26.2 二次函数的图象和性质 课后同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册“26.2二次函数的图象和性质”同步练，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到综合运用的知识进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|顶点坐标、配方法、对称轴等概念|单选1-5、填空11-14，直接考查定义与性质，强化符号意识| |中档|平移、图像与系数关系、简单应用|单选6-8、填空15，结合图像变换与符号推理，发展几何直观| |提升|表格分析、综合作图、实际问题|单选9-10、解答19-20，通过数据关联与动态问题，培养创新意识与应用能力|

26.2 二次函数的图象和性质 课后同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，用配方法化为的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的对称轴是（    ） A．x =1 B．x =2 C．x =－1 D．x =－2 5．关于的图象，下列叙述正确的是（   ） A．函数有最大值为 B．对称轴为直线 C．当时，随增大而增大 D．当时，随增大而减小 6．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．函数与在同一个平面直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 10．如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若 这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 二、填空题 11．二次函数的图象的开口向___________． 12．二次函数的最大值为__________． 13．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 14．若二次函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为___________． 三、解答题 16．已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 17．已知二次函数的图象经过点、． (1)求与的值； (2)写出该图象上点的对称点的坐标； (3)当取何值时，随的增大而减小； (4)当取何值时，有最大值（或最小值）． 18．在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 19．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 20．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A C A C B C D 1．【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，根据其顶点式可以判断得解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴其顶点为． 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：y=-x2+2x-3=-（x2-2x+1）+1-3=-（x-1）2-2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）． 3．【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，对称轴为y轴，比较各点横坐标的绝对值，绝对值越大，函数值越大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线方程为 ∴开口向上，对称轴为， ∵抛物线上有三点，，，且 ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∴ ． 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据顶点式的对称轴为，求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的对称轴为，掌握顶点式是解题的关键． 5．【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握由顶点式得出二次函数的顶点、对称轴、最值和增减性． 根据顶点式可直接得出相关特征，再逐一判断选项即可． 【详解】 函数解析式为 ， 顶点坐标为，对称轴为直线， 二次项系数， 抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值， 选项，函数有最小值，不是最大值，选项错误； 选项，对称轴为 ，不是，选项错误； 选项，当 时，在对称轴右侧， 随 增大而增大，选项正确； 选项，当 时， 随 增大而增大，不是减小，选项错误． 故选：． 6．【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为． 7．【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象判断．根据一次函数的图象和二次函数的图象分别得出和的符号，比较即可求解． 【详解】解：当时，，函数经过原点，故A不符合题意； B、对于，则，， 而对于的对称轴，开口向上，则，故B不符合题意； C、对于，则，， 而对于的对称轴，开口向下，则，故C符合题意； 同理，D不符合题意； 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 9．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】首先求出，然后得到对称轴为直线，得到，求出a，b异号，即可判断A；由对称性得到，即可判断B；然后根据时，，得到，代入求出，即可判断C；得到抛物线开口向上，然后结合抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，，即可判断D． 【详解】解：由表格得，二次函数经过点， ∴代入得，， 又∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称 ∴，故B正确，不符合题意； ∵当时与其对应的函数值， ∴ ∴代入，得， ∴，故C不正确，符合题意； ∴抛物线开口向上， ∴顶点为最低点， ∵抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，， ∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意． 10．【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 11．【答案】下 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 12．【答案】0 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，先把二次函数的一般形式化成顶点式，再根据二次函数的图像和性质求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y取的最大值，最大值为：， 故答案为：0 13．【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 14．【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的增减性，由题意得：函数的对称轴为直线；且图像开口向上；推出当时，随增大而减小，即可求解． 【详解】解：由题意得：函数的对称轴为直线；且图像开口向上； ∴当时，随增大而减小； ∵当时，随增大而减小， ∴； 故答案为： 15．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 16．【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出平移后的二次函数解析式，然后将点代入，得出关于的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 将该二次函数图象向上平移个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：． 17．【答案】(1)， (2) (3) (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】（）把点坐标代入二次函数解析式可得的值，进而把点坐标代入二次函数解析式可求出的值； （）由（）可得点坐标，再根据对称轴为轴可得点的坐标； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴二次函数， 把代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为轴，点的对称点为点， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，当时，随的增大而减小； （4）解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点为，为最高点， ∴时，有最大值． 18．【答案】见解析 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的平移性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出函数经过点；函数经过点；再描点，然后依次用光滑的曲线连接，得出它们的图象，然后结合平移的性质以及函数图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：令时，则，； 令时，则，； 令时，则，； 即函数经过点； 即函数经过点； 再描点，然后依次用光滑的曲线连接，故和的图象，如图： 的图象向上平移1个单位得的函数图象； 的对称轴是y轴，顶点坐标是； 的对称轴是y轴，顶点坐标是． 19．【答案】（1），M (1，-2)；（2） 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 【详解】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20．【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $