专题09 多边形和圆的初步认识 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题09 多边形和圆的初步认识 暑假预习讲义 ✺知识框架 多边形初步：多边形定义→基本元素（顶点、边、内角、对角线）→凸/凹多边形区分→正多边形定义与特征→对角线数量规律 圆的初步：圆的基础定义→核心元素（圆心、半径、弦、直径、弧、圆心角、扇形）→元素辨析与关系→扇形圆心角计算 ✅ 本节分为多边形、圆两大模块。重点掌握多边形定义、正多边形判定、对角线公式；熟练识别圆的各类元素，掌握扇形圆心角计算。 ✺学习目标 基础知识：掌握多边形、正多边形、圆及扇形的基础概念，熟记对角线公式、扇形圆心角计算方法。 能力提升：能准确辨析易混几何概念，会套用公式解决基础计算题型。 ✺题型归纳 题型1.多边形的概念与分类 题型2.多边形截角后的边数问题 题型3.多边形的周长 题型4.网格中多边形面积比较 题型5.多边形对角线的条数问题 题型6.对角线分成的三角形个数问题 题型7.圆的基本概念辨析 题型8.圆的周长和面积问题 题型9.圆心角概念辨析及简单运算 题型10.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、多边形相关知识 1.多边形的定义 在同一平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做多边形。 多边形按边数命名，由n条边组成的多边形称为n边形（n≥3，且n为正整数，三角形是最简单的多边形）。 多边形四要素：同一平面、线段围成、首尾相接、封闭图形。 2.多边形的基本构成元素 任意n边形均具备n个顶点、n条边、n个内角，各元素定义规范如下： 顶点：多边形相邻两条边的公共端点； 边：围成多边形的每一条线段； 内角：多边形相邻两条边所组成的角； 对角线：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。 3.正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形，叫正多边形。 例：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形。 4.凸多边形与凹多边形 凸多边形：将多边形任意一条边向两端延长成直线，多边形整体都在这条直线的同一侧。 凹多边形：延长多边形任意一条边，存在部分顶点分居直线两侧，多边形至少有一个内角大于180°。 知识点二、多边形的对角线 1.概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线。 2.n边形的对角线 从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三角形。 ▲由上图可知，从n（n≥3）边形一个顶点出发，可作(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形。 n边形总对角线条数： 示例：五边形：一个顶点2条对角线，总对角线5条；六边形：一个顶点3条对角线，总对角线9条 知识点三、圆、扇形的相关知识 1.圆的基础定义 在平面内，到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合叫做圆。 其中，圆心o确定圆的位置，半径r确定圆的大小，二者是确定一个圆的两个必备条件。 2.圆的核心基础元素 弦：连接圆上任意两个点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弧：圆上任意两点之间的部分，分为劣弧（小于半圆）、半圆、优弧（大于半圆）； 圆心角：顶点在圆心，且两边分别与圆相交的角； 扇形：由一条弧和经过这条弧两个端点的两条半径所围成的封闭图形。 3.扇形圆心角及面积的计算 （1）圆心角度数：因为一个周角为360°，所以将一个圆分成的几个扇形的圆心角的度数之和等于360°。一个扇形圆心角的度数=360°×这个扇形圆心角占周角的百分比。 （2）扇形的面积：半径为R的圆，其面积S=π，将圆分为360个小扇形，则每个圆心角为1°的小扇形的面积是，所以圆心角为的扇形面积为n 知识点四、易错提醒 1.多边形必须是线段围成的封闭图形，圆形、椭圆等曲线图形不是多边形。 2.正多边形必须边、角同时相等，缺一不可。 3.对角线公式易混淆：单顶点对角线n-3，总对角线是，切勿漏除2。 4.直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆。 5.圆心角的顶点必须在圆心，顶点在圆上的角不是圆心角。 ✺题型精讲 题型1.多边形的概念与分类 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是__________． 3．仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 题型2.多边形截角后的边数问题 1．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 2．一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 3．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    题型3.多边形的周长 1．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 2．如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 3．一个正八边形的边长为5．则它的周长为__________． 题型4.网格中多边形面积比较 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：_____(填“>”，“=”或“<”) . 3．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 题型5.多边形对角线的条数问题 1．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是______条． 3．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 题型6.对角线分成的三角形个数问题 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 2．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 3．学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 题型7.圆的基本概念辨析 1．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 2．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 3．将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 题型8.圆的周长和面积问题 1．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 2．钟面上分针长4厘米，1小时它的尖端经过_____厘米（取3.14）． 3．如下图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘．已知大、小圆盘的直径都是整厘米数，涂色部分的面积为，求大、小圆盘的半径． 题型9.圆心角概念辨析及简单运算 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 3．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 2．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形，那么这个多边形是（   ）边形 A． B． C． D． 4．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 5．在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．过四边形的一个顶点可以画___________条对角线，它们将四边形分成___________个三角形；四边形共有___________条对角线． 7．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 8．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 9．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________． 三、解答题 10．圆的有关概念： (1)圆的两种定义方式： （a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做　　　　　．线段叫做　　　　． （b）圆是所有点到定点的距离　　　　　　定长的点的集合． (2)弦：连接圆上任意两点的　　　　　　叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； (3)弧：圆上任意两点间的部分叫　　　　　　（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） (4)等弧：在同圆与等圆中，能够　　　　　　的弧叫等弧． (5)等圆：能够　　　　　　的两个圆叫等圆，半径　　　　　　的两个圆也叫等圆． 11．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 12．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09多边形和圆的初步认识 暑假预习讲义 ✺知识框架 多边形初步：多边形定义→基本元素（顶点、边、内角、对角线）→凸/凹多边形区分→正多边形定义与特征→对角线数量规律 圆的初步：圆的基础定义→核心元素（圆心、半径、弦、直径、弧、圆心角、扇形）→元素辨析与关系→扇形圆心角计算 ✅ 本节分为多边形、圆两大模块。重点掌握多边形定义、正多边形判定、对角线公式；熟练识别圆的各类元素，掌握扇形圆心角计算。 ✺学习目标 基础知识：掌握多边形、正多边形、圆及扇形的基础概念，熟记对角线公式、扇形圆心角计算方法。 能力提升：能准确辨析易混几何概念，会套用公式解决基础计算题型。 ✺题型归纳 题型1.多边形的概念与分类 题型2.多边形截角后的边数问题 题型3.多边形的周长 题型4.网格中多边形面积比较 题型5.多边形对角线的条数问题 题型6.对角线分成的三角形个数问题 题型7.圆的基本概念辨析 题型8.圆的周长和面积问题 题型9.圆心角概念辨析及简单运算 题型10.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、多边形相关知识 1.多边形的定义 在同一平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做多边形。 多边形按边数命名，由n条边组成的多边形称为n边形（n≥3，且n为正整数，三角形是最简单的多边形）。 多边形四要素：同一平面、线段围成、首尾相接、封闭图形。 2.多边形的基本构成元素 任意n边形均具备n个顶点、n条边、n个内角，各元素定义规范如下： 顶点：多边形相邻两条边的公共端点； 边：围成多边形的每一条线段； 内角：多边形相邻两条边所组成的角； 对角线：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段。 3.正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形，叫正多边形。 例：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形。 4.凸多边形与凹多边形 凸多边形：将多边形任意一条边向两端延长成直线，多边形整体都在这条直线的同一侧。 凹多边形：延长多边形任意一条边，存在部分顶点分居直线两侧，多边形至少有一个内角大于180°。 知识点二、多边形的对角线 1.概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线。 2.n边形的对角线 从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三角形。 ▲由上图可知，从n（n≥3）边形一个顶点出发，可作(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形。 n边形总对角线条数： 示例：五边形：一个顶点2条对角线，总对角线5条；六边形：一个顶点3条对角线，总对角线9条 知识点三、圆、扇形的相关知识 1.圆的基础定义 在平面内，到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合叫做圆。 其中，圆心o确定圆的位置，半径r确定圆的大小，二者是确定一个圆的两个必备条件。 2.圆的核心基础元素 弦：连接圆上任意两个点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弧：圆上任意两点之间的部分，分为劣弧（小于半圆）、半圆、优弧（大于半圆）； 圆心角：顶点在圆心，且两边分别与圆相交的角； 扇形：由一条弧和经过这条弧两个端点的两条半径所围成的封闭图形。 3.扇形圆心角及面积的计算 （1）圆心角度数：因为一个周角为360°，所以将一个圆分成的几个扇形的圆心角的度数之和等于360°。一个扇形圆心角的度数=360°×这个扇形圆心角占周角的百分比。 （2）扇形的面积：半径为R的圆，其面积S=π，将圆分为360个小扇形，则每个圆心角为1°的小扇形的面积是，所以圆心角为的扇形面积为n 知识点四、易错提醒 1.多边形必须是线段围成的封闭图形，圆形、椭圆等曲线图形不是多边形。 2.正多边形必须边、角同时相等，缺一不可。 3.对角线公式易混淆：单顶点对角线n-3，总对角线是，切勿漏除2。 4.直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆。 5.圆心角的顶点必须在圆心，顶点在圆上的角不是圆心角。 ✺题型精讲 题型1.多边形的概念与分类 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键． 根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】解：不是凸多边形的是选项C中的多边形． 故选：C． 2．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是__________． 【答案】六/ 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，可得答案． 【详解】解：两个四边形有一条公共边，得多边形边的数目是， 故答案为：六． 3．仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 题型2.多边形截角后的边数问题 1．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 2．一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 【答案】或或 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 3．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 题型3.多边形的周长 1．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 2．如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 3．一个正八边形的边长为5．则它的周长为__________． 【答案】40 【分析】本题主要考查正多边形的性质，根据正八边形边长相等，用边长乘以8即可得出答案． 【详解】解：由题意得周长为：． 故答案为：40． 题型4.网格中多边形面积比较 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 2．如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：_____(填“>”，“=”或“<”) . 【答案】= 【分析】根据图形可知=，=，然后由图易知△ABC和△ADC同底等高，所以△ABC和△ADC面积相等从而得到△ABO和△DCO的关系． 【详解】解：由图易有：=，=， ∵△ABC和△ADC同底等高， ∴， ∴=． 故答案为：= 【点睛】本题考查了三角形的面积，判断所求三角形的计算方法是本题的关键． 3．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 题型5.多边形对角线的条数问题 1．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点最多能引出条对角线求解即可． 【详解】解：从该九边形的一个顶点最多能引出条对角线， 故选：． 2．过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是______条． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题关键．根据“边形从一个顶点出发可引出条对角线”列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 过多边形的一个顶点能引出条对角线， ， 解得， 故答案为：． 3．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 题型6.对角线分成的三角形个数问题 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 2．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 3．学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【答案】(1)有关系．题图①中，三角形的个数多边形的边数；题图②中，三角形的个数多边形的边数；题图③中，三角形的个数多边形的边数 (2)用上述三种方法分割边形所得三角形的个数分别为：，， 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、图形规律等知识点，掌握从特殊中发现规律，进而推广到一般成为解题的关键． （1）观察图形即可解答； （2）根据（1）所得的规律进行归纳即可解答． 【详解】（1）解：有关系，关系如下： 如图①中，三角形的个数多边形的边数； 如图②中，三角形的个数多边形的边数； 如图③中，三角形的个数多边形的边数． （2）解：结合特殊图形，可以发现： 如图①中，三角形的个数； 如图②中，三角形的个数； 如图③中，三角形的个数． 题型7.圆的基本概念辨析 1．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了圆的定义和性质，解题的关键是掌握圆的定义和性质． 根据圆的定义和性质进行解答即可． 【详解】解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； 故答案为：②③． 3．将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】本题考查圆的概念及特点，熟练掌握相关知识点并看懂图形中的等量关系是解题的关键．根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答． 【详解】 （厘米） 答：小圆的半径是1厘米． 题型8.圆的周长和面积问题 1．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 2．钟面上分针长4厘米，1小时它的尖端经过_____厘米（取3.14）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式，根据分针经过1小时正好走了一周，形成一个半径为4厘米圆，求圆的周长即可． 【详解】解：∵分针经过1小时正好走了一周，形成一个半径为4厘米圆， ∴（厘米）． 故答案为：． 3．如下图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘．已知大、小圆盘的直径都是整厘米数，涂色部分的面积为，求大、小圆盘的半径． 【答案】4cm和1.5cm． 【分析】利用大圆的面积减去4个小圆的面积等于，所以可先设大、小圆的直径分别为； 进而得到关于的方程，再利用平方差公式进行分解得到； 至此根据大小圆的直径均为整数，即可求解． 【详解】解：设大圆盘的直径为，小圆盘的直径为，根据题意，得，即， 分解因式，得． 均为整数， 均为整数． 又和的奇偶性相同， 解得 ， 大、小圆盘的半径分别为4cm和1.5cm． 【点睛】本题考查了列方程解应用题的综合题，掌握因式分解的应用、方程的整数解是解题的关键． 题型9.圆心角概念辨析及简单运算 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 3．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：； ∵，，， ∴ (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．根据正多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形， 故选：C． 2．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 3．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形，那么这个多边形是（   ）边形 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的有关知识，根据从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形最多分成个三角形进行求解即可． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形， ∴这个多边形的边数为， 故选：B． 4．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 5．在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 二、填空题 6．过四边形的一个顶点可以画___________条对角线，它们将四边形分成___________个三角形；四边形共有___________条对角线． 【答案】 1 2 2 【分析】依据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可将边形分成个三角形，边形对角线的总条数为的规律进行求解 【详解】解：对于四边形，，从一个顶点出发可画的对角线条数为条，将四边形分成的三角形个数为个，四边形的总对角线条数为条． 7．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 8．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 9．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________． 【答案】 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 三、解答题 10．圆的有关概念： (1)圆的两种定义方式： （a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做　　　　　．线段叫做　　　　． （b）圆是所有点到定点的距离　　　　　　定长的点的集合． (2)弦：连接圆上任意两点的　　　　　　叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； (3)弧：圆上任意两点间的部分叫　　　　　　（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） (4)等弧：在同圆与等圆中，能够　　　　　　的弧叫等弧． (5)等圆：能够　　　　　　的两个圆叫等圆，半径　　　　　　的两个圆也叫等圆． 【答案】(1)圆心  半径   等于 (2)线段 (3)弧 (4)完全重合 (5)完全重合  相等 【分析】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键． 根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答． 【详解】（1）解：（）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心．线段叫做半径； （）圆是所有点到定点的距离等于定长的点的集合； （2）解：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； （3）解；弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）； （4）解：等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧； （5）解：等圆：能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆． 11．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1) 解：仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图， 分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个； (2) 第一种分割法把边形分割成了个小三角形； 第二种分割法把边形分割成了个小三角形； 第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 【分析】本题是一道按照已知的分割方法将多边形分割成三角形的题目，根据分割成的三角形的个数找到规律． 从已知分割图中，图①是从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割． （1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个． （2）根据这样的两个特殊图形，发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数． 【详解】（1）略 （2）略 12．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $