专题1 配方法的妙用 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“配方法的妙用”核心知识点，系统梳理从利用配方法解一元二次方程，到求参数值、比较二次三项式大小、判断代数式正负或最值，再到构造非负式解决综合问题的递进脉络，搭建从基础应用到综合拓展的学习支架。 该资料通过“错误辨析+分层题型”设计，如解方程步骤纠错任务、结合等腰三角形求周长的参数问题，培养学生推理意识与抽象能力。课中助力教师突破教学难点，课后详细解析便于学生自主查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题1配方法的妙用2026-2027学年人教版九年级数学上册 类型一利用配方法解方程 1.用配方法解方程： (1)x-2x=3; (2)X2-3x-7=0; 4 (3)x2-2V2x=-2 2.阅读下列解答过程，并完成相应任务. 解方程：2X+6x-5=0解：移项，得2x+6x=5:①二次项系数化为1，得X+3x②配 方烟+3x+导号@x+号是9@3,3 2 ⑤ 第1页，共1页 任务： (1)上述过程从步骤 填序号，开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程 第2页，共1页 类型二利用配方法求参数值 3.已知一元二次方程x2+6x+n=0可以配方成(x+m2=5,则以m,n为两边长的等腰三角形的 周长为 4.已知方程x2-6x+q=0可转化为x-3=±V7,则q= 5.若方程x2-2x+m=0可以配方成(x-n2=6,则方程x-2x+m=3的根为 6.将方程x2-12x-13=0化为x-m2=n的形式，其中m,n是常数，则m+n= 7.若代数式x2+(k2-1)x+9是完全平方式，则k的值为 类型三利用配方法比较两个二次三项式的大小 8.若M=2x2-12x+17,N=x2-8x+11,试比较M与N的大小 第3页，共1页 9.已知A=2x2-3x+2,B=x-x-1. (1)若3B-A=0,请求出x的值： (2)请比较A与B的大小，并说明理由. 类型四利用配方法判断代数式的正负或求最值 10.戴老师提出问题：求代数式x+4x+5的最小值要求同学们运用所学知识进行解答. 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x+4x+5=x2+4x+22-2+5=(x+22+1. .(x+22≥0' ∴.（x+22+1≥1' .当(x+2P=0时，(x+2P+1的值最小，最小值是1. 即x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. (1(x-1尸+3的最小值为 第4页，共1页 (2求代数式x+10x+32的最小值。 (3)你认为代数式X+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值。 (4若7x-X+y-11=0求x+y的最小值. 11.已知多项式-2x+5x+3. (1)将它配成a(x+mP+n的形式： (2)求多项式的最大值： 类型五利用配方法构造非负式求最值或求值 12.(1)求代数式x+y+2x+10y+37的最小值. 第5页，共1页 (2)已知△ABC的三边长ab'c都是正整数，且满足a2+2b-2ab=8b-16'当c=5时，求 △ABC的周长. 13.（1)【解决问题】(1)已知m2+n2-12n+10m+61=0,求(m+n)228的值； (2)【拓展应用】(2)已知a'b,c是AABC的三边长，且b,c满足b2+c2=8b+4c-20'a是 △ABC中最长的边，求，的取值范围. 第6页，共1页 答案和解析 1.【答案】【小题1】 解：整理，得x2-2x=3, 配方，得x-12=4, ∴.x-1=±2' ∴.X1=3’X2=-1 【小题2】 解：整理， 得x2-3x-7=0, 4 配方，利x-多=4， *多2 【小题3】 解：整理，得x2-2V2x+2=0, .(x-2)2=0' .X1=x2=V2 2.【答案】【小题1】 ③ 配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边没有加 第7页，共1页 【小题2】 移项，得2x+6x=5. 二次项系数化为1，得x+3x=5 配方，得x2+3x+9=19, 44 x+- 4 2· x=3+19, k,=3-9. 2 2 3.【答案】10或11 【解析】方程x2+6x+n=0配方，得(x+32=9-n, .m=3'9-n=5即n=4 当3为等腰三角形的腰长时，三边长分别为3,3,4，则周长为3+3+4=10； 当4为等腰三角形的腰长时，三边长分别为3,4,4，则周长为3+4+4=11. 故答案为10或11. 4.【答案】2 【解析】 解：由x-3=±7，得x-3=7, 第8页，共1页 ∴.x2-6x+9=7’ ∴.x2-6x+2=0' ∴.q=2' 故答案为2. 5.【答案】x1=4,x2=-2 【解析】 解：方程x2-2x+m=0可以配方成(x-n=6, 得到x2-2x+m=x2-2x+n2-6, .∴.-2n=-2'm=n2-6 解得m=-5,n=1, 所求方程化为x2-2x-5=3,即x2-2x=8, 配方，得x2-2x+1=9, 即(x-12=9, 开方，得x-1=±3， 第9页，共1页 解得x1=4,x2=-2 故答案为X1=4,X2=-2, 6.【答案】55 7.【答案】±V7 8.M-N=(2x2-12x+17)-(x2-8x+11) =x2-4x+6 =(x-2P+2' .(x-22≥0 ∴.(x-2}2+2>0 .M-N>0' 即M>N; 9.【答案】解：（1)：3B-A=0, .∴.3x2-x-1）-(2x2-3x+2)=0' .x2-5=0 .x2=5' .x=±V5 第10页，共1页 答：x的值为±5； (2)A>B?理由如下： A-B=2x2-3x+2-(x2-X-1） =x2-2X+3 =(x-12+2' .(x-12≥0' .∴.A-B=（x-12+2≥2>0 .'.A>B' 10.【答案】【小题1】 3 【小题2】 x2+10x+32 =x2+10x+52-52+32 =(x+52+7: .(x+52≥0' ∴.(x+5}2+7≥7： :.当(x+52=0时，(x+52+7的值最小，最小值为7 即x2+10x+32的最小值为7. 第11页，共1页 【小题3】 有最大值 +2x6 =r-6x+9+8 x-9r8 -x-3s0 号x-3+8≤8. 当x3-0时，代数式×+2x+5有最大值，最大值为8。 【小题4】 .7x-x+y-11=01 .y=x2-7x+11 ∴.x+y=x2-7x+11+x =x2-6x+11 =x2-6x+32-32+11 =x-3}2+2 .(x-3)2≥0 ∴.（x-3)2+2≥2 .当(x-3}=0时，(x-3}+2的值最小，最小值为2 即x+y的最小值为2 第12页，共1页 11.【答案】解：(1)-2x2+5x+3 -2-x-昌 以治 =-2x+3 8 =2x-9 8 2:x-2≥0， -2x7≤0 -21x-+智号 9 ∴多项式的最大值为 8 12.【答案】 【小题1】 x2+y2+2x+10y+37 =x+2x+1+y+10y+25-1-25+37 =x+12+y+5)2+11' .(x+12≥0'（y+52≥0' ∴.(x+1)2+(y+5)2+11≥11' .X2+y2+2x+10y+37的最小值为11 第13页，共1页 【小题2】 .a2+2b2-2ab=8b-16' ∴.a2-2ab+b2+b2-8b+16=0' 即(a-b2+(b-42=0, .(a-b)2≥0'(b-42≥0' ∴.a-b=0’b-4=0 ∴.a=b=4, .c=5) .△ABC的周长为4+4+5=13 13.【答案】 【小题1】 .m2+n2-12n+10m+61=0' ∴.(m2+10m+25)+(n2-12n+36)=0' ∴.(m+52+(n-62=0 .∴.m+5=0'n-6=0 解得m=-5,n=6. ∴.(m+n2028=(-5+62028=1 第14页，共1页 【小题2】 .b2+c2=8b+4c-20' ∴.b2+c2-8b-4c+20=0' .(b2-8b+16)+(c2-4c+4)=0 ∴.(b-4)2+(c-2}2=0 .b-4=0'c-2=0' 解得b=4,c=2 :a是△ABC中最长的边， .4≤a<2+4' 即a的取值范围为4≤a<6. 第15页，共1页