3.2 函数的单调性与最大（小）值初升高衔接讲义2026-2027学年高一上学期

3.2 函数的单调性与最大（小）值 一、学习目标 1. 理解增函数、减函数的课本定义； 2. 会看图判断单调区间，会用定义简单证明单调性； 3. 掌握最值定义，会利用单调性求简单函数最值。 二、知识点精讲 1. 单调性定义 ①.函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． ②函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增． 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减． ③增函数、减函数的定义 1）增函数：任意x1,x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，图像上升； 2）减函数：任意x1,x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，图像下降。 2. 单调区间书写规范 多个单调区间不能用并集符号∪，只能用“和”“逗号”隔开。 3.定义法证明函数单调性完整步骤 ①取值：设定义域内任意两个自变量 x1，x2，且令 x1<x2； ②作差：计算f(x1)-f(x2)； ③变形：通过因式分解、通分、配方等手段整理差值； ④判号：结合 x1<x2 与定义域条件，判断f(x1)-f(x2)的正负； ⑤下结论： 若 f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数在此区间单调递增； 若 f(x1)-f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数在此区间单调递减。 例：求证：f(x)=2x+1在 R上单调递增。 证明： 取值：x1，x2，且令 x1<x2； 作差： f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2=2(x1-x2) 判号： 因为x1<x2 ，所有x1-x2<0，则 2(x1-x2)<0，即 f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2) 结论： f(x)=2x+1 在全体实数 R上单调递增。 4.最值定义 定义： 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①∀x∈I，都有f(x)≤M； ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①∀x∈I，都有f(x)≥M； ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． 通俗来讲，最大值：定义域内所有函数值中最大的数； 最小值：定义域内所有函数值中最小的数。 单调函数在区间端点取最值。 5.复合函数单调性 ①复合函数定义 形如 y=f(g(x))，内层函数 u=g(x)，外层函数 y=f(u)。 ② 核心法则：同增异减 在公共定义域内：内层、外层单调性相同 → 复合函数单调递增； 内层、外层单调性相反 → 复合函数单调递减。 ③ 解题步骤 拆分函数：拆成外层 y=f(u)、内层 u=g(x)； 求复合函数定义域； 分别判断内外层各自单调区间； 按“同增异减”合并，写出复合函数单调区间。 ④ 注意要点 单调区间必须写原自变量x的范围，不能写中间变量u； 单调区间只能用区间表示，不能用不等式； 求单调区间优先保证函数有意义，定义域优先。 三、例题解析 例1.下列四个函数中，在上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  例2.下列说法正确的是 A. 所有的函数在其定义域上都具有单调性 B. 若函数在区间上单调递减，则函数的单调递减区间是 C. 若函数为上的减函数，则 D. 若函数在定义域上有，则函数是增函数 【答案】C  例3.函数，的值域为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  本题主要考查了二次函数的最值计算，属于基础题． 利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域． 解：二次函数，的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为． 故选：． 例4.已知函数，且． 求的值； 判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断． 解： 因为， 所以， 所以； 在上单调递减，证明如下： 设， 则 ， 又，， 所以 所以， 所以在区间上单调递减．  【解析】本题主要考查了求解函数解析式，还考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于基础题． 由直接代入即可求解； 先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断． 例5.已知函数． 试判断函数在上的单调性 求函数在区间上的最大值和最小值． 解： 函数在上是增函数证明如下： ， 任取，，且， 则， ， ，， ，即， 在上是增函数． 在上是增函数， 在上单调递增， 则在上的最大值是，最小值是． 例6.函数的单调递减区间是          ． 解： 由，得或，所以函数的定义域为，函数的单调递减区间是，所以函数的单调递减区间是． 4、 课堂练习 1.下列说法正确的是 A. 所有的函数在其定义域上都具有单调性 B. 若函数在区间上单调递减，则函数的单调递减区间是 C. 若函数为上的减函数，则 D. 若函数在定义域上有，则函数是增函数 【答案】C  2.已知函数的图象如图所示，则(    ) A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上单调递增 【答案】A  3.函数的单调递增区间是          ． 解： 令，解得或，所以函数的定义域为， 而函数的对称轴是， 故函数的单调递增区间是． 故答案为． 4.已知函数． 判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； 求在区间上的最大值与最小值． 解： 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，，且， 所以，且， 即， 所以 故在区间上单调递增． 由知在上递增， 则，．  五、易错点总结 1. 区间乱用并集； 2. 证明单调性不写“任取x1<x2”，步骤不完整； 3. 端点能否取到决定是否有最值。 4.复合函数单调区间忽略定义域 六、课后作业 一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，在区间上为增函数的是    ． A. B. C. D. 2.函数在  (    ) A. 上是增函数 B. 上是减函数 C. 和上是增函数 D. 和上是减函数 3.函数的单调递减区间是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 4.如图是函数，的图象，则下列说法正确的是(    ) A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在区间上的最大值为，最小值为 D. 在上有最大值，有最小值 5.下列函数中最小值为的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 6.已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知函数． 求的定义域； 证明：在上单调递减． 8.已知，，若的最小值为，写出的表达式． 1.【答案】  【解析】在上，对于选项D，当，， 当，，越小，越小， 符合增函数，故选D． 2.【答案】  【解析】函数的定义域为．，根据函数的单调性及有关性质，可知在和上是增函数．故选C． 3.【答案】  【解析】由可得，解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为 4.【答案】  【解析】 本题考查函数图象以及基本性质，属于基础题． 根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果． 解：根据图象可得，对于，选项，由函数图象可得， 在和上单调递减，故A错误； 在上单调递增，B正确； 对于选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误； 对于选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：对于，，故A正确； 对于，因为在上单调递增， 所以，故B错误； 对于，当时，， 当且仅当取到等号，故C正确； 对于，， 当且仅当取到等号，故D正确． 故选：． 6.【答案】  【解析】 本题主要考查应用单调性解题，一定要注意变量的取值范围，属于基础题． 根据已知条件可列出，即可求得的取值范围． 解：在定义域上是减函数，且， ，解得， 故答案为 7.【答案】解：由题知，，解得，，即的定义域为 证明：，，且， 则， ，，，，， ， ， 在上单调递减．  8.【答案】解： 函数，， 函数开口向上，对称轴为， 当，即时， 函数在上单调递减， 所以 ， 即； 当，即时， 函数在上先减后增， 所以； 当时， 函数在上单调递增， 所以． 综上可得，．  【解析】本题主要考查二次函数的轴定区间动的最值问题，属于基础题． 讨论二次函数的对称轴和区间的位置关系即可得最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 函数的单调性与最大（小）值 一、学习目标 1. 理解增函数、减函数的课本定义； 2. 会看图判断单调区间，会用定义简单证明单调性； 3. 掌握最值定义，会利用单调性求简单函数最值。 二、知识点精讲 1. 单调性定义 ①.函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． ②函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增． 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减． ③增函数、减函数的定义 1）增函数：任意x1,x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，图像上升； 2）减函数：任意x1,x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，图像下降。 2. 单调区间书写规范 多个单调区间不能用并集符号∪，只能用“和”“逗号”隔开。 3.定义法证明函数单调性完整步骤 ①取值：设定义域内任意两个自变量 x1，x2，且令 x1<x2； ②作差：计算f(x1)-f(x2)； ③变形：通过因式分解、通分、配方等手段整理差值； ④判号：结合 x1<x2 与定义域条件，判断f(x1)-f(x2)的正负； ⑤下结论： 若 f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数在此区间单调递增； 若 f(x1)-f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数在此区间单调递减。 例：求证：f(x)=2x+1在 R上单调递增。 证明： 取值：x1，x2，且令 x1<x2； 作差： f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2=2(x1-x2) 判号： 因为x1<x2 ，所有x1-x2<0，则 2(x1-x2)<0，即 f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2) 结论： f(x)=2x+1 在全体实数 R上单调递增。 4.最值定义 定义： 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①∀x∈I，都有f(x)≤M； ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①∀x∈I，都有f(x)≥M； ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． 通俗来讲，最大值：定义域内所有函数值中最大的数； 最小值：定义域内所有函数值中最小的数。 单调函数在区间端点取最值。 5.复合函数单调性 ①复合函数定义 形如 y=f(g(x))，内层函数 u=g(x)，外层函数 y=f(u)。 ② 核心法则：同增异减 在公共定义域内：内层、外层单调性相同 → 复合函数单调递增； 内层、外层单调性相反 → 复合函数单调递减。 ③ 解题步骤 拆分函数：拆成外层 y=f(u)、内层 u=g(x)； 求复合函数定义域； 分别判断内外层各自单调区间； 按“同增异减”合并，写出复合函数单调区间。 ④ 注意要点 单调区间必须写原自变量x的范围，不能写中间变量u； 单调区间只能用区间表示，不能用不等式； 求单调区间优先保证函数有意义，定义域优先。 三、例题解析 例1.下列四个函数中，在上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 例2.下列说法正确的是 A. 所有的函数在其定义域上都具有单调性 B. 若函数在区间上单调递减，则函数的单调递减区间是 C. 若函数为上的减函数，则 D. 若函数在定义域上有，则函数是增函数 例3.函数，的值域为(    ) A. B. C. D. 例4.已知函数，且． 求的值； 判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断． 例5.已知函数． 试判断函数在上的单调性 求函数在区间上的最大值和最小值． 例6.函数的单调递减区间是          ． 4、 课堂练习 1.下列说法正确的是 A. 所有的函数在其定义域上都具有单调性 B. 若函数在区间上单调递减，则函数的单调递减区间是 C. 若函数为上的减函数，则 D. 若函数在定义域上有，则函数是增函数 2.已知函数的图象如图所示，则(    ) A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上单调递增 3.函数的单调递增区间是          ． 4.已知函数． 判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； 求在区间上的最大值与最小值． 五、易错点总结 1. 区间乱用并集； 2. 证明单调性不写“任取x1<x2”，步骤不完整； 3. 端点能否取到决定是否有最值。 4.复合函数单调区间忽略定义域 六、课后作业 一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，在区间上为增函数的是    ． A. B. C. D. 2.函数在  (    ) A. 上是增函数 B. 上是减函数 C. 和上是增函数 D. 和上是减函数 3.函数的单调递减区间是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 4.如图是函数，的图象，则下列说法正确的是(    ) A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在区间上的最大值为，最小值为 D. 在上有最大值，有最小值 5.下列函数中最小值为的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 6.已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知函数． 求的定义域； 证明：在上单调递减． 8.已知，，若的最小值为，写出的表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $