由（1）知，其定义域为， 在区间上单调递减. 证明如下： 任取，且， . 因为，，且， 所以，，， 则，所以， 故在区间上单调递减. 题型三 求函数的单调区间 例8.函数的单调增区间为(    ) A． B． C．和 D． 【答案】C 【解析】由可得且， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和 所以的单调增区间为和，故选C 例9.作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间： （1）； （2）； （3）； 【答案】见解析 【解析】（1），图象如图所示： 函数在和为减函数； （2），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数； （3），图象如图所示： 函数在和为减函数，在和为增函数； 例10.已知函数，则的单调递增区间为______. 【答案】 【解析】，解得. 函数的对称轴为，开口向下， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为. 例11.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【解析】的定义域为， 由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，故选：D 例12.已知函数，，试求的单调区间. 【答案】单调递增区间为，，单调递减区间为， 【解析】解：设，，两函数的图象如图 ①当时，，在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增； ②当时，，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减； ③当时，，在上单调递减，在上单调递减， 故在上单调递增； ④当时，，在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减. 综上，的单调递增区间为，，单调递减区间为，. 例13.已知，若，则（    ） A．在区间内递减 B．在区间内递减 C．在区间内递增 D．在区间内递增 【答案】A 【分析】通过令，则，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异减”，求出的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果. 【详解】令，则，因为，故， 易知，在上单调递减， 在上单调递增， 又易知，在上单调递增，在上单调递减， 由，得到或，由，得到， 因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减 题型四 利用单调性解不等式 基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 （1）若为增函数，则 （2）若为减函数，则 【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制 例14.函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误 例15.若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是. 例16.已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知有，即可求取值范围. 【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得. 例17.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2） 【答案】A 【详解】因为在定义域上是减函数， 所以由， 故选：A 例18.已知是定义在上的单调递增函数，且，则满足的的取值范围是_______. 【答案】x＜ 【解析】因为，所以和化为， 又因为f(x)是定义在上的单调递增函数， 所以，解得. 故答案为：. 例19.已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 题型五 已知单调性求参数取值范围 已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型及对应方法： （1）直接法 （2）数形结合 （3）结合单调性定义的等价形式 （4）分段函数单调性问题注意比较端点位置 （5）注意定义域的限制 例20.函数满足条件：对任意的，都有，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【解析】因为对任意的，都有，所以在上单调递增， 当时，在定义域上单调递增，满足条件； 当时，则，解得，综上可得； 故选：A 例21．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【解答过程】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 例22.函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 例23.（多选）已知函数是上的增函数，则实数的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为， 因为函数是上的增函数， 所以，解得. 所以实数的取值可以是，. 故选：BD. 例24.若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3解得故答案为： 例25.若是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上是单调递减的， 又是R上的单调函数， 所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0， 并且，解得， 综上所述，a的取值范围为.故选：D 课后练习 1. 定义在上的偶函数满足：对任意的有则(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意的有所以函数在区间上单调递减， 所以，又因为函数是偶函数，所以.故选A 2.已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2， f(x)= 则f(x1)-f(x2)==， 因为x1>x2>-2， 所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0， 所以>0，所以f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增. 3.判断函数y＝x，x∈（0，+∞）的单调性并说明理由． 【解析】解：根据题意，函数y＝x在（0，+∞）上递增， 证明：设f（x）＝x，设0＜x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝（x1）﹣（x2）＝（x1﹣x2）（1）， 又由0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0， 故函数y＝x在（0，+∞）上递增． 4.函数的单调增区间为______. 【答案】（-1，0）和（1，+ ∞） 【解析】可画出函数图象如下所示： 由函数图象可知，函数在和上单调递增. 故答案为：和 5.函数的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，画出函数图象，如图所示： 根据图象知：函数的单调减区间为. 故选：B. 6.函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】， 由2x+3≠0，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 7.已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 8.设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是_______. 【答案】. 【详解】由题意，函数是定义在区间上的严格增函数， 因为，可得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 9.若是定义在上的减函数，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的减函数， 所以，即，解得， 故选：A 10.（1）已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 （2）已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】（1）C（2）B 【解析】（1）在单调递减，.故选：C. （2）当时，函数在上单调递减， 所以函数（）在处取得最大值，最大值为， 解得．故选：B. 11.已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为在上单调递减，则在上单调递减， 且，可得， 又因为在定义域内单调递增，且函数在上单调递减， 可得在上单调递减，则，可得， 综上所述：a的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的单调性 知识点一 增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势 下降趋势 知识点二 函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 知识点三 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 知识点四 单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点五 复合函数单调性 复合函数的单调性 ：“同增异减” 判断复合函数的单调性的步骤，  第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。  第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。 第三步：分别确定这两个函数的单调性。 第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性  “同增异减”的意思如下图： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 题型一 单调性的概念与判断 例1.已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2.下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 例3.已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数 例4．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 定义法证明函数的单调性 步骤 作法 取值 作差 用 变形 合并同类项、通分（分式）、分解因式（整式）、分子分母有理化（根式）、配方等 定号 判断的符号 结论 同号为増，异号为减 例5.求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数. 例6.已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 例7.已知函数，且. （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性并用定义证明. 题型三 求函数的单调区间 例8.函数的单调增区间为(    ) A． B． C．和 D． 例9.作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间： （1）； （2）； （3）； 例10.已知函数，则的单调递增区间为______. 例11.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 例12.已知函数，，试求的单调区间. 例13.已知，若，则（    ） A．在区间内递减 B．在区间内递减 C．在区间内递增 D．在区间内递增 题型四 利用单调性解不等式 基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制 （1）若为增函数，则 （2）若为减函数，则 【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制 例14.函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 例15.若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 例16.已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例17.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2） 例18.已知是定义在上的单调递增函数，且，则满足的的取值范围是_______. 例19.已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 题型五 已知单调性求参数取值范围 已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型及对应方法： （1）直接法 （2）数形结合 （3）结合单调性定义的等价形式 （4）分段函数单调性问题注意比较端点位置 （5）注意定义域的限制 例20.函数满足条件：对任意的，都有，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．且 D． 例21．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例22.函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 例23.（多选）已知函数是上的增函数，则实数的取值可以是（ ） A． B． C． D． 例24.若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________. 例25.若是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 课后练习 1. 定义在上的偶函数满足：对任意的有则(       ) A． B． C． D． 2.已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 3.判断函数y＝x，x∈（0，+∞）的单调性并说明理由． 4.函数的单调增区间为______. 5.函数的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 6.函数的单调递增区间为 . 7.已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 8.设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是_______. 9.若是定义在上的减函数，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10.（1）已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 （2）已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11.已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $