2026～2027学年人教版九年级上学期数学开学测评卷

**基本信息** 聚焦八年级核心知识，通过一次函数应用、几何图形变换与统计分析，融合抽象能力、推理意识与数据观念，实现开学初知识掌握与能力素养的精准诊断。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|正比例函数定义（1）、抽样调查（3）、矩形性质（7）、函数图像应用（12）|结合学生身高调查（3）、销售数据图像（12），考察数学眼光观察现实世界| |填空题|4|坐标确定（13）、扇形统计图（14）、新定义特征数（15）、动点最值（16）|融入“计里画方”古地图（13）、特征数创新定义（15），体现文化传承与创新意识| |解答题|6|图形轴对称（17）、共享电动车费用函数（18）、统计图表分析（19）、菱形与矩形证明（20）、一次函数综合（21）、操作探究（22）|设置共享电动车费用计算（18）、平行四边形操作探究（22），培养模型观念与推理能力，贴合真题命题趋势|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 20262027学年人教版新教材 九年级上学期数学开学测评卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.下列函数中，y是x的正比例函数的是() A.ys3 B.y=2x C.y=x2-1 D.y=x+2 2.函数y=Vx-2025+1 自变量的取值范围是() A.x>2025 B.x≤2025 C.x≠2025 D.x≥2025 3.我县今年七年级共有12000名学生，为了解这12000名学生的身高状况.从中随机抽取 600名学生进行统计分析，以下说法：①这种调查方式是抽样调查：②12000名学生是总 体：③600名学生是总体的一个样本；④每名学生的身高是个体；⑤样本容量是600.其 中正确的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于() 40 A.360° B.540° C.720° D.900° 5.要使函数'=(2m-3)x+(3m+) 的图象经过x、y轴的正半轴，则与的取值范围应为 () -1 A.m>3 3 Bm22,h<、 3 1 试卷第1页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 6.小明在学习画一次函数的图象时，列表如表： -1 0 1 2 6 -2 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是() A.6 B.4 C.1 D.-2 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E、F分别是AD、AO的 中点，若EF=6,则AC的长是() E A.24 B.20 C.18 D.12 8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点， EFAB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为() D A.2 B.1 c.3 D.2 9.在梯形ABCD中，AD∥BC,那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是() A.AB=DC B.∠DAB=∠ABCC.∠ABC=∠DCBD.AC=DB OABC OABC 10.如图，正方形 的边长为2 ,将正方形 绕原点O顺时针旋转45°，则点B B 的对应点的坐标为() 试卷第2页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 B C X A.(V2,0 B.(-V2,0) c.(0,V2) D.(0,2) 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将直角边AC绕点C逆时针旋转120°至DC,连 接BD,且A,B,D三点共线，若BC=3,则AD的长为() A.9 B.8 C.6 D.7 12.如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y(件) 与日期t(日)的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w(元)与日期：t(日)的函 数图象.下列结论错误的是() y(件) w(元) 200. 25 150 100 5 2530t(百) 2030t(百) 图① 图② A.第30天的销售量为150件 B.第10天销售一件产品的利润是15元 C.第13天和第30天的日销售利润相等 D.第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 试卷第3页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 二、填空题 13.“计里画方”是古地图绘制技法，某地图方格中，点A(-2,2)、B3,),根据方格位置， 则点C坐标： 4 B 14.某班学生参加课外兴趣小组的情况如图所示（每人只参加一个课外兴趣小组）·若参 加体育兴趣小组的人数比参加音乐兴趣小组的人数多2人，则该班共有学生一人. 体育 美术 30% 20% 信息 音乐 25% 25% 15,定义：一次函数=+6的特征数是a.若一次函数=2x+m的图象向下平移3 个单位长度后与反比例函数y= x的图象的其中一个交点A的坐标为(n,-4),则一次函数 y=-2x+m 的特征数是 16.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=7,D是线段AB上一个动点， 以BD为边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周 长为 D 三、解答题 试卷第4页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 17.如图，△MBC三个顶点的坐标分别 A(4,1)B(-2,3)C(1,-2) (I)请画出△ABC关于y轴对称的图形△AB'C,并写出A',B,C的坐标； (2)求△AB'C'的面积. 18.共享电动车是一种新理念下的交通工具，某天早上郑老师想骑共享电动车从家去学校， 现有A、B两种品牌的共享电动车可供选择： A品牌：0.4元每分钟： B品牌：起步价6元（含10分钟骑行时间），超过10分钟的部分按照02元每分钟收费. (I)骑行所收费用y（元)与骑行时间x（分)之间的关系式为： 6(0≤x≤10) ya=-（x≥0)； yB= (x>10). (2)为了直观比较，在同一直角坐标系中画出两个函数图象（如图) y/元个 VA 8 6 10 20 x/min ①根据图象，当骑行时间为_min时，两种品牌的共享电动车所收费用相同， ②若郑老师家距离学校10km,两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为20km/h,则郑老 师选哪个品牌的电动车更省钱？省多少钱？ 19.近日重庆市沙坪坝区气象台发布“高温橙色预警信号”：预计日最高气温将升至37℃ 以上.某学校为重点抓好学生防中暑、防溺水、森林防火等安全教育，对部分学生就安全 试卷第5页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，请根据统计图中 的信息，解答下列问题： 学生安全知识了解程度条形统计图 学生安全知识了解程度扇形统计图 人数 90 80 非常 60 不了解了解 50 20% 40 基本了解 30 了解很少 40% 20 10 0 非常了解基本了解了解很少不了解了解程度 (1)此次抽查的学生总数为 一人，并补全条形统计图： (2)在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是一； (3)若该校学生总数为1300人，请估计该校“了解很少”安全知识的学生约有多少人？ 20.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点A作BC边垂线，垂足为 E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. (I)求证：四边形AEFD是矩形； (2)若AB=13,AC=10,求DF的长. 21.如图，正比例函数'=2x的图像与一次函数'=c+b的图像交于点 (m,2) ，一次函 B(-2,-1) 数的图像经过点 与y轴交点为C,与x轴交点为D. 试卷第6页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 (1)求一次函数的解析式： (2)点P是x轴上一点，且△ADP的面积是△AOD的2倍，求点P的坐标. 22.【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分 构成一个四边形EFMN,转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形.其判定 的依据是 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH(AB<BC, FG≤BC),其中AB=EF,∠B=∠FEH,将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG, EH与边AD分别交于点M,.求证：oEFMN是菱形. 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC 或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD=MG时，延长CD,HG交于点P,得到图③. 若四边形ECPH的周长为40，且PH与BC之间的距离为8，则四边形ECPH的面积为 H G E 图① 图② 图③ 试卷第7页，共21页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年人教版新教材 · 九年级上学期数学开学测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：A.不符合正比例函数的定义。 B.，符合正比例函数的形式，其中，是正比例函数； C.不符合一次函数的形式，故排除。 D.，该函数为一次函数的一般形式（），存在常数项，不符合正比例函数的条件； 故选：B 2．函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，求函数的自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件可得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：D 3．我县今年七年级共有12000名学生，为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析，以下说法：①这种调查方式是抽样调查；②12000名学生是总体；③600名学生是总体的一个样本；④每名学生的身高是个体；⑤样本容量是600．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、判断全面调查与抽样调查 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：为了解这12000名学生的身高状况．从中随机抽取600名学生进行统计分析． ①这种调查方式是抽样调查，说法正确； ②12000名学生的身高情况是总体，原说法错误； ③600名学生的身高情况是总体的一个样本，原说法错误； ④每名学生的身高是个体，说法正确； ⑤样本容量是600，原说法正确； 所以正确的判断有①④⑤，共3个． 故选：B． 4．如图，等于(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形的内角和 【分析】根据多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）即可得答案． 【详解】(5-2)×180° =3×180° =540°. ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°， 故选B. 【点睛】考查了多边形内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理：(n-2)180°（n≥3且n为整数）是解题关键． 5．要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、解一元一次不等式，函数的图象经过x、y轴的正半轴，则应有，求解不等式即可． 【详解】解：∵函数的图象经过x、y轴的正半轴， ∴一次函数过一、二、四象限， ∴， 解得：，． 故选：D． 6．小明在学习画一次函数的图象时，列表如表： x … 0 1 2 … y … 6 4 1 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（   ） A．6 B．4 C．1 D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质． 一次函数中x每增加1，y的变化量相同．求出各段中y值的变化可得变化量，进而可知算错的函数值． 【详解】解：一次函数中x每增加1，y的变化量相同． 由表格，当x从增加到0时，y从6变为4，变化量为； 当x从0增加到1时，y从4变为1，变化量为； 当x从1增加到2时，y从1变为，变化量为； 可知当从增加到时的变化量不同， ∵从到与从到时，的变化量均为， ∴点，，在同一直线上， ∴算错的函数值是6． 故选：A． 7．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（   ） A．24 B．20 C．18 D．12 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键． 根据三角形中位线定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形为矩形， ． 故选：A． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用平行四边形对角线互相平分及中点定义可得与的数量关系，证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 9．在梯形中，//，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】梯形 【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形；②对角线相等的梯形是等腰梯形；③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD为梯形，且//，，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∠DAB=∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项符合题意； C、∵四边形ABCD为梯形，且//，∠ABC=∠DCB，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD为梯形，且//，，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定定理，等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． 10．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、根据旋转的性质求解 【分析】连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出，得到△为等腰直角三角形，点在y轴上，利用勾股定理求出O即可． 【详解】解：连接OB， ∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°， ∴，， ∴， ∴△为等腰直角三角形，点在y轴上， ∵， ∴=2， ∴（0，2）， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上． 11．如图，在中，，将直角边绕点逆时针旋转至，连接，且，，三点共线，若，则的长为（    ） A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据得出，根据等角对等边得出，进而可得答案． 【详解】解：∵将直角边绕点逆时针旋转至，且，，三点共线， ，． ． ，， ，． ． ． ． 12．如图表示的是某公司一种产品天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第天的销售量为件 B．第天销售一件产品的利润是元 C．第天和第天的日销售利润相等 D．第天的日销售利润高于第天的日销售利润 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．Ａ选项观察第一个函数图像即可判断；判断选项时，求出日销售量y（件）与日期t（日）的函数关系式，再求出该产品单件的销售利润w（元）与日期t（日）的函数关系式，根据题意代入计算进行判断即可． 【详解】解：A、根据图①可得第天的销售量为件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系为， 把，代入得：， 解得：， ， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量（单位：件）与时间（单位；天）的函数关系为， 把，代入得：， 解得：， ， 当时，日销售利润（元； 当时，日销售利润（元， 第天和第天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润（元， 当时，日销售利润（元． 第天的日销售利润高于第天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 13．“计里画方”是古地图绘制技法，某地图方格中，点、，根据方格位置，则点坐标：_______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据点、坐标建立平面直角坐标系，直接写出点坐标即可． 【详解】解：根据点、，可建立坐标系如下： ∴点的坐标为． 14．某班学生参加课外兴趣小组的情况如图所示（每人只参加一个课外兴趣小组）．若参加体育兴趣小组的人数比参加音乐兴趣小组的人数多2人，则该班共有学生_____ 人． 【答案】 【知识点】由扇形统计图求总量 【详解】解：由扇形统计图可知，参加体育兴趣小组的人数占总人数的，参加音乐兴趣小组的人数占总人数的， 该班共有学生： （人）． 15．定义：一次函数的特征数是．若一次函数的图象向下平移3个单位长度后与反比例函数的图象的其中一个交点A的坐标为，则一次函数的特征数是______ 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】根据平移规律，确定解析式为y=2x+m-3，由反比例函数经过点A，确定交点坐标，代入一次函数解析式，确定m值，后根据定义计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向下平移3个单位长度， ∴一次函数的解析式为y=2x+m-3， ∵反比例函数经过点A， ∴n== -6， ∴A(-6，-4)， ∴-4=2×(-6)+m-3， 解得m=11， ∴一次函数的特征数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，新定义问题，熟练掌握一次函数的平移规律，灵活运用交点的意义是解题的关键． 16．如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为 _______ ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了点到直线垂线段最短，等边三角形的性质，含度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．先确定点F在的角平分线上，当时最小，且点D在上，再根据勾股定理求出，进而得出，然后根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图1， ∵F是的中点，是等边三角形， ∴平分，， 即点F在的角平分线上． 当时，最小，且点D在上，如图2， 在中，，，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以等边的周长为． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) 解：如图所示， 由图知，，， (2) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：． 18．共享电动车是一种新理念下的交通工具，某天早上郑老师想骑共享电动车从家去学校，现有A、B两种品牌的共享电动车可供选择： A品牌：元每分钟； B品牌：起步价6元（含10分钟骑行时间），超过10分钟的部分按照元每分钟收费． (1)骑行所收费用y（元）与骑行时间x（分）之间的关系式为： （）；． (2)为了直观比较，在同一直角坐标系中画出两个函数图象（如图） ①根据图象，当骑行时间为 时，两种品牌的共享电动车所收费用相同． ②若郑老师家距离学校，两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为，则郑老师选哪个品牌的电动车更省钱？省多少钱？ 【答案】(1)0.4x， (2)①20；②郑老师选B品牌的电动车更省钱，省2元 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练分析函数图象是解题关键． （1）根据题意可得，当时，； （2）①观察函数图象可得当骑行时间分钟时，两种品牌的共享电动车所收费用相同； ②先求出郑老师从家去学校所需时间为，求出的值，计算差值即可． 【详解】（1）解：∵A品牌元每分钟， ∴， ∵B品牌起步价6元（含分钟骑行时间），超过分钟的部分按照元每分钟收费， ∴当时，； 故答案为：，； （2）解：①观察函数图象可得当骑行时间分钟时，两种品牌的共享电动车所收费用相同； 故答案为： 20； ②郑老师从家去学校所需时间为； 当时，，， （元）， ∴郑老师选B品牌的电动车更省钱，省2元． 19．近日重庆市沙坪坝区气象台发布“高温橙色预警信号”：预计日最高气温将升至以上．某学校为重点抓好学生防中暑、防溺水、森林防火等安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)此次抽查的学生总数为______人，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是______； (3)若该校学生总数为1300人，请估计该校“了解很少”安全知识的学生约有多少人？ 【答案】(1)200，见解析 (2) (3)估计该校“了解很少”安全知识的学生约有390人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）由基本了解的有80人，占，可求得接受问卷调查的学生数，用总人数乘不了解的人数所占的百分比求出不了解的人数，再求出非常了解的人数，继而补全条形统计图； （2）用乘非常了解的人数所占的百分比即可求出所对应的圆心角度数； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案． 【详解】（1）解：此次抽查的学生总数为（人）， 不了解的人数为（人）， 非常了解的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是； （3）解：（人）， 答：估计该校“了解很少”安全知识的学生约有390人． 20．如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作边垂线，垂足为，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ． 又， ， ． ∴四边形是平行四边形． ， ， ∴四边形是矩形； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质证明 【分析】（1）由菱形性质得到，再由平行四边形的判定，结合即可得证； （2）由菱形性质，在中，由勾股定理得到，再由菱形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ，，． 在中，，． ． ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及菱形性质、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、菱形面积公式及等面积法求线段长等知识．熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 21．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像经过点，与y轴交点为C，与x轴交点为D． (1)求一次函数的解析式； (2)点P是x轴上一点，且的面积是的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． （1）由点在正比例函数图象上可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出点的坐标，再根据点、的坐标利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据直线的解析式求出点的坐标，再根据三角形的面积公式结合的面积是面积的2倍，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出的值，由此即可得出点的坐标． 【详解】（1） 解： 点在正比例函数的图象上， ， ． 点坐标为． 又点、在一次函数的图象上 ，解得：，一次函数解析式为． （2）解：令中，则， ， ． 设点P的坐标为， 的面积是的2倍， ， 解得或， 点P的坐标为或． 22．【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．    【答案】【操作发现】两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 【探究提升】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【结论应用】 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可； （探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立； （结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （探究提升），略 （结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移， ∴，， ∴四边形、、是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵四边形是菱形， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为40， ∴， 作于Q，    ∴与之间的距离为8， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：80． 试卷第2页，共21页 试卷第1页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $