专题03 配方法的应用（11种题型）（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

专题03 配方法的应用（11种题型） 1.熟练运用配方法解一元二次方程 2.能够运用配方法求最值 3.能够运用配方法确定代数式的取值范围，或求值 4.能够运用配方法判定三角形的形状等。 一、配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成一个完全平方式的和的形式，这种解题法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具； 配方法的实质在于改变原有式子的结构，是变形求解的一种手段，运用配方法解题的关键在“配凑”，“拆项”和“添项”是配方法常用的技巧。 题型01配方法解方程 【典例】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【变式】（2025秋•丰润区期末）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，即．③ 开方，得．④ ，．⑤ （1）小聪的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的，错误的原因是　 　 ； （2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 题型02配方法求代数最值 【典例】（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 题型03利用配方法进行代数证明 【典例】证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【变式】（2025·安徽滁州·二模）已知三个实数a，b，c满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型04配方法求几何图形中的最值问题 【典例】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【变式】（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 题型05配方法比较大小 【典例】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【变式】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 题型06利用配方法构成非负数求值 【典例】（2025秋•龙海区期中）若实数x，y，m满足x2﹣2xy﹣6y＝2+m，2y2+4xy+13＝2﹣m，则m的值是（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【变式】已知：a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b+c的值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型07利用配方法判定三角形的形状 【典例】（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【变式】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：分解因式 ； （2）把写成后，求出的值； （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 题型08完全平方式中的配方 【典例】（24-25八年级上�河南新乡�阶段检测）若多项式是完全平方式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 题型09配方法与根的判别式综合运用 【典例】（2025•黄州区模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则　．　 【变式】（2025秋•茂名期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0，1﹣4+3＝0，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 　 　 ； ①x2+2x﹣3＝0 ②x2﹣3x＝0 ③x2+1＝0 ④x（x﹣1）＝2（x﹣1） （2）求证：“美好方程”ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）若美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，求证：a+c＝2b． 题型10配方法因式分解 【典例】阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：根据以上材料，解答下列问题： （1）用配方法将化成的形式，则 ________； （2）用配方法和平方差公式把多项式进行因式分解； （3）对于任意实数x，y，多项式的值总为______（填序号）． ①正数②非负数 ③ 0 【变式】阅读材料： 把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）． 这种解法就叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）4x4+y4； （2）x2﹣2ax﹣b2+2ab； （3）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn． 题型11配方法化简二次根式 【典例】配方法是一种常用的数学方法，用配方法将6﹣2写成平方形式的方法是：6﹣25+1﹣2（）2+（）2﹣2（1）2．利用这个方法解决： （1）5+2（　　）2，5﹣2（　　）2； （2）化简； （3）当1≤x≤2时，化简． 【变式】（2025春•浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 3．将代数式配方成形式为（    ） A． B． C． D． 4．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 6．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 7．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 8．（25-26山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 9．（25-26九年级上·海南海口·期中）阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 10．（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若，则的值为_____． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，当________时，的最大值是________． 6．阅读理解：求代数式x2+4x+8的最小值． 解：因为x2+4x+8＝(x2+4x+4)+4＝(x+2)2+4≥4，所以当x＝﹣2时，代数式x2+4x+8有最小值，最小值是4．仿照上述解题过程求值． (1)应用：求代数式m2+2m+3的最小值． (2)拓展：求代数式﹣m2+3m+的最大值． 7．（24-25九年级上·广东佛山·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：； ； ； 是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，将二次三项式配成完全平方式（直接写出两种形式）； (2)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (3)已知，求当x、y分别取什么值时，取最小值，最小值是多少？ 8．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 9．（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 10．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 配方法的应用（11种题型） 1.熟练运用配方法解一元二次方程 2.能够运用配方法求最值 3.能够运用配方法确定代数式的取值范围，或求值 4.能够运用配方法判定三角形的形状等。 一、配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成一个完全平方式的和的形式，这种解题法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具； 配方法的实质在于改变原有式子的结构，是变形求解的一种手段，运用配方法解题的关键在“配凑”，“拆项”和“添项”是配方法常用的技巧。 题型01配方法解方程 【典例】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方法的步骤，配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握一除、二移、三配方的步骤，是解题的关键． 【变式】（2025秋•丰润区期末）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，即．③ 开方，得．④ ，．⑤ （1）小聪的解答过程是从第　③　 步开始出现错误的，错误的原因是　配方时方程右边没有加1　 ； （2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0． 【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解． 【解答】解：（1）小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加1； 故答案为：③；配方时方程右边没有加1； （2）原方程移项得2x2﹣4x＝5， 二次项系数化为1得， 配方得，即， 开方得， 所以，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 题型02配方法求代数最值 【典例】（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【答案】(1)2 (2)有最大值，最大值为12 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答； （2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值． 【详解】（1）解：． ， ， 的最小值是2． （2）． ， ， 有最大值，最大值为． 题型03利用配方法进行代数证明 【典例】证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【答案】见详解 【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解． 【详解】解：由关于x的方程可知： ， ∵， ∴， ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【变式】（2025·安徽滁州·二模）已知三个实数a，b，c满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理得到，代入，即可判断，再将代入即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上：， 故选：D． 题型04配方法求几何图形中的最值问题 【典例】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 【变式】（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 题型05配方法比较大小 【典例】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 【变式】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： （25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 题型06利用配方法构成非负数求值 【典例】（2025秋•龙海区期中）若实数x，y，m满足x2﹣2xy﹣6y＝2+m，2y2+4xy+13＝2﹣m，则m的值是（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【分析】将两个方程相加消去m，并通过配方法得到关于x和y的完全平方形式，从而求出x和y的值，再代入原方程求解m，通过相加消元并配成完全平方． 【解答】解：两式相加可得：x2﹣2xy﹣6y+2y2+4xy+13＝4， 整理可得：x2+2y2+2xy﹣6y+9＝0， ∴（x+y）2+（y﹣3）2＝0， ∵（x+y）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴x+y＝0且y﹣3＝0， 解得：x＝﹣3，y＝3， ∴（﹣3）2﹣2×（﹣3）×3﹣6×3＝2+m， 解得：m＝7， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用，完全平方公式的应用，利用非负性求出变量值，是解决此类问题的常用方法． 【变式】已知：a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b+c的值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算． 【详解】解：由a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17得 a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a+11＝0， ∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0， ∴a＝3，b＝﹣1，c＝1， a+b+c＝3． 故选：B． 【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 题型07利用配方法判定三角形的形状 【典例】（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【答案】（1）为等腰三角形；（2）为等边三角形 【分析】（1）将等式移项为，再整理得，后两项提取公因式，再进行因式分解得到，根据可得，即可得出结论； （2）将等式整理为，根据完全平方公式得出，则，，，即可得出结论． 【详解】解：等式， 移项得， 整理得， 即， 分解因式得， 由，可得，即， 则为等腰三角形． （2）， ， ， ，，， ，，， ， 为等边三角形 【点睛】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． 【变式】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：分解因式 ； （2）把写成后，求出的值； （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）直接利用完全平方公式变形得出答案； （2）通过配方后，化为的形式，再=，即可得出答案； （3）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出a，b，c的关系，进而得出△ABC的形状． 【详解】解：（1）4a2-4a+1=（2a-1）2； 故答案为：； （2）解： ， （3）解： ，， 即． 为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键． 题型08完全平方式中的配方 【典例】（24-25八年级上�河南新乡�阶段检测）若多项式是完全平方式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式的应用：根据，即可作答． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴ ∴ 故选：C 【变式】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 题型09配方法与根的判别式综合运用 【典例】（2025•黄州区模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则　．　 【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比． 【解答】解：∵方程有实根， ∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0， 化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0， ∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0， ∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力． 【变式】（2025秋•茂名期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0，1﹣4+3＝0，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 　①④　 ； ①x2+2x﹣3＝0 ②x2﹣3x＝0 ③x2+1＝0 ④x（x﹣1）＝2（x﹣1） （2）求证：“美好方程”ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）若美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，求证：a+c＝2b． 【分析】（1）根据美好方程的定义，看出，当a+b+c＝0时，方程有一个根为x＝1，分别代入计算即可． （2）根据美好方程的定义，看出，当a+b+c＝0时，方程有一个根为x＝1，利用根的判别式计算判断即可． （3）根据美好方程的定义，计算判断即可． 【解答】（1）解：方程x2+2x﹣3＝0，1+2﹣3＝0，方程①是美好方程； 方程x2﹣3x＝0，1﹣3＝﹣2≠0，方程②不是美好方程； 方程x2+1＝0，1+1＝2≠0，方程③不是美好方程； 方程x（x﹣1）＝2（x﹣1），整理，得x2﹣3x+2＝0，1﹣3+2＝0，方程④是美好方程； 故答案为：①④； （2）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0， ∴a+b+c＝0， ∴﹣b＝a+c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴美好方程ax2+bx+c＝0总有两个实数根； （3）证明：方法1∵美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根， ∴（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b）＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0， ∴c2﹣2ac+a2﹣4ab+4b2+4ac﹣4bc＝0， ∴c2+2ac+a2﹣4ab﹣4bc+4b2＝0， ∴（c+a）2﹣2（a+c）⋅（2b）+（2b）2＝0， ∴（c+a﹣2b）2＝0， 故c+a﹣2b＝0， 故a+c＝2b． 方法2 将x＝1代入美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0，得： 左边＝（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b），右边＝0， ∵美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根， ∴（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b）＝0， ∴x＝1是美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0的一个根， ∴方程的另一个根也是x＝1， ∴， ∴a﹣b＝b﹣c， ∴a+c＝2b． 【点睛】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式，正确理解美好方程的定义是解题的关键． 题型10配方法因式分解 【典例】阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：根据以上材料，解答下列问题： （1）用配方法将化成的形式，则 ________； （2）用配方法和平方差公式把多项式进行因式分解； （3）对于任意实数x，y，多项式的值总为______（填序号）． ①正数②非负数 ③ 0 【答案】（1）；（2）；（3）① 【分析】（1）根据材料所给方法解答即可； （2）材料所给方法进行解答即可； （3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答. 【详解】解：（1） = . （2）原式= = = =． （3） = = ＞11 故答案为①. 【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键. 【变式】阅读材料： 把x4+4分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）． 这种解法就叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）4x4+y4； （2）x2﹣2ax﹣b2+2ab； （3）（m2﹣1）（n2﹣1）+4mn． 【分析】（1）添加4x2y2，同时减去4x2y2，则可构建完全平方公式，然后利用平方差公式分解因式； （2）先分组，然后用提公因式法分解因式； （3）先展开，再把4mn分成2个2mn，这样构建两个完全平方公式，然后利用平方差公式分解因式． 【解答】解：（1）原式＝4x4+4x2y2+y4﹣4x2y2 ＝（2x2+y2）2﹣4x2y2 ＝（2x2+y2﹣2xy）（2x2+y2+2xy）； （2）原式＝x2﹣b2﹣2ax+2ab ＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b） ＝（x﹣b）（x+b﹣2a）； （3）原式＝m2n2﹣m2﹣n2+1+4mn． ＝m2n2+2mn+1﹣（m2﹣2mn+n2） ＝（mn+1）2﹣（m﹣n）2 ＝（mn+1+m﹣n）（mn+1﹣m+n）． 【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法：灵活运用完全平方公式和平方差公式是解决问题的关键． 题型11配方法化简二次根式 【典例】配方法是一种常用的数学方法，用配方法将6﹣2写成平方形式的方法是：6﹣25+1﹣2（）2+（）2﹣2（1）2．利用这个方法解决： （1）5+2（　　）2，5﹣2（　　）2； （2）化简； （3）当1≤x≤2时，化简． 【分析】（1）把5拆为（）2+（）2，然后利用完全平方公式进行解答； （2）把11拆为（）2+（）2，把7拆为（）2+（）2，然后利用完全平方公式进行解答； （3）先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：（1）：5+22+3+2（）2+（）2+2（）2． 5﹣22+3﹣2（）2+（）2﹣2（）2． 故答案是：；； （2）， ， ， ； （3）∵1≤x≤2， ∴， ， 1+1， ＝2． 【点睛】本题考查了配方法的应用，二次根式的化简求值．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【变式】（2025春•浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 【分析】（1）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简即可； （2）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简，最后分母有理化即可． 【解答】解：（1）①∵3+1＝4，3×1＝3，即，， ∴； ②∵15+4＝19，15×4＝60，即，， ∴； （2）原式 ＝1． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和分母有理化． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 3．将代数式配方成形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据配方法可以解答本题． 【详解】解：由题意得： 故选C. 【点睛】本题考查配方法的应用，解题关键在于把二次项的系数提取出来之后进行配方即可. 4．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 6．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 7．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 9．（25-26九年级上·海南海口·期中）阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，多项式有最小值，最小值为5 【分析】本题考查了配方法的应用，熟悉掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法解答即可； （2）利用配方法因式分解即可； （3）利用配方法，先把原式化为，再利用平方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： 故答案为：25； （2）解： ； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为5． 10．（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】(1)，； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法的应用，求代数式的值． 移项后配方，利用完全平方式的非负性求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 5．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，当________时，的最大值是________． 【答案】 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 【详解】解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 6．阅读理解：求代数式x2+4x+8的最小值． 解：因为x2+4x+8＝(x2+4x+4)+4＝(x+2)2+4≥4，所以当x＝﹣2时，代数式x2+4x+8有最小值，最小值是4．仿照上述解题过程求值． (1)应用：求代数式m2+2m+3的最小值． (2)拓展：求代数式﹣m2+3m+的最大值． 【答案】(1)2；(2)3 【分析】（1）利用配方法，仿照上面的例子将代数式配方，求最小值即可， （2）利用配方法，仿照上面的例子将代数式配方，求最大值即可． 【详解】(1)m2+2m+3＝(m2+2m+1)+2＝(m+1)2+2≥2， 所以当m＝﹣1时，代数式m2+2m+3有最小值，最小值是2， (2)﹣m2+3m+＝﹣(m2﹣3m+)++＝﹣(m-)2+≤3， 所以当m＝时，代数式﹣m2+3m+有最大值，最大值是3． 【点睛】本题考查配方法的应用，正确掌握配方法是解题的关键． 7．（24-25九年级上·广东佛山·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：； ； ； 是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，将二次三项式配成完全平方式（直接写出两种形式）； (2)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (3)已知，求当x、y分别取什么值时，取最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)，； (2)等边三角形，理由见解析； (3)当时，有最小值，为． 【分析】（1）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可； （2）对式子进行变形，利用平方非负性的性质得出a、b、c的关系，即可求解； （3）对进行配方，进而求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：为等边三角形，理由如下： ， 即， 即，， 解得， ∴为等边三角形； （3）解： 当时，有最小值，为， 此时，解得 综上，当时，有最小值，为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，正确读懂题目中的阅读材料，掌握完全平方公式的变形是关键． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 9．（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 10．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)8，10 (2)6 (3)5 (4) 解：设，（a、b、c、d为整数）， ∴， ． 又∵a、b、c、d为整数， ∴，均为整数， ∴是“雅美数”． 【分析】本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可． 【详解】（1）解：8是“雅美数”，理由：因为； 10是“雅美数”，理由：因为． 故答案为：8，10． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：6． （3）解：， 又∵，， ∴ ∴， ∴． （4）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $