26.2 二次函数的图象和性质 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册26.2二次函数的图象和性质同步练习，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过梯度化题型培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|顶点坐标、对称轴等单一知识点|单选题（1-5题）聚焦概念辨析，夯实基础| |能力提升|图像平移、性质综合应用|填空题（11-14题）结合图像分析，提升推理能力| |综合应用|最值探究、动态问题解决|解答题（16-20题）通过画图与探究，发展模型意识|

26.2 二次函数的图象和性质 同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 3．关于二次函数的图象和性质，下列说法中不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是 C．当时，随的增大而减小 D．顶点是 4．把二次函数化为顶点式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 6．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．二次函数与自变量x的部分对应值表如下，已知其中有且仅有一组值错误（其中a，b，c均为常数）．则下列说法中一定正确的是（   ） x 0 2 3 y 2 3 A．若错误的数据是第一组数据，则 B．若错误的数据是第二组数据，则 C．若错误的数据是第三组数据，则 D．若错误的数据是第四组数据，则 10．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 二、填空题 11．当时，二次函数的最大值为______． 12．写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）． 13．已知的图像形状相同，开口方向相反，则a的值为________． 14．已知二次函数当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是____________． 15．如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 三、解答题 16．观察二次函数的图象，请问： (1)什么时候y随x的增大而增大?什么时候y随x的增大而减小? (2)什么时候函数有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少? 17．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像； （2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？ 18．能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 19．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 20．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D A A D B C D 1．【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，根据其顶点式可以判断得解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴其顶点为． 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：D． 3．【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式 解析式的性质，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标． 【详解】解：二次函数为， ，开口向上， 故A选项正确； 二次函数为， 对称轴为 ， 故B选项正确； 二次函数为， ，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 故C选项正确； 二次函数为的顶点坐标是， 故D选项错误． 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】根据式子的特点，利用完全平方公式变形即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了化二次函数一般式为顶点式，正确应用完全平方公式是解题关键． 5．【答案】A 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断，的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：A． 6．【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为． 7．【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、函数图象识别 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 8．【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 9．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称性和二次函数的增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若错误的数据是第一组数据，则抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同，即： ，故原说法错误； B、若错误的数据是第二组数据，则当时，随的增大而增大， ∴时的函数值大于时的函数值，即：，故原说法错误； C、若错误的数据是第三组数据，则抛物线的对称轴为直线，且在对称轴的左侧，随着的增大而减小， ∴时的函数值小于时的函数值，即：，故原说法正确； D、若错误的数据是第四组数据，则对称轴在轴的左侧，且在对称轴的右侧随着的增大而增大， ∴时的函数值小于时的函数值，即：，故原说法错误； 故选C． 10．【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 11．【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数在给定范围内的最值问题． 由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点横坐标在给定范围内，故最大值在顶点处取得． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为， 由于，且， 故当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：2． 12．【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查求函数解析式，根据抛物线的顶点坐标，可设解析式为顶点式，由开口向上可知，取即可得到解析式． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点为，且开口向上，因此可设其解析式为，其中．取，得解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13．【答案】3 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，a决定抛物线的开口大小和开口方向． 两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数． 【详解】解：∵的图像形状相同，开口方向相反， ∴． 故答案为：3． 14．【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， ∵函数图象开口向下， ∴当时，函数值y随x的增大而增大，此时的取值范围是． 故答案为： 15．【答案】4 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，可求出点B和点C的坐标，得到线段的长，由对称性可知，则当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，再根据的最小值等于，可建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，当时，， 当时，，整理得，即， 解得，， ∴，，， ∴； 由对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵的最小值等于， ∴， 解得， 故答案为：4． 16．【答案】(1)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 (2)当时，y有最大值，最大值是0 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质， （1）根据抛物线的开口方向和对称轴解答； （2）根据抛物线的开口方向判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的开口向下，对称轴是y轴， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）∵抛物线的图象开口向下， ∴函数有最大值，且当时，y有最大值，最大值是0． 17．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图像画法及二次函数图像的性质． （1）描点，连线，即可作答． （2）图像顶点为坐标原点；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．据此即可作答． 【详解】（1）如图： （2）相同点：开口方向都向上；顶点都是点；对称轴都是轴； 不同点：开口大小不同． 18．【答案】能；，沿y轴方向向下平移个单位 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式；抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有，将代入即可求解；掌握平移规律和解法是解题的关键． 【详解】解：能；理由如下： 设抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有 ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 即m沿y轴方向向下平移个单位； 故平移后新的抛物线对应的函数表达式为，沿y轴方向向下平移个单位． 19．【答案】(1) 如图所示：   ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； (2)上，3 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 20．【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $