2026年九年级数学秋季开学·学情自测卷01（新教材人教版九上25-26章：一元二次方程+二次函数）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，以智能头盔销量、抛物线沟渠等真实情境为载体，通过赵爽几何解法、同构二次方程等创新设计，实现基础巩固与能力提升的梯度考查，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|一元二次方程定义（1题）、二次函数图像性质（2题）|结合赵爽几何解法（11题）考查数学文化，培养创新意识| |填空题|6/18|抛物线应用（15题）、方程根与系数（16题）|以“同构二次方程”（17题）创新概念，发展抽象能力| |解答题|8/66|增长率问题（23题）、二次函数综合（26题）|智能头盔销售（23题）构建实际模型，提升应用意识；26题结合几何直观考查推理能力|

2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版（2024版）九年级上第二十五章一元二次方程+第二十六章二次函数 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 4．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 8．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 9．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 11．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．已知是一元二次方程的一个根，则___________． 14．一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 16．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 17．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 18．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（6分）解方程： (1) (2) 20．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 21．（8分）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 22．（8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 23．（8分）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 24．（8分）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 25．（10分）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 26．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 1 2 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共 18 分） 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 1 7 ． ____________________ 1 8 ． ____________________ 三 、解答题（共 66 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 9 ．（ 6 分） (1) (2) ) ( 20 ．（ 6 分） 21 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 8分 ） 2 3 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 8 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ． （ 12 分 ） ) ( 2 5 ． （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共8页） 数学 第5页（共8页） 数学 第6页（共8页） 数学 第1页（共8页） 数学 第2页（共8页） 数学 第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版（2024版）九年级上第二十五章一元二次方程+第二十六章二次函数 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 4．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 8．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 9．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 11．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．已知是一元二次方程的一个根，则___________． 14．一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 16．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 17．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 18．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（6分）解方程： (1) (2) 20．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 21．（8分）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 22．（8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 23．（8分）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 24．（8分）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 25．（10分）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 26．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教版(2024版)九年级上第二十五章一元二次方程+第二十六章二次函数 . ·: 第卷（选择题共36分) % 一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答 : 案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.) : 1.下列关于x的方程中是一元二次方程的是() A.x2+5x-2=0 B.3x+1=0 : 0 C.2+3 D.x-5y=6 : 2.关于抛物线y=一(x-2)2+4,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-2 C.顶点坐标是(2,4) D.x>2时，y随x增大而增大 斟 3.己知一元二次方程x2-3x-5=0的两根为x1,x2,则x1x2-x1-x2的值为（) A.-8 B.-2 C.8 D.2 ·: : 4.某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类.已知该市第二季度已 有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均 : 为x,则下面所列方程正确的是() A.60(1+x)2=285 B.60(1-x)2=285 C.60(1+x)+60(1+x)2=285 D.60+60(1+x)+60(1+x)2=285 5.抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系的图象可能是() : 试题第1页（共8页） : : : 6学科网·上好课 6.若点A(-1,y1)、B(2,y2、C(4,y3)在二次函数y=ax2-2ax+1(a>0)的图象上，则y1、y2、y3的大 小关系是() A.y2<y1<y3B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y3 7.已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2-10x-24=0的解，则这个三角形的周长是() A.26 B.16 C.28 D.16或26 8.将抛物线y=ax2-1(a≠0)的图象向左平移2个单位后，所得抛物线经过(1，-4)点，则a等于() A月 B.-1 C.-3 D.-5 9.下面表格中的数据是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值.根据表中的数据我们可以判断：当ax2+ bx+c>0时，自变量x的取值范围是() .1 0 1 2 3 A 0 3 4 0 5 A.X>1 B.x<-1或x>3C.x>5 D.-1<x<3 10.若关于x的一元二次方程ax2+2bx-2=0的一个根是x=2022,则一元二次方程(x+2)2+bx+ 2b=1必有一根为(). A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 11.对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程x2+8x=48为例，赵爽的《勾股圆 方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个 面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22=64，则该方程的正数解为 8一2×2=4.小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c=0,构造如图2所示的图形.若图2中大 正方形的面积为100，则方程x2+12x+c=0的正数解是() 试题第2页（共8页） 学科网·上好课 2 2x 图1 图2 A.4 B.5 C.6 D.7 12.己知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为(-2,5)，与x轴交于A(m,0),B两点，其 中2<m<3.则下列结论： (-2,5)月 6 -6-5-4-32-1912843 -2 -4H ①是<0②b+4a=0国a-b+3c>0④-是<a<-⑤方程a2+0+k2)x+c+2=0(k为常数) 有实数根， 其中正确的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13.已知a是一元二次方程x2+3x-1=0的一个根，则2a2+6a=」 14.一元二次方程x2-3x+k=0有两个实数根，则k所取的可能的值是 .(填一个即可) 15.如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m,当水面上升1m时，水面宽度为 m om m 16.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象的对称轴与x轴的交点的坐标为(1,0)，如果关于x 的方程ax2+bx一c=0(a≠0)的一个根为-2，那么该方程的另一个根为 试题第3页（共8页） 17.把关于x的一元二次方程a1(x-m)2+n=0与a2x-m)2+n=0称为“同构二次方程”.比如2(x- .. 2)2-4=0与3(x-2)2-4=0就是“同构二次方程”.已知两个关于x的一元二次方程2(x-1)2-1=0 与(a+1)x2+(b-2)x-2=0是“同构二次方程”，则a-b= 18.如图，二次函数y=(x+2)2+m的图像与y轴交于点C,点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的 对称轴对称，一次函数y=kx+b的图像经过该二次函数图像上的点A(-1,0)及点B,则满足(x+2)+m≥ kx+b的x的取值范围是 兵 张 河 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 游 19.(6分)解方程： (1)x2+12x+27=0 (2)(2x-1)2=2(2x-1) 20.(6分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根. 世 (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值. 试题第4页（共8页） 21.(8分)小明与小强两位同学解方程2(x-1)=(x-1)2的过程如下： O 小强： 小明： 解：移项，得 解：两边同除以 2(x-1)-(x-1)2=0, (x-1), 提取公因式，得(x-1)(2-x-1)= 得2=x-1, 0, 则x=3. 则x-1=0或2-x-1=0, 解得x1=x2=1. (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“”，若错误请在横线上打“×”： 小明」 ，小强 ·: (2)写出你的解答过程. : .: : O 感 22.(8分)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0，-1)，(2，-1). : ...…◎ (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象： .: : (2)当0≤x≤3时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围， ·: .: : 试题第5页（共8页） : .: 可学科网·上好课 23.(8分)智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备， 逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢.某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度(4月至6月) 该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个. (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此 基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个.为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望 在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠.请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个 多少元？ 24.(8分)【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将4块图形 进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形①或长方形②（含拼接线）. Q 正方形① ,3a 2 4 长方形② 【观察发现】 (1)正方形的边长为 长方形的长为 _；(用含a,b的代数式表示) 【探索应用】 (2)若a=2,求b的值； (3)在(2)的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积. 试题第6页（共8页） 学科网·上好课 25.(10分)综合与实践 【项目主题】配方法的应用. 【项目准备】 D (1)利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c(a≠0)变形为a(x+m)+n的形式，我们把这样的变形方法叫 做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法.配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值.例如： 求代数式x2+4x-1的最小值，x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=(x+2)2-5可知，当x=-2时，x2+ 4x-1有最小值，最小值是 ·配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式x2+ 2x-3,原式=x2+2x+1-1-3= (2)【项目解决】当a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2-4a-6b+13=0时，直接写出c的 取值范围 (3)如图，在四边形ABCD中，AC1BD.若AC+BD=8,求四边形ABCD面积的最大值· 试题第7页（共8页） 26.(12分)如图，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A,B两点，与y轴交于C(0,-3). B 兵 (1)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积. (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使得四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若 张 不存在，说明理由. (3)在抛物线y=x2-2x+k上求点Q,使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形. 河 游 时 世 试题第8页（共8页） 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 4．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 6．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 7．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 8．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 9．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 【答案】B 【分析】本题先根据表格中的对应值，得到二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，判断开口方向，再结合二次函数的图像性质确定时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，和时值相等，均为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数与轴的交点为和， 顶点纵坐标，且抛物线与x轴有两个交点， 抛物线开口向上， 根据开口向上的二次函数图像性质，可得当时，自变量的取值范围是或． 10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 11．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 12．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．已知是一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到满足的等式，将所求代数式提取公因式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根 ∴将代入方程得移项整理得 ∴． 14．一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 取(答案不唯一)． 15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 16．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 17．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 18．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（6分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 20．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 21．（8分）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)， (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【分析】（1）小明：没有考虑的情况；小强：提取公因式时出现了错误；所以他们的解法都不正确； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确． （2）略 22．（8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 23．（8分）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) (2)404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 24．（8分）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据图形即可求解； 剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为，由剪拼后图形的面积不变，得，然后把代入即可求解； 把，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，； （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）， （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积． 25．（10分）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 26．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学分·学情自测卷 数学·答案及评分参考 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C A D A A A A B A A B 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13. 14. 15. 16. 4 17. 18. 或 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：；..................3分 （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：．..................6分 20.【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得；..................2分 （2）解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴，..................5分 ∴，即，符合．..................6分 21.【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确．..................3分 (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，．..................5分 22.（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，，..................2分 ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略；..................5分 （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为．..................8分 23.【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去）..................4分 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元．..................8分 24.【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，；..................2分 （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去），..................5分 （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积．..................8分 25.【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式．..................3分 （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴．..................5分 （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为．..................10分 26.【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即；..................1分 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴；..................2分 如图所示，连接， ∴ ；..................4分 （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ，..................6分 ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为；..................7分 （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴；..................9分 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为；..................10分 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或．..................12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 ■ 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、 选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5[A1[B1[C1[D1 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[AB][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 13. 14 15. 16. 17. 18. 三、解答题（共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(6分) (1)x2+12x+27=0 (2)(2x-1)2=2(2x-1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20.(6分) 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) y 3 2 4-3-2-10 12 3 }----2 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) a /4 3 3 4 正方形① b 4 长方形② 请在各题目的答题区域内作答数镗H箫黑4奭8限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) D 请在各题目的答题区域内作数学超第黑通勉乘限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) 请在各题目的答题区域内作教超第息愿矩茏是歷限定区域的答案无效：