上海市回民中学2024-2025学年第二学期期中质量监测数学试卷

2024学年度高三年级第二学期期中质量监测 数学学科试卷 一、填空题（12题，满分54分） 1. 已知集合，，则________. 2. 设抛物线的准线方程为__________. 3. 计算________（其中为虚数单位）. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则______． 5. 若，则______． 6. 直线与直线的夹角大小为_______． 7. 收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关） 8. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为_______． 9. 用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为立方米，则至少需要_______平方米铁皮 10. 有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种. 11. 某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________. 12. 已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________. 二、选择题（4题，满分18分） 13. 下列函数中，在区间上为严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 16. 平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①正确，②正确 D. ①错误，②错误 三、解答题（5题，满分78分） 17. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 18. 如图，在长方体中，； （1）求二面角的大小； （2）若点在直线上，求证：直线平面； 19. 盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； （1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； （2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 20. 已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、. （1）求椭圆的方程； （2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标； （3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积） 21. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界；记集合{在区间上是严格增函数}； （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数一定义域为；若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0； 2024学年度高三年级第二学期期中质量监测 数学学科试卷 一、填空题（12题，满分54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】无关 【8题答案】 【答案】或 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】60 【11题答案】 【答案】134 【12题答案】 【答案】 二、选择题（4题，满分18分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1）证明：连接，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，而平面，平面， 则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面 . （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）设，则设，， 所以，所以， 平面的法向量为， ，因为平面， 所以直线平面. 【19题答案】 【答案】（1） （2）的分布为 期望 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）2 （2）4 （3） 证明：因为函数有上界，设， 假设存在，使得， 设， 因为，所以在上严格递增，进而， 得， 取，且， 由于，得到，① 由，得，② 显然①②两式矛盾，所以假设不成立， 即对任意，均有， 令，则， 因为当时，， 所以在上严格递增，， 因为的值域为， 所以函数的上确界为零. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $