2026～2027学年沪教版（五四制）八年级上学期数学开学测评卷

**基本信息** 2026~2027学年沪教版五四制九年级上学期数学开学测评卷，聚焦函数、几何与应用，通过科学情境与生活实例综合检测八年级核心知识，渗透数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题/30分|正比例函数性质、反比例函数图像、平行四边形判定|结合坐标系考查几何直观，如长方形中点坐标计算| |填空题|12题/36分|多边形内角和、反比例函数面积、矩形性质、新定义“特征数”|设置象棋坐标、旋转问题，体现空间观念与创新意识| |解答题|7题/54分|函数表达式求解、动点几何、行程问题、新定义“可等垂四边形”|融合科学情境（酸碱中和温度变化）与生活应用（饮水机存水），新定义题考查推理能力与模型意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 20262027学年沪教版五四制新教材 八年级上学期数学开学测评卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.已知a>b,则下列不等式一定成立的是() asb A.a-1<b-1B.22 C.-az-b D.a+1>b+1 2.用反证法证明命题“在钝角三角形ABC中若LA=∠B,则∠A<45°”时，应先假设 () A.∠A=∠B B.∠A≠∠B C.∠A<45 D.∠A≥45 3.如图，下列条件中，不能判定a‖b的是() A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠2=∠4 D.∠5+∠4=180° 4.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点.若△ABC的面积为 10cm2 △FBC ,则 的面积为(). A.4cm2 B.3cm2 c.2.5cm2 D.2cm2 5.下列命题的逆命题成立的是() 试卷第1页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 A.如果两个实数相等，那么它们的平方相等B.全等三角形的对应边相等 C.如果两个角是直角，那么它们相等D.等边三角形是锐角三角形 6.如图，△ACD中，∠A=45°，CN⊥AD于N,点E为AC上一点，且DC=DE,点M 为AD上一点，且AE=ME,下列结论：①∠ADE=∠DCN;②AM=2DN:③MD=ME 其中正确的有() N A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 7.如图，已知直线a、b被直线C所截，则与∠I是内错角关系的是 8.如图：①∠2和LD是角；②∠4和∠B是 角. E 9.将命题“钝角的补角是锐角”改写成“如果…那么…”的形式： 试卷第2页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 10.已知一个三角形的两边长分别为1,6，第三边长为整数，则第三边长为一 11.如图，在△ABC中，AB=3,BC=6,△ABC的高AD与CE的比值是 D 12.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°.点D在线段BC上运动.连接AD,当 △ABD是等腰三角形时，则△ADC中最大内角的度数是一 13.如图，∠BGF=140°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为. C B 14.若等腰△ABC两腰上的高所在直线的夹角（锐角）为45°，则顶角∠BAC的度数为 15.如图，某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题.如 图所示，己知AB∥CD,∠BAE=89°，∠DCE=123°，则∠E的度数是 x>a x<a 16.关于x的不等式组x>b的解如图所示，则关于x的不等式组x≤b的解是 b 试卷第3页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光多笔 17.己知BD是△ABC的高，AD=5,CD=1.若△ABC的面积为6，则BD的长为 18.如图，点D是射线AB上一动点，连接CD,过点D作DE∥BC交直线AC于点E, 若∠ABC=64°，∠CDE=27°，则∠ADC= B 三、解答题 19.如图，∠AOB=a°，MN=m.利用圆规与无刻度直尺作三角形DEF,使得 ∠DEF=a°，且满足DE=2EF=2m.(不写过程和证明，保留作图痕迹) BM 20.解不等式与不等式组，并把它们的解集表示在数轴上： )2x+2-3(x+1)>1 [5x-1≤3(x+1) (2) 1+2x2x-1 3 21,如图，AD川BC,点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E,且∠I=∠2， ∠3=∠4.求证CD∥BE,请将证明过程补充完整，并在括号内填写推理的依据。 E 3 证明：：∠B+∠1+∠3=180°， ①_（②_）， 试卷第4页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 ∴.∠B=180°-∠1-∠3. ∠D=180°-∠2-∠4（等式的性质）. 又：∠1=∠2，∠3=∠4（已知）， ③_（④_）. ADI BC (已知)， ∴，⑤_（两直线平行，同位角相等）· .∠D=∠EAD(等量代换). .CD∥BE(⑥_)· 22.如图，己知：点P是△ABC内一点，BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB. B M 图① 备用图 图② (1)如图①，若∠ABC=54°，∠ACB=56°，则∠BPC=· (2)如图①，若∠A=70°，求∠BPC的度数： (3)如图②，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线，相交于点.若∠A=m,求∠BOC 的度数.（用含m的式子表示） 23.在三角形ABC中，D是AB上一点，DE‖AC交BC于点F,点E是线段DF延长线上 一点，连接EC,∠ACE+∠BDE=180° 试卷第5页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先今笔 G C 图1 图2 图3 (I)如图1，求证CE∥AB: (2)如图2，连接AF,若∠BAF=40°，∠ECF=60°，求∠AFC的度数： (3)如图3，在(2)的条件下，点G是线段EC延长线上一点，若∠FAC:∠FCA=7:I3, AF平分∠BAG,求∠CAG的度数. 24.请你根据下列素材，完成有关任务. 某班班委会决定组织 同学统一到体育用品 背景 专卖店购买体育运动 跑鞋，以供同学们课 外活动使用. A型运动跑鞋比B型 素材一 运动跑鞋每双的单价 多20元： 购买2双A型与3双 素材二 B型运动跑鞋共需费 用640元： 该班委会通过班级调 研确定A型和B型运 动跑鞋共需购买50 素材三 双，且购买A型运动 跑鞋的数量少于30 双，购买B型运动跑 鞋的数量不超过购买 试卷第6页，共21页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 4型运动跑鞋的2 体育用品专卖店给出 了优惠活动：一次购 买A型运动跑鞋不超 过15双不优惠，超过 15双后，超过的部分 素材四 每双按单价打七五 折：一次购买B型运 动跑鞋不超过20双不 优惠，超过20双后， 超过的部分每双按单 价打八折. 购买A型和B型跑鞋 素材五 的总费用不超过6000 元 请完成下列任务： (1)A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ (2)有哪几种购买方案？ 试卷第7页，共21页 2026~2027学年沪教版五四制新教材九年级上学期数学开学测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B．为任意实数 C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，准确理解一次函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键． 由当时，可知：y随x的增大而增大，则由一次函数性质可得：，然后求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象上两点，当时，有， ∴正比例函数的图象是y随x的增大而增大， ∴，解得：． 故选D． 2．在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数）的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当图象分布在第二、四象限时，其比例系数小于0，据此列不等式求解的取值范围即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， ∴解得， 故选：C． 3．如图，在长方形中，，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，由题意可得轴，轴，从而得出点的纵坐标与点相同，为，点的横坐标与点的横坐标相同，为，即可得出结果，结合题意得出轴，轴，是解此题的关键． 【详解】解：∵在长方形中，，，， ∴轴，轴， ∴点的纵坐标与点相同，为，点的横坐标与点的横坐标相同，为， 故点的坐标为， 故选：A． 4．酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（    ） A．反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B．混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C．0至20s时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D．混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A．由图可知，反应开始前，稀盐酸溶液的温度为，原说法正确； B．由图可知，混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降，原说法正确； C．由图可知，至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同，原说法正确； D．由图可知，混合溶液的温度不低于时，持续的时间，原说法错误． 5．已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内随增大而增大， ∵， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴，，的大小关系为． 故选：A． 6．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【详解】解：A、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 二、填空题 7．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 【详解】解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 8．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 9．如图，已知反比例函数和的图像分别为，，是上一点，过点作轴，垂足为，与交于点．若的面积为，则的值为______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义计算即可，理解反比例函数值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴，垂足为，与交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，，，则的长为______． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系两点间的距离，根据平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解，掌握平面直角坐标系两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，平分交于点E，交的延长线于点F，若，则的长为____． 【答案】/8厘米 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，利用平行四边形的性质得出，进而得出，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出，同理可得：，即可得出答案，得出，是解题关键． 【详解】解：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．定义为一次函数的特征数，若特征数是的一次函数为正比例函数，则的值是_____． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据题意，得出为正比例函数，即可求出的值． 【详解】解：若特征数是的一次函数为正比例函数， 即为正比例函数， 故， 得． 13．如图，是中国象棋棋盘的一部分，已知“炮”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为，则“车”所在位置的坐标为______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据已知点“炮”和“马”的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，建立平面直角坐标系，进而确定“车”的坐标． 【详解】解：∵“炮”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示， ∴“车”所在位置的坐标为． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为____ 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离 【分析】根据两点间距离公式，得，得到，设点C的横坐标为，根据题意，得，求解即可； 【详解】解：由点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 设点C的横坐标为，根据题意，得， 解得； 15．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，则的周长为_____． 【答案】9 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质，勾股定理，因为四边形是矩形，所以，，，在 中，可得，推出，因为E，F分别是 、的中点，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵E、F分别是，的中点， ∴，，， ∴的周长． 故答案为：9． 16．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线平分平行四边形的面积，则______．    【答案】 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】连接，交于点M，再用平行四边形的性质求出M，平分平行四边形的面积要经过，即可求解． 【详解】解：若直线平分平行四边形的面积，则经过平行四边形对角线交点． 如图，连接，交于点M，    ∵四边形为平行四边形， ∴，，点M为，的中点， ∵点，点， ∴点坐标为， ∵直线平分平行四边形的面积， ∴直线经过点，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积． 17．如图，正方形的边长为6，E是上一点，且．连接，将绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． （I）线段的长为 ___________ ； （Ⅱ）若P是的中点，则线段的长为 ___________ ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （Ⅰ）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解； （Ⅱ）如图，连接，，过点F作交的延长线于点K．证明，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （Ⅱ）如图，连接，，过点F作交的延长线于点K． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．已知直线l1：与l2：相交于点P，现有直线l3：，若，不能围成三角形，则k的值为_____________________． 【答案】或3或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和几何图形的结合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 根据三条直线交于一点以及两条直线平行，无法构成三角形来进行解答． 【详解】解：联立的解析式得， ， 解得， ∴， 若直线经过点，则， 解得； 若直线与直线平行，则； 若直线与直线平行，则； 综上，k的值为或3或， 故答案为：或3或． 三、解答题 19．已知与x成反比例，当时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】设反比例函数为：，把，代入函数解析式求解即可. 【详解】解：设反比例函数为：， 根据题意得， 解得， ∴， 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，熟练的列出方程是解本题的关键. 20．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m和k的值； (2)若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t的值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②或；③是， 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是利用函数图象上点的坐标特征、矩形性质，结合方程与代数运算求解． （1）将点坐标代入直线解析式求，再把坐标代入直线解析式求． （2）①利用直线解析式和点横坐标求坐标，依据轴及直线解析式求坐标．②先求坐标，得出的绝对值表达式，结合列方程求解．③根据矩形性质确定坐标，设直线解析式，代入和坐标列方程组，求解得直线解析式，判断所在直线． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴． 把代入，得 ， ∴． （2）解：①轴，轴，且， 直线，当时，， ， 直线，当时，， ， ， ，． 故答案为：，． ②直线：，当时，， ， ， ， ， 解得或， 的值为或． ③作直线， 设直线的解析式为， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 顶点始终落在一条固定的直线上，这条直线的解析式为． 21．某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 【答案】(1)如图所示， ， (2)点D，E ，F的位置如图所示 (3)点E在点C的正南方向，距离点处 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据D的坐标为，E点的坐标为，F点的坐标为，在坐标系中标注的位置； （3）根据坐标系位置和单位长度即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）． 点E在点C的正南方向，距离点处 22．一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求汽车在高速公路上行驶的速度． (2)求所在直线对应的函数解析式． (3)记者出发后多长时间到达采访地？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据路程除以时间即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入即可求解． 【详解】（1）解：， 答：汽车在高速公路上行驶的速度为； （2）解：设所在直线对应的函数解析式为， 代入和 则 解得 ∴所在直线对应的函数解析式为； （3）解：由解析式，得到汽车在普通公路上行驶的速度为； 则汽车在普通公路上行驶时间为， 总用时为 答：记者出发后到达采访地． 23．学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同；三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如表所示． 放水时间（分） 0 3 8 … 直饮水机的存水量（升） 25 17.5 5 … (1)当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为______ ． (2)某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间的函数关系如图所示． ①求饮水机中的存水量与放水时间的函数关系式； ②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？ 【答案】(1)2.5 (2)①饮水机中的存水量y与放水时间x的函数关系式为；②前25个同学接完水共需 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，从图表中有效的获取信息是解题的关键． （1）根据表格求出3分钟的放水量，再除以时间即可求解； （2）①饮水机中的存水量与放水时间的函数关系式为，将、代入求解即可； ②由已知可得出每名同学接水量，从而得出前25个同学的接水量，求出饮水机中的存水量，然后代入表达式求解即可． 【详解】（1）解：∵三个放水管每个水管出水的速度相同， 由已知表格数据知：三个水管同时打开时，3分钟放水（升）， ∴当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为； 故答案为：； （2）解：①根据题意知，打开其中两个放水管，每分钟的总出水量为， ∴当时，饮水机的存水量， 当时，设， 把、代入得：， 解得， ∴ 当时， 解得 ∴饮水机中的存水量y与放水时间x的函数关系式为； ②∵前3分钟恰好有10名同学接完水， ∴每个同学接水， ∴前25个同学共接水， 此时饮水机中的存水量， ∴， 解得， ∴前25个同学接完水共需． 24．如图，在中，和分别为边和上的高，与交于点，点在边上，，连接和． (1)求的度数． (2)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）易得垂直平分，进而得到，结合，得到为等腰直角三角形，即可得出结果； （2）根据高线的性质，得到，进而得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵和分别为边和上的高，与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形． 25．学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析；8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据“可等垂四边形”的定义得到是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形和矩形的性质，推导线段和的数量关系； （2）利用“一线三垂直”模型证明，根据全等三角形的性质从而得到线段间的和差关系； 结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理先求出的长度，再利用等腰三角形的性质求出． 【详解】（1）解： 证明：如图（1），过点作于点，则， ∵矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即． （2） 证明：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】在第（2）问的第小问利用“一线三垂直”模型证明三角形全等是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年沪教版五四制新教材九年级上学期数学开学测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B．为任意实数 C． D． 2．在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数）的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形中，，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（    ） A．反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B．混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C．0至20s时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D．混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 5．已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 7．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 8．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 9．如图，已知反比例函数和的图像分别为，，是上一点，过点作轴，垂足为，与交于点．若的面积为，则的值为______． 10．在平面直角坐标系中，，，则的长为______． 11．如图，在中，平分交于点E，交的延长线于点F，若，则的长为____． 12．定义为一次函数的特征数，若特征数是的一次函数为正比例函数，则的值是_____． 13．如图，是中国象棋棋盘的一部分，已知“炮”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为，则“车”所在位置的坐标为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标为____ 15．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，则的周长为_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线平分平行四边形的面积，则______．    17．如图，正方形的边长为6，E是上一点，且．连接，将绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． （I）线段的长为 ___________ ； （Ⅱ）若P是的中点，则线段的长为 ___________ ． 18．已知直线l1：与l2：相交于点P，现有直线l3：，若，不能围成三角形，则k的值为_____________________． 三、解答题 19．已知与x成反比例，当时，，求y与x的函数表达式． 20．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． (1)求m和k的值； (2)若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t的值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 21．某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 22．一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求汽车在高速公路上行驶的速度． (2)求所在直线对应的函数解析式． (3)记者出发后多长时间到达采访地？ 23．学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同；三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如表所示． 放水时间（分） 0 3 8 … 直饮水机的存水量（升） 25 17.5 5 … (1)当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为______ ． (2)某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间的函数关系如图所示． ①求饮水机中的存水量与放水时间的函数关系式； ②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？ 24．如图，在中，和分别为边和上的高，与交于点，点在边上，，连接和． (1)求的度数． (2)请判断的形状，并说明理由． 25．学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027学年沪教版五四制新教材 · 八年级上学期数学开学测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， A、两边同时减去1，得，则A不符合题意， B、两边同时除以2，得，则B不符合题意， C、两边同时乘以，得，则C不符合题意， D、两边同时加上1，得，则D符合题意． 2．用反证法证明命题“在钝角三角形中若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可． 【详解】解：∵反证法的第一步为假设命题的结论不成立， 原命题要证明的结论为， ∴结论不成立即为， 因此应先假设． 3．如图，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，先识别图中各个角的位置关系，逐一分析选项中角的关系即可． 【详解】解：A、是内错角，内错角相等，两直线平行，可以判定平行，不符合题意； B、不能判定平行，符合题意； C、（对顶角），则是内错角，内错角相等，两直线平行，可以判定平行，不符合题意； D、由于，，，则，内错角相等，两直线平行，可以判定平行，不符合题意． 4．如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，由三角形中线的性质可得，，，则，进而得到． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 5．下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．全等三角形的对应边相等 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】B 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题，分别写出原命题的逆命题，再进行判断真假即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、原命题的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题； 、原命题的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，是真命题； 、原命题的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，是假命题； 、原命题的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题； 故选：． 6．如图，中，，于，点为上一点，且，点为上一点，且，下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．①证为等腰直角三角形得，则，再根据三角形外角定理得，然后根据得，据此可对结论①进行判断；②过点作于，证为等腰直角三角形得，再证得，据此可对结论②进行判断；③不防假设，则，根据为等腰直角三角形及三角形的外角定理得，则，进而得，由此得，但是根据已知条件无法判定，据此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，， 为等腰直角三角形， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ，故结论①正确； ②过点作于，如下图所示： ，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 由（1）得：， ， ， ，故结论②正确； ③不防假设，则， 为等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）正确得：， ， ， ， ， 根据已知条件无法判定， 故结论③不正确． 综上所述：证的结论有①②，共2个． 故选：C． 二、填空题 7．如图，已知直线、被直线所截，则与是内错角关系的是______． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【详解】解：由图可知，与是内错角． 8．如图：和是________角；和是________角． 【答案】 内错 同位 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角的定义，熟练掌握同位角、内错角的定义是解答本题的关键． 根据同位角、内错角的定义解答即可． 【详解】解：和是内错角，和是同位角， 故答案为：内错，同位． 9．将命题“钝角的补角是锐角”改写成“如果…那么…”的形式：____________． 【答案】 如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】正确拆分命题的条件和结论，“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论，准确拆分即可求解． 【详解】原命题“钝角的补角是锐角”中，条件为：一个角是钝角的补角，结论为：这个角是锐角． 因此改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角． 10．已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【答案】6 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， 则，即， 第三边长a为整数， 第三边长． 11．如图，在中，，，的高与的比值是________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】通过两种方式表示出三角形面积，代入已知边长求解即可． 【详解】解：，，， ，则， 的高与的比值是． 12．如图，在中，，．点在线段上运动．连接，当是等腰三角形时，则中最大内角的度数是______． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、、三种情况，分别运用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时中最大内角是； 当时，， ∴此时中最大内角是； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴此时中最大内角是， 综上所述：当是等腰三角形时，中最大内角的度数是或或． 故答案为：或或． 13．如图，，则的度数为______． 【答案】/280度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 根据外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和进行角的转化计算即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．若等腰两腰上的高所在直线的夹角（锐角）为，则顶角的度数为______． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：如图，当是钝角时， 由题意：， ∴， ∴ ∴； 如图，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 故答案为：或． 15．如图，某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是_______． 【答案】/度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】作，利用平行线的性质求得，，进一步计算即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．关于x的不等式组的解如图所示，则关于x的不等式组的解是__________ ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：的不等式组的解集为， ， 关于x的不等式组的解是． 17．已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【答案】2或3 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】分两种情况：当点D在线段上时，或当点D在线段的延长线上时，分别求出结论即可． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， 解得：； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， ∴； 综上，的长为2或3． 18．如图，点是射线上一动点，连接，过点作交直线于点，若，，则__________． 【答案】或． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】分两种情况：点D在线段上和点D在的延长线上，由平行线的性质求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点D在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 三、解答题 19．如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 【答案】 如图，三角形即为所求． 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关键． 先作， 在射线上截取， 在射线上截取，再连接即可． 【详解】略 20．解不等式与不等式组，并把它们的解集表示在数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)不等式解集是 ，在数轴上的表示见解析。 (2)不等式组的解集是 ，在数轴上的表示见解析。 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式和解不等式组，明确解不等式的步骤和不等式组确定解集的方法是解题的关键； （1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解不等式并将解集表示在数轴上即可； （2）不等式①先去括号再解不等式，不等式②先去分母再解不等式，最后利用同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了，得到不等式组的解集并将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴不等式的解集为， 将表示在数轴上为： （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 将表示在数轴上为： 21．如图，，点是上一点，与的延长线相交于点，且，．求证．请将证明过程补充完整，并在括号内填写推理的依据． 证明：， ① （② ）， ， （等式的性质）． 又，（已知）， ∴③ （④ ）． （已知）， ∴⑤ （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． ∴（⑥ ）． 【答案】；三角形的内角和定理；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明 【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的判定与性质进行分析求解即可． 【详解】证明：， （三角形的内角和定理）， ， （等式的性质）． 又，（已知）， ∴（等量代换）． （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 22．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，，则 (2)如图①，若，求的度数； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．若，求的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1)125 (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形内角和定理可得，则由角平分线的定义可推出的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （3）由三角形外角的性质和三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义推出，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，分别平分，，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴ （3）解：由三角形外角的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴． 23．在三角形中，是上一点，交于点，点是线段延长线上一点，连接，． (1)如图1，求证； (2)如图2，连接，若，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点是线段延长线上一点，若，平分，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， ． ． ； (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，则可证明，进而可证明； （2）过点作，则，证明，得到，据此可得答案； （3）由角平分线的定义得到，设，则，由平行线的性质打得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：解：如图2，过点作， ， ， ， ， ； （3）解；平分， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， ． 24．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 型运动跑鞋比型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双型与3双型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过班级调研确定型和型运动跑鞋共需购买50双，且购买型运动跑鞋的数量少于30双，购买型运动跑鞋的数量不超过购买型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买型和型跑鞋的总费用不超过6000元． 请完成下列任务： (1)型、型运动跑鞋的单价分别是多少元？ (2)有哪几种购买方案？ 【答案】(1)型、型运动跑鞋的单价分别是140元、120元 (2)方案一：购买型运动跑鞋20双，购买型运动跑鞋30双；方案二：购买型运动跑鞋21双，购买型运动跑鞋29双 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】（1）设B型运动跑鞋的单价为元，则A型运动跑鞋的单价为元，根据素材二列出一元一次方程，解方程即可解答； （2）先设A型运动跑鞋买双，则B型运动跑鞋买双，再根据素材三列出不等式，然后解不等式；再根据素材四和素材五列出不等式，然后解不等式，综合后可得的取值范围，进而可得购买方案． 【详解】（1）解：设B型运动跑鞋的单价为元，则A型运动跑鞋的单价为元， 根据素材二得，， 解得，， 则． 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元． （2）解：设A型运动跑鞋买双，则B型运动跑鞋买双， 根据素材三得，， 解得，； 根据素材四得， 购买A型运动跑鞋的费用为：（元）， 购买B型运动跑鞋的费用为：（元）； 根据素材五得，， 解得，， 综上所述，． 又为整数， ，， 相应的，， 故有以下两种方案： 方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双； 方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双． 试卷第2页，共21页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $