精品解析：上海市回民中学2024-2025学年第二学期期中质量监测数学试卷

2024学年度高三年级第二学期期中质量监测 数学学科试卷 一、填空题（12题，满分54分） 1. 已知集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集运算直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故答案为： 2. 设抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可. 【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题. 3. 计算________（其中为虚数单位）. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算进行运算即可. 【详解】由题. 故答案为：. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理即可求解. 【详解】已知，即， 在中，由余弦定理可知，， 由于，所以. 5. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】已知，则有，， 由换底公式可知，， 所以. 6. 直线与直线的夹角大小为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 7. 收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关） 【答案】无关 【解析】 【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果. 【详解】零假设等价于两个变量相互独立， 所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关. 故答案为：无关 8. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】由已知结合奇函数的定义可求出及时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 若， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 当时，可得，显然不成立， 故的取值范围为或. 故答案为：或. 9. 用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要_______平方米铁皮 【答案】 【解析】 【分析】由柱体的体积公式可得，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可. 【详解】设圆柱形容器的底面半径为，高为， 所以圆柱形容器的体积为，所以， 所以圆柱形容器的表面积为：, 当且仅当，又，即时等号成立， 故至少需要平方米铁皮. 故答案为：. 10. 有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种. 【答案】60 【解析】 【分析】从5人中选1人两天都参加，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，并列式计算即得. 【详解】从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法， 所以不同安排方式共有（种）. 故答案为：60 11. 某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________. 【答案】134 【解析】 【分析】由题设信息，第一层有根，共有层，利用等差数列前n项和公式列出关系式，再借助整除的思想分析计算得解. 【详解】设第一层有根，共有层，则， ，显然和中一个奇数一个偶数， 则或或，即或或， 显然每增加一层高度增加厘米， 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米，超过米， 所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为根. 故答案为：134 12. 已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得，由正切函数性质可得随增大而增大，再由的临界值点得，代入利用二倍角的余弦求解即得. 【详解】设等差数列的公差为，，依题意，， 于是，整理得， 即，因此， 即有，则随增大而增大，而 当，时，到达时是临界值点，此时， 代入得，即，整理得， 而，解得，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析的临界值点是解决本问题的关键. 二、选择题（4题，满分18分） 13. 下列函数中，在区间上为严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用解析式直接判断单调性的方法，逐项分析得解. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上为严格增函数，D是. 故选：D 14. 已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项. 【详解】对于A，由，，则与可能平行，相交，异面，故A错误； 对于B，由，，则或，故B错误； 对于C，由，，则，故C正确； 对于D，由，，则或或，故D错误. 故选：C. 15. 某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】先利用古典概型分析的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解. 【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列： 、、、、、、、， 因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为， 一共有8个数，所以比大的数有两个，则， 对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意； 对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意； 对于C，因为， 所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意； 对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意. 故选：D. 16. 平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①正确，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【详解】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 三、解答题（5题，满分78分） 17. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，而平面，平面， 则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）连接，作于，证明平面，再计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，作于，由（1）知平面，平面，则， 而平面，则平面， 显然，，则， 而，于是≌，因此， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，在长方体中，； （1）求二面角的大小； （2）若点在直线上，求证：直线平面； 【答案】（1） （2）设，则设，， 所以，所以， 平面的法向量为， ，因为平面， 所以直线平面. 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. （2）设，求出，则，再由可证明直线平面. 【小问1详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为 所以， 所以二面角的大小为. 【小问2详解】 略 19. 盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； （1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； （2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 【答案】（1） （2）的分布为 期望 【解析】 【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【小问1详解】 第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为， 第一次取出红球，第二次取出红球的概率为， 第一次取出白球，第二次取出红球的概率为， 所有第二次取出的球是红球的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布为， 它的期望为， 它的方差为. 20. 已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求椭圆的方程； （2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标； （3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，再由，即可求出，从而得到椭圆方程； （2）依题意不妨取直线为，联立直线与椭圆方程，求出、点的坐标，从而求出、的坐标，再求出的重心坐标； （3）设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由直线的方程得，同理得到，由面积的关系得到，从而求出. 【小问1详解】 依题意，，又， 解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 因为命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题， 可以取直线为，由，解得或， 所以，， 则，所以，，所以， 设的重心为，则，， 所以，即的重心坐标为. 【小问3详解】 依题意可得直线的斜率存在、不为且斜率为负数， 设直线，，， 则直线：，令，得，同理可得：； 所以 设直线与轴交于点，则，所以，，， 因为，故得①， 由， 则，， 代入①得，解得， 所以，故直线的方程为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}； （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0； 【答案】（1）2 （2）4 （3） 证明：因为函数有上界，设， 假设存在，使得， 设， 因为，所以在上严格递增，进而， 得， 取，且， 由于，得到，① 由，得，② 显然①②两式矛盾，所以假设不成立， 即对任意，均有， 令，则， 因为当时，， 所以在上严格递增，， 因为的值域为， 所以函数的上确界为零. 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得； （2）求出的表达式，求导，再利用在上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可； （3）假设存在，由单调性可得，再取，且可得，推出①②互相矛盾，然后令，根据题意求出值域最后确定上确界即可. 【小问1详解】 因为函数在区间上严格递减， 所以函数的值域为， 所以函数的上确界为2. 【小问2详解】 ，， 因为记集合{在区间上是严格增函数}， 所以恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以的最大值为4. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛： （1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解； （2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取，再得到与当，得到矛盾. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度高三年级第二学期期中质量监测 数学学科试卷 一、填空题（12题，满分54分） 1. 已知集合，，则________. 2. 设抛物线的准线方程为__________. 3. 计算________（其中为虚数单位）. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则______． 5. 若，则______． 6. 直线与直线的夹角大小为_______． 7. 收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关） 8. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为_______． 9. 用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要_______平方米铁皮 10. 有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种. 11. 某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________. 12. 已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________. 二、选择题（4题，满分18分） 13. 下列函数中，在区间上为严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 16. 平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①正确，②正确 D. ①错误，②错误 三、解答题（5题，满分78分） 17. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 18. 如图，在长方体中，； （1）求二面角的大小； （2）若点在直线上，求证：直线平面； 19. 盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； （1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； （2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 20. 已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求椭圆的方程； （2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标； （3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积） 21. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}； （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $