精品解析：上海市卢湾高级中学2024-2025学年第二学期高三期中数学试卷

卢湾高级中学2024学年高三期中数学试卷 考生注意： 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分. 2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息. 3.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，集合，那么______. 2. 已知复数（为虚数单位），则______. 3. 在中，，，，则的外接圆半径为______. 4. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为______. 5. 已知，则_____________． 6. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为____．（结果中保留） 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为______. 8. 已知函数，若，则的最小值为______． 9. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为_______ 10. 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种. 11. 如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是______. 12. 如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 变量、之间呈正相关关系 B. 可以预测当时，的值为 C. D. 由表格中数据知样本中心点为 15. 已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知函数，其中. （1）求证：是奇函数； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小. 19. 某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. （1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； （3）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 20. 已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. （1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； （2）若，求直线的方程； （3）若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 21. 已知函数（为常数），记. （1）若函数在处的切线过原点，求实数的值； （2）对于正实数，求证：； （3）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卢湾高级中学2024学年高三期中数学试卷 考生注意： 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分. 2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息. 3.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，集合，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解． 【详解】因为集合,，集合或， 那么,． 故答案为：,． 2. 已知复数（为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法求得后，再根据复数的乘法计算． 【详解】由已知， 所以． 故答案为：2． 3. 在中，，，，则的外接圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理求解． 【详解】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以． 故答案为：1. 4. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求，，利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为点的坐标为，可得， 所以， 可得，， 所以点的坐标为， 故答案为：. 5. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将变形为的形式，再应用二项式定理求解即可. 【详解】， 由二项式定理得：， 所以. 故答案为：. 6. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为____．（结果中保留） 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用圆锥的侧面展开面积公式，弧长公式求出，然后利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 由该圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面得：，解得：， 又圆锥底面圆的周长等于圆锥的侧面展开半圆面的弧长：，解得：， 所以圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为：. 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出方程求得，得到且，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】由等差数列的公差为2，前项和为，若， 可得，解得， 所以，且， 因为，即，整理得，解得， 因为，所以使得成立的的最大值为. 故答案为：. 8. 已知函数，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解． 【详解】， 若，不妨设， 则， 所以，即， 所以，当且仅当，时，等号成立． 故答案为：． 9. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率． 【详解】解：，不妨令，，， ，， 又由双曲线的定义得：，， ，． ， ． 在△中，， ，，． 双曲线的离心率． 故答案为：． 10. 如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种. 【答案】72 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】下面分两种情况，即C，A同色与C，A不同色来讨论. （1）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种， C，A同色时，C的着色方法为1种，D的着色方法有2种. （2）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种. C与A不同色时C的着色方法有1种，D的着色方法有1种， 综上，两类共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(种). 故答案为：72 11. 如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出的面积函数，再利用导数求出值域即得. 【详解】依题意，设，则， 因此的面积，， 求导得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 因此，而，则， 所以面积的取值范围是. 故答案为： 12. 如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设，由正弦定理得，记为角， 所以，，， 所以 ， 若不是钝角，则 ， 又，所以，即， 所以， 设，则，，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， ， 时，，递减，时，递增， 所以时，，， 综上，， 此时． 故答案为：3． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断，利用对数函数性质和基本不等式确定偶函数的值域． 【详解】ACD三个选项中函数定义域是， 函数的定义域是，，为偶函数，由对数函数性质知其值域为，B符合； ，因此是奇函数，A不符； ，因此是偶函数，但，当且仅当时取等号，因此函数值域不是，C不符； ，是奇函数，D不符. 故选：B ． 14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 变量、之间呈正相关关系 B. 可以预测当时，的值为 C. D. 由表格中数据知样本中心点为 【答案】C 【解析】 【分析】利用回归直线方程可判断A选项；将代入回归直线方程可判断B选项；计算出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线方程，故变量、之间呈正相关关系，A对； 对于B选项，当时，，B对； 对于CD选项，，则， 故样本的中心点的坐标为， 另一方面，，解得，C错D对. 故选：C. 15. 已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由a，b为函数的两个零点可得，即可得、，由两边之和大于第三边，结合题意可得. 【详解】由为函数的两个零点，故有， 即恒成立， 故，，则，， 由a，b，c为某三角形的三边长，且， 故，且，则， 因为必然成立， 所以，即，解得， 所以， 故的取值范围是：. 故选：B. 16. 三棱锥各顶点均在半径为的球O的表面上，，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ） ①三棱锥的体积为；②点P形成的轨迹长度为． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断外心和外心的位置，利用垂直关系证明是中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断点轨迹是圆，判断②． 【详解】由题意知，故, 设外心为，则为BC的中点，设外心为，当P、O位于平面ABC同侧时，如图， 则平面，平面， 平面，平面，，， ，平面，平面， 又因为，则平面，即，，，四点共面， 则平面， 连接，则为二面角的平面角， 因二面角的大小为，， 而，， 因为平面，平面，故， 而，则， 在中，， 则，故， 即三点共线，且是的中点， 则，故①是真命题； 又因为， 则点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的优弧， 同理，当P、O位于平面ABC异侧时，点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截得的劣弧， 故轨迹长度为，故②真命题． 故选：A． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知函数，其中. （1）求证：是奇函数； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此是奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 证明：平面与直线相交于点，平面平面， 四边形是菱形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出平面，然后根据平面平面，利用线面平行的性质定理证出； （2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 19. 某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. （1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； （3）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 【答案】（1） （2） （3）先派出甲 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【小问1详解】 设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 所以； 【小问3详解】 若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为， 由（2）可知，， 若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为， 则， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． 20. 已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. （1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； （2）若，求直线的方程； （3）若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明：设，易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得.，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 【解析】 【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得； （2）设，由向量线性运算的坐标表示得出，再利用在椭圆上，可求出（或）的坐标，然后可得直线方程； （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标． 【小问1详解】 在椭圆 中，左、右顶点分别为， 设点，则 . 【小问2详解】 设，由已知可得，， 由得，化简得 代入可得， 联立解得 由得直线过点，， 所以，所求直线方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的直线过定点问题，一般可设直线与圆锥曲线的交点为，设出直线方程为或，直线方程代入圆锥曲线方程后化简整理后应用韦达定理得（或），代入题中关于交点的其他条件化简可得出（或）的关系，从而得出定点坐标． 21. 已知函数（为常数），记. （1）若函数在处的切线过原点，求实数的值； （2）对于正实数，求证：； （3）当时，求证：. 【答案】（1） （2） 设函数， 可得，其中， 则， 令，可得，即，即，解得， 令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 可得的最小值为，所以， 又由， 所以. （3） 当时，即证， 由于，所以，只需证， 令，只需证明， 又由， 因为，可得，令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也时最大值，所以， 即，即时，不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解； （2）设函数，求得，求得函数的单调性和最小值为，得到，即可得证； （3）根据题意，得到，结合，把转化为，设，利用导数求得的单调性和最大值，即可得证. 【小问1详解】 由题意，函数，且， 可得，则， 所以，又因为， 所以在处的切线方程为， 又因为函数在处的切线过原点，可得， 解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $