开学摸底模拟试题02-2025-2026学年沪科版九年级数学上册开学摸底试题

2025年-2026学年沪科版九年级数学上册开学摸底模拟试题 满分:120分 考试时间:120分钟 范围：沪科版八年级下册内容 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（本题3分）以下各组线段中，能构成直角三角形的是（    ）． A．4，5，6 B．1，2， C．2，， D．5，12，17 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形三边应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最大边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故本选项符合题意； C、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，故边长为的三条线段不能构成三角形，故本选项不符合题意， 故选：B． 3．（本题3分）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， 开方，得， 即，． 故选：C 4．（本题3分）某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握年平均增长率的计算方法是解题的关键．根据年平均增长率的概念，先求出2024年的游客人次，再求出2025年的游客人次，使其等于86万人次，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：C． 5．（本题3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，利用因式分解法解一元二次方程． 原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选C． 6．（本题3分）如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．15 D．41 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质与勾股定理解三角形，求解出中间直角三角形的一条直角边和斜边是解决本题的关键． 根据图示中正方形的面积分别为25和16，可求解这两个正方形的边长，再由勾股定理即可求解另外一条直角边，由此可计算字母B所代表的正方形的面积． 【详解】解：由图示可知，正方形的面积分别为25和16， ∴可知这两个正方形的边长分别为5和4， ∵中间的三角形为直角三角形，一条直角边为4，斜边为5， ∴由勾股定理可知，字母B所代表的正方形的边长为， ∴字母B所代表的正方形的面积为． 故选：A． 7．（本题3分）如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据矩形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据矩形的性质得出，，再说明垂直平分，然后利用三角形面积公式得到关于的方程求解． 【详解】解：连接BE，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 8．（本题3分）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 9．（本题3分）为了了解本校七年级学生的体能情况，随机抽取了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．根据统计图，仰卧起坐次数在15~20的人数占抽查总人数的百分比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查频数分布直方图．根据频数分布直方图中的数据，可以计算出仰卧起坐次数在15～20次的人数占抽查总人数的百分比． 【详解】】解：根据统计图，仰卧起坐次数在15～20的人数占抽查总人数的百分比是=10%， 即仰卧起坐次数在15～20次的人数占抽查总人数的百分比是， 故选：D． 10．（本题3分）如图，菱形中，直线边，并从点出发向右平移，设直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系的图象如图所示，则菱形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析是解决此类问题的关键， 将图1和图2结合起来分析，分别得出直线过点D, B和时对应的值和值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积． 【详解】解：由图2可知，当直线过点时，，菱形的高等于线段的长，此时，直线向右平移直到点过点时，， 当直线过点时，， ∴菱形的边长为， ∴当点与点重合时，由勾股定理得， ∴， ∴菱形的高为， ∴菱形的面积为． 故选：A． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如果代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 12．（本题3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的定义得出，即可求出m的值，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：4． 13．（本题3分）老师对八年级（1）班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，发现分至分这一组的频数是15，那么该分数段的频率是 ． 【答案】0.25 【分析】本题考查频率、频数的关系，熟记公式是解题的关键．根据频率频数数据总和求解即可． 【详解】解：成绩在分之间的频率为． 故答案为：． 14．（本题3分）若是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如，a、b、c是常数的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为 ． 【答案】49 【分析】本题考查了等腰直角三角形三边关系、运用全等构造等腰三角形和勾股定理的综合问题，设立未知数表示各未知线段、根据图形特征作辅助线构造熟悉图形、并根据勾股定理建立起各未知量之间的等式是解题的关键． 过点作，交于点，延长相交于点，根据等腰直角三角形的性质得出为等腰直角三角形，假设，由勾股定理得，表示出相关线段的长度，证明，得出，，然后利用勾股定理求出的值，最后可求三角形的面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，延长相交于点， 是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， 假设，由勾股定理得， ∵平分， ∴，， ， 由勾股定理得， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， 由勾股定理得 即 解得，， ∴的面积为， 故答案为：49． 17．（本题3分）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点M、N，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于的方程．证明，在中，由勾股定理得出，得出方程，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．（本题3分）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，，将它往前推至C处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 20．（本题8分）如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 【答案】(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【详解】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 21．（本题8分）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 22．（本题9分）如图，矩形中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查的是矩形性质、勾股定理及平行四边形的判定， （1）先根据矩形性质得出，得出，，即可证明结论； （2）连接交于点O，根据矩形性质结合勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点O， 在矩形中，， ， ， ， 在中，， ． 23．（本题10分）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 【答案】(1)至少需要降价10元 (2)每件T恤的售价为24元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设至少需要降价元，根据每件T恤的售价定为30元亏本销售时，每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元，根据题意得，，再根据，得出，所以每件T恤的售价降价6元，进而可得出答案． 【详解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元， 根据题意得， 解得， 答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元； （2）解：设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：或， 因为， 所以， 所以每件T恤的售价降价6元，则售价为24元， 答：每件T恤的售价为24元． 24．（本题11分）某学校有2400名学生参加“中国梦，我的梦”知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了若干名学生的得分进行统计． 成绩 频数 百分比 16 62 请你根据不完整的表格，解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是______，成绩所占百分比是______． (2)补全频数分布直方图； (3)若将得分转化为等级，规定评为“D”，评为“C”，评为“B”，评为“A”．估计该学校有多少名学生参赛成绩被评为“B”等级？ 【答案】(1)200， (2)见解析 (3)1224名 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图以及样本估计总体，掌握是正确解答的前提． （1）根据“”的频数是16，频率为，由即可求出答案； （2）求出各组的频数，再补全频数分布直方图即可； （3）求出样本中，“B等级”所占的百分比，即可估计总体中“B等级”所占的百分比，进而求出相应的人数． 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：200，； （2）解：“”的频数为：（人）， “”的频数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： （3）解：（名）． 答：估计该学校有1224名学生参赛成绩被评为“B”等级． 25．（本题12分）【问题情景】如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，点是的中点，连接，． 【证明与探究】 (1)求证：； (2)请判断与的位置关系，并说明理由； (3)作的中点，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】（1）利用正方形性质找全等条件，用证三角形全等； （2）通过正方形平行关系、等腰三角形性质及全等三角形角的关系，推导角为直角得垂直； （3）借助中位线性质求线段长，再用勾股定理计算． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． 又， ． （2）解：．理由如下： 如图1．四边形是正方形， ，， ． 点是的中点， ， ， ， ． ， ， ，即， ． （3）解：如图2，连接． 点是的中点，点是的中点， 是的中位线． ， ． 在中 ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 第18页，共18页 第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年-2026学年沪科版九年级数学上册开学摸底模拟试题 满分:120分 考试时间:120分钟 范围：沪科版八年级下册内容 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）以下各组线段中，能构成直角三角形的是（    ）． A．4，5，6 B．1，2， C．2，， D．5，12，17 3．（本题3分）方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 6．（本题3分）如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．15 D．41 7．（本题3分）如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（本题3分）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 9．（本题3分）为了了解本校七年级学生的体能情况，随机抽取了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．根据统计图，仰卧起坐次数在15~20的人数占抽查总人数的百分比是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，菱形中，直线边，并从点出发向右平移，设直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系的图象如图所示，则菱形的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如果代数式有意义，那么的取值范围是 ． 12．（本题3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是 ． 13．（本题3分）老师对八年级（1）班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，发现分至分这一组的频数是15，那么该分数段的频率是 ． 14．（本题3分）若是一元二次方程，则 ． 15．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 16．（本题3分）如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为 ． 17．（本题3分）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点M、N，连接，则的长为 ． 18．（本题3分）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，，将它往前推至C处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 20．（本题8分）如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 21．（本题8分）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 22．（本题9分）如图，矩形中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的面积． 23．（本题10分）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 24．（本题11分）某学校有2400名学生参加“中国梦，我的梦”知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了若干名学生的得分进行统计． 成绩 频数 百分比 16 62 请你根据不完整的表格，解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是______，成绩所占百分比是______． (2)补全频数分布直方图； (3)若将得分转化为等级，规定评为“D”，评为“C”，评为“B”，评为“A”．估计该学校有多少名学生参赛成绩被评为“B”等级？ 25．（本题12分）【问题情景】如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，点是的中点，连接，． 【证明与探究】 (1)求证：； (2)请判断与的位置关系，并说明理由； (3)作的中点，连接，若，求的长． 第2页，共7页 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$