上海市回民中学2025-2026学年第二学期高三数学期中质量调研试卷

回民中学2025学年高三数学期中质量调研试卷 考生注意： 1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码， 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上 的答案一律不予评分， 3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.己知集合A={1,2},B=1,3,a,若A三B,则a= 2.不等式2x-1<3的解集为 14 3.在x+ 的展开式中x2的系数为 4已知sna=3则cos2a= 5.已知二项式(1+x)”,其展开式中含x项的系数为 6各项为正的等比数列{a,}满足：4，=2，a,+4=12,则通项公式为a,= 7.正方体ABCD-ABC,D中，异面直线AB与DC,所成角的大小为 8.若函数g(x) [2-1,x≤0，为奇函数，则函数y=f(),x∈(Q,+切)的值域为 f(x),x>0 9设复数与5所对应的点为乙与Z,若=1+i,5=i5,则Z乙 10.已知抛物线T:y2=4x的焦点为F,准线为l,点M在T上，点N在1上，MN⊥1， ∠NM=30°，则点M的横坐标为 11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t(单) 7831 8225 8338 油费s(元) 107150 110264 110376 平均每单里程k(公里) 15 15 15 平均每公里油费a(元) 0.7 0.7 0.7 高三数学试卷共5页第1页 出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶 出租车行驶的总里程 率的模型u=f(t,5,k,a,并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%,则 x=.（精确到0.01) 12.已知平面向量a、万、c满足：同=园=0，=2，若(c-d)(c-=0,则a-的最 小值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设=∈C,则“==2”是“z∈R”的() A充分不必要条件： B必要不充分条件： C.充要条件： D.既不充分也不必要条件 14.已知实数a,b,c,d满足：u>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是A.a+d>b+c B.ad>bc C.a+c>b+dD.ac>bd 15.某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩X服从正态分布N(100,σ2) (试卷满分为150分).统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的3 则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为 A.350B.400C.450D.500 16.设数列{a}的前n项和为S,若存在非零常数c,使得对任意正整数n,都有2√Sn=a+c, 则称数列{a}具有性质p. ①存在等差数列{a}具有性质p;②不存在等比数列{a}具有性质p 对于以上两个命题，下列判断正确的是() A.①是真命题，②是真命题： B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题： D.①是假命题，②是假命题 高三数学试卷共5页第2页 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤. 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分). f(x)=sin(ax+o)(@>0). (1)某同学用“五点法”画函数y=f(x)的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ax+ 0 3π 2π 2 2 女 π 5π 2π 11π 6 12 3 12 sin(@x+) 0 1 -1 0 请在答题卷上将上表▲处的数据补充完整，并直接写出函数y=∫(x)的解析式： 2)设o=1.9=0:g(=f+J四/写-xc0别 求函数y=g(x)值域。 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分). 己知f(x)=sinx(o>0） (1若y=f()的最小正周期为2π，判断函数F(x)-f(x)+fx+ 的奇偶性，并说 2 明理由 (2)已知o=2,△ABC中，M,b,c分别是角A,B,C所对的边， 40. 若f a=2,b=3,求c的值. 19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分) 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式， 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工 人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟 的工人为“优秀”，否则为“合格”根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如 下茎叶图： 高三数学试卷共5页第3页 第一种生产方式 第二种生产方式 31 6 12355789 5221 > 0022478 443221 8 477 44322110 9 01 (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数： (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率： (3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列 联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？ nad-be)2 (x2= 其中n=a+b+c+d,P(x2≥3.841≈0.05). (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)， 已知辅r若·苦1，O为华标点 (1)求T的离心率e: (2)设点N(1,0),点M在I上，求MW的最大值和最小值； (3)点T(2,1),点P在直线x+y=3上，过点P且与OT平行的直线1与T交于A、B两 点.试探究：是否为存在常数2，使得PA:P8=P恒成立，若存在，求出该常数的值： 若不存在，说明理由. 高三数学试卷共5页第4页 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分). 函数y=f(x)、y=g(x)的定义域均为R,若对任意两个不同的实数a,b,均有 f(a)+g(b)>0或f(b)+g(a)>0成立，则称y=f(x)与y=g(x)为相关函数对. (1)判断函数f(x)=x+1与g(x)=-x+1是否为相关函数对，并说明理由： (2)已知f(x)=e与g(x)=-x+k为相关函数对，求实数k的取值范围： (3)已知函数y=f(x)与y=g(x)为相关函数对，且存在正实数M,对任意实数x∈R, 均有f(x≤M.求证：存在实数m,n(<n),使得对任意x∈(，n），均有 f)-g)上 2024 高三数学试卷共5页第5页 参考答案和评分标准 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.2;2.[-1,2]: 3.4: 4.cos 2a=1-2sin2a=1- 9 5.T41=C10x，令r=2,C0=45 6.【答案】4+a=☑4q+aq=12→q°+q-6=0→q=2或q=-3(舍)，故 a=4-1=27. 4 8.(0,1) 9.22=131=i-1,故22-31=-2， ZZ: 0z,-0z=2 10写： 11.20.68: 12.2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13.C;14.C: 15.B:16.B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分). 解：(1) wx+ 0 2 3π 2 2π π 5π 2π 11π x 12 6 2 3 12 sin(ox+) 0 1 0 -1 0 )-m2x+引 每空2分，解析式2分 (2)g(x)=sin2x+sinxsin =sin2x+sinx cosx 1 ...4分 2 4+2 因为x∈0， .6分 2 所以函数y=g(x)的值域为 a2+1 ...8分 2 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分). 【答案】(1)由 T=2n 知： 0=1 此时 F(x)=f(x)+fx+四 π sinx+sinx+ =sinx+cosx; 2 F(-x)+F(x)=sin(-x)+cos(-x)+sinx+cosx=2cosx0; F(x)-F(x)=sin(-x)+cos(-x)-sinx-cosx=-2sinx0, 所以F(x)非奇非偶 (2)@=2,f(x)=sin2x,fA+ =sim(2A+2织)=0，因为0<4<元，所以4= 3 3 6 6 由正弦定理得： 3 sinA sinB sinC →sinB 4 若B为锐角， sinc=sin[a-(4+B)]=sin(+B)=sin /cos B+c0s AsinB=3 24248 √7+35 此时c= 若B为钝角， sinC=sin -(4+B)=sin(4+B)=sinAcosB+cos AsinB √)33-√7+35 4 24 8 -V7+3√3 此时c= 2 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分). (1)40×75%=30,故取第30人和第31人时间的平均值 87+90-88.5: 2 (2)P= 20 (3) 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 2 10 12 合格 18 10 28 总计 20 20 40 n(ad-be)2 ≈7.619>3.841，故有95%的把握认为两种生产方式的工 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 作效率有显著差异 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分). 解：(1)设T的半长轴长为a,半焦距为c, 则a=√6，c=√5， .2分 所以e=￡=V② .4分 a 2 (2)设M(x,y): 1--r+-2-2或+2. …2分 因为-√6≤x≤6， .3分 所以当x=2时，MW取得最小值为√2， ...4分 当x=-√时，MW取得最大值为1+√6 6分 (3)设P(a,3-a),A(,4),B(x2,y2) 则直线y+3-。 B 2 .2分 P=2a-2y2, 3分 pa=(飞1-a,4-3+a）=3-a,21 1 a 2 1 a ps=(x2-a,y3-3+a)-x-a2-2 .4分 将直线1方程代入椭圆方程得x2+2(2-a)x+(2-a)-4=0 所以x+x=-2(2-a),3=(2-a}-4, 5分 .-a)--a(+x)+a2(2-a 6分 得a网， 所以存在无-；，使得P层网P可恒成立 .8分 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)· (1)若y=f(x)与y=g(x)不为相关函数对，则f(a)+g(b)≤0且f(b)+g(a)≤0， 则 f(a)+g(b)+f(b)+g(a)s0,所以只要f(a)+g(b)+f(b)+g(a)>0即可 当 f(x)=x+1 8(x)=-x+1 时 f(a)+g(b)+f(b)+g(a)=a+1-b+1+b+1-a+1=4>0, 所以函数f(x)=x+1与g(x)=-x+1是相关函数对； (2)因为f(x)=e与g(x)=-x+k为相关函数对，所以e-a+e°-b+2k>0 令t(x)=e-x,t(x)=ex-1,当x>0时，t(x)>0:当x<0时，t(x)<0,所以x=0 是极小值点，t(x)≥1，所以e-a+e-b+2k>2+2k≥0，所以k≥-1 1 (3)假设对任意m,n(m<m)均存在x∈(，n),均有f(x)+g(x)<- ,则取m∈Z； 2024 m=m+1,长em+),使得f)+g(k)<-。 2024 ,对任意i<j,x<x,,有 x)gk)+e水4 又函数y=f(x)与y=g(x)为相关 函数对，则①若f(x)+g(x)>0,则 1 f(x)+g(x)>fc,)-fx)→f(）fx)>-g,fc)> 2024 ；②若 f(x)+8(s)>0 则 f)+gc)>fx)-f)→fB）fx,)<8s+f)K- 1 2024 由①②知： )ea 由f()∈[-M,M]，将其分为很多个子区间，如 -M,-M+ 1 M+ 024-M+ 1 2 2 M+ 2024M+ 3 …则 2024 2024 2024 以上每个区间至多包含一个f(x),矛盾，假设不成立，故存在实数，n(<n),使得对任 意x∈(m,n),均有f(x)+g(x)≥ 2024