第二十五章 一元二次方程 单元培优检测试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元培优检测卷，通过选择（10题30分）、填空（5题15分）、解答（8题75分）覆盖方程定义、解法、根的判别式与韦达定理，结合股票涨跌、“哭哭马”销售等现实情境，体现数学思维与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、直接开平方法、配方法、根的判别式|基础巩固如方程定义判断，能力提升如错解分析（小明看错一次项系数）| |填空题|5/15|相反数与方程、方程根、韦达定理|简洁考查核心概念，如已知一根求另一根| |解答题|8/75|解方程、方程类型判断、根的证明、应用题（增长率、握手问题、利润问题）|创新应用如“平均数法”课题探究，现实建模如销售利润问题，体现模型观念与应用意识|

参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. 或  12.   13.   14.   15.   16. 【小题】 变形，得， 两边同时开平方，得， ， 【小题】 分解因式，得， 即， ， 【小题】 配方，得， 两边开平方，得， ， 【小题】 ， ， ，。  17. 【小题】 解：由题意，得当且时，方程是一元一次方程，所以． 【小题】 由题意，得当时，方程是一元二次方程，所以．  18. 【小题】证明： ， ， ， 方程总有两个不相等的实数根 【小题】  19. 【小题】 ，； 【小题】 ，．  20. ，． 详解：根据题中方法解该方程可得， ， ， 移项，得， 两边开平方，得， 解得，． 原方程可变形为，，移项，得，两边开平方，得，解得，． 原方程可化简为，变形，得，，移项，得，两边开平方，得，解得，．  21. 【小题】 【小题】 实数，满足，，且，实数，是关于的方程的两个不相等的实数根．，． 【小题】 当时，，，，又，，是关于的方程的两个不相等的实数根．．  22. 【小题】 【小题】 解：由题意，得，即， 解得，舍去． 答：参加聚会的人数为人； 【小题】 由线段上上共有个点不含端点，，则相当于聚会人数为，则根据公式即可写出线段数为； 【小题】 ，解得． 即边数的值为．  23. 【小题】 解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为根据题意，得，解得，不合题意，舍去答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 【小题】 设该组合套装的售价为元，则月销售量为套根据题意，得，解得，不合题意，舍去答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章一元二次方程单元培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为(    ) A. B. C. D. 无法确定 3.用直接开平方的方法解方程做法正确的是(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 5.若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 6.若方程的两个根是，，则多项式可因式分解为(    ) A. B. C. D. 7.解下列方程：；；；用较简便的方法依次是  (    ) A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 直接开平方法，公式法，、因式分解法 C. 因式分解法，公式法，配方法，因式分解法 D. 直接开平方法，、公式法，因式分解法 8.若，为方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，小刚看错了常数项，得到的解为，则原来的方程是(    ) A. B. C. D. 10.股票每天的涨、跌幅度均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若代数式与互为相反数，则的值为          ． 12.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为          ． 13.若方程的一根为，则它的另一根为          ． 14.若，是一元二次方程的两个实数根，则          ． 15.在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享经过两轮分享后，共人掌握此技巧若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给          人 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题10分）用适当的方法解下列方程： 。 17.本小题分 已知关于的方程． 当为何值时，此方程是一元一次方程 当满足什么条件时，此方程是一元二次方程 18.本小题分 已知关于的一元二次方程 求证：方程总有两个不相等的实数根 若、是方程的两根，且，求的值 19.本小题分 我们知道，所以方程可化为的形式，所以或，解得，． 请仿照上面的方法解下列方程： ； ． 20.本小题分 课题探究 课题 “平均数法”解一元二次方程 示例 解方程：． 解：原方程可变形为， 移项，得， 两边开平方，得， 解得 我们把这种解法叫作“平均数法” 应用 下面是用“平均数法”解方程的过程： 解：原方程可变形为， 移项，得， 两边开平方，得____ 上述解题过程中，，____，方程的解为____． 用“平均数法”解下列方程： ； 21.本小题分 阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：与的和，与的积． 根据上述材料，解决以下问题：           ，          ． 已知实数，满足，，且，求的值； 已知实数，满足，，且，求的值． 22.本小题分 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手次． 若参加聚会的人数为，则共握手          次；若参加聚会的人数为，则共握手          次；若参加聚会的人数为为正整数，则共握手          次； 若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数； 嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点不含端点，，线段总数为多少呢？请直接写出结论； 小明想到另一个数学问题：若边形的边数增加，对角线总数增加，求边数的值． 23.本小题分 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． 求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． 从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经尝试，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $