专题4.4 基本平面图形（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题4.4 基本平面图形 目录 一． 思维导图 1 二．知识梳理与题型分类精析 2 知识点（一）基本概念 2 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2 【题型1】夯实基本概念——线段、直线、射线 2 2.角的定义与表示方法 4 【题型2】夯实基本概念——角的定义及表示方法 4 3.多边形和圆初步知识 6 【题型3】夯实基本概念——多边形与圆 6 知识点（二）两个基本事实 8 【题型4】夯实两个基本事实 8 【题型5】夯实基本概念——两点之间距离 9 知识点（三）基本作图 10 【题型6】夯实基本作图——利用线段、射线、直线的区别与联系作图 10 【题型7】夯实基本作图——作一条线段等于已知线段 12 【题型8】夯实基本作图——作一个角等于已知角 14 知识点（四）线段中点与角的平分线 15 【题型9】线段中点辨析 16 【题型10】角的平分线辨析 17 知识点（五）线段与角的有关计算——基础题 19 【题型11】线段的单中点与线段和差有关计算 19 【题型12】单角平分线与角的和差有关计算 21 【题型13】角的四则运算 23 【题型14】方位角 24 【题型15】三角板上的角 26 【题型16】钟面角 28 知识点（六）线段双中点与双角的平分线及折叠问题有关计算——综合题 30 【题型17】线段的双中点与线段和差有关计算 30 【题型18】双角平分线与角的和差有关计算 34 【题型19】折叠问题中的角 37 知识点（七）线段与角的有关计算——压轴题 41 【题型20】线段上的动点问题 41 【题型21】角的旋转问题 46 1． 思维导图 二．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）基本概念 1. 直线，射线与线段的区别与联系 名称 类别 线段 射线 直线 图形 表示方法 （1） 两个大写字母； （2） 一个小写字母。 两个大写字母，表示端点的字母在前 （1）表示两端点的两个大写字母；（2）一个小写字母 端点个数 2个 1个 无 延伸性 不可延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 【题型1】夯实基本概念——线段、直线、射线 【例题1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的表示方法，由直线、射线和线段的表示方法，即可判断． 解：A、直线上的点用大写字母表示，不能用小写字母表示，直线用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用两个小写字母表示，故A不符合题意； B、线段用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用一个大写字母表示，故B不符合题意； C、表示射线，应该把表示端点的字母放在前面，应该表示为射线，故C不符合题意； D、表示正确，故D符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段及射线的知识，根据直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸即可得出答案． 解：A、射线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； B、射线和延伸后不能相交，故本选项不符合题意； C、射线和直线延伸后能相交，故本选项符合题意； D、直线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 2.角的定义与表示方法 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. （2）角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 【题型2】夯实基本概念——角的定义及表示方法 【例题2】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的有 （填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 【答案】（4）（5） 【分析】本题主要考查了角的相关概念以及性质，正确理解角的概念是解题的关键． 根据角的相关概念以及性质分别判断即可． 解：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； （2）角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说延长，原说法错误； （3）角的大小与这个角的两边长短无关，可以度量，原说法错误； （4）角的大小与这个角的两边长短无关，正确； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形，正确； （6）平角是由一条射线绕着它的端点旋转180度而成的角，是由处在同一直线上具有公共端点且方向相反的两条射线构成的角，不是一条直线，原说法错误； （7）周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，此时终边和始边重合，但它有顶点和两条重合的边，而射线只有一个端点，周角与射线是不同的概念，原说法错误； 故答案为：（4）（5）． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【特别提示】①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 3.多边形和圆初步知识 （1）多边形定义：不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫多边形； 如下图，在多边形中，点是多边形的顶点；线段 多边形的边；多边形的内角（可简称为多边形的角）；是连接不相邻两个顶点的线段,像这样的线段叫作多边形的对角线。 （2）圆的定义：平面上,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫作圆。固定的端点为圆心，线段为半径，圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧；由一条弧经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角。 【题型3】夯实基本概念——多边形与圆 【例题3】（2025九年级上·全国·专题练习）下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心的确定方法，网格内的图形问题须充分利用格线互相垂直的特点． 圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，因此看图中弦的垂直平分线是否为网格线便可求解． 解：观察图形，根据圆的轴对称性，可知是正确的． 故选：D． 【变式1】（24-25六年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 知识点（二）两个基本事实 名称 类别 线段 直线 图形 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 两点之间距离：两点之间线段长度，叫做两点之间距离。 【题型4】夯实两个基本事实 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式1】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，熟记两点之间、线段最短是解题的关键． 根据线段的性质即可解答． 解：为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，是因为两点之间线段最短． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题的关键．直接利用直线的性质进而分析得出答案． 解：挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【题型5】夯实基本概念——两点之间距离 【例题5】（24-25七年级下·山东德州·月考）下列语句中，定义“两点间的距离”正确的是 （填序号）． ①连接两点的线段；        ②连接两点的直线； ③连接两点的线段的长度；  ④连接两点的直线的长度． 【答案】③ 【分析】本题考查了两点间的距离的定义，理解定义是解题的关键． 解：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离； 故答案为：③． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃白银·月考）如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，分别当A，B，C三点在一条直线上时，当A，B，C三点不在一条直线上时，两种情况进行分析即可． 解：当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段的延长线上和在线段的延长线上两种情况讨论； ①点C在线段的延长线上时，； ②点C在线段的延长线上时，； ∴A、C两点之间的距离是或 ； 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，不能确定． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东阳江·期末）如图，线段，延长至点，使得．若是线段的中点，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段中点的定义是正确解答的关键． 根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 解：， ， ∵是线段的中点， ， 故选：D． 知识点（三）基本作图 名称 类别 作一线段等于已知线段 作一个角等于已知角 图形 已知线段，作一条线段,使 已知,作, 使 作图步骤 1.用直尺画一条射线; 2.用圆规量取已知线段的长度; 3.以射线端点为圆心,已知线段长为半径画弧,交射线于一点,得到所求线段 1画一条射线,作为新角的一边; 2.用圆规以已知角顶点为圆心画弧,交角的两边于两点; 3.以新射线端点为圆心,同半径画弧,交射线于一点; 4.用圆规量取已知角上两弧交点的距离,以新射线上的弧 交点为圆心画弧,两弧交点与新射线端点连接,得到所求 角 【题型6】夯实基本作图——利用线段、射线、直线的区别与联系作图 【例题6】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） （1）分别画直线、线段． （2）画出射线与射线，两射线相交于点P． （3）连接，延长至E，使得． （4）在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）图见分析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）以点D为圆心，的长为半径画弧交延长线于点E，则点E即为所求； （4）根据两点之间线段最短可知线段的交点即为点Q． 解：（1）解：如图所示，直线、线段即为所求； （2）解：如图所示，射线与射线以及点P即为所求； （3）解：如图所示，点E即为所求； （4）解：如图所示，线段的交点Q即为所求，依据为两点之间线段最短． 【变式1】（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知线段，按如下要求作图：反向延长线段到点，使，再延长到点，使．若线段，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了线段之间的和、差．根据已知得出，由此求出的长，即可得出线段的长． 解：如图，反向延长线段到点，使，再延长到点，使． ∵线段，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 【题型7】夯实基本作图——作一条线段等于已知线段 【例题7】（2025七年级上·全国·专题练习）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【答案】图见分析 【分析】本题考查了作线段．先作射线，在射线上截取，再在射线上截取，则线段即为所求． 解：如图，线段即为所求． ． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差及基本作图知识，准确把握线段的和差关系是解题的关键．根据即可求得． 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，用尺规作一条线段，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见分析 【分析】本题考查尺规画线段以及线段的和差，解题的关键是掌握尺规作图的方法． 先作射线，在射线上顺次截取，，然后在线段上截取，则，那么线段即为所求． 解：线段即为所求： 【题型8】夯实基本作图——作一个角等于已知角 【例题8】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 【答案】④①③② 【分析】本题考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 根据作一个角等于已知角的作图方法可得答案． 解：由题意知，正确的顺序是： ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F ①以C为圆心，长为半径画，交于点M； ③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D； ②作射线，则． 故答案为：④①③②． 【变式1】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见分析 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，解题的关键是掌握尺规作图作一个角等于已知角的方法和步骤． 利用尺规作图的基本方法，作出与已知相等的． 解：解：如图所示，即为所求． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知，点P在射线上． （1）在射线上求作一点D，使； （2）以（1）中作出的点D为顶点，为一边，在外作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了尺规作图---作线段，作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键． （1）以点为圆心，为半径画弧交射线于点，则点即为所求； （2）以点为圆心为半径画弧，以点为圆心为半径画弧，两弧交于的下方一点，将点与两弧的交点连接并延长即可得出． 解：（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，即为所求． 知识点（四）线段中点与角的平分线 名称 类别 线段中点 角的平分线 图形 定义 如图,点线段成相等的两条线段与,点叫作线段中点。 从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线 结论 或 或 【题型9】线段中点辨析 【例题9】（25-26七年级上·全国·课后作业）C是线段MN的中点，D是线段NC上一点，则选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，中点的性质，由中点可得线段相等，进而可得出线段之间的数量关系，解题的关键是根据示意图找出线段的关系． 解： 解：如图：是线段的中点， ， A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项正确，不符合题意； C、不是线段中点，，故该选项错误，符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【变式1】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）如果点是线段的中点，结论：①，②，③，④中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据中点的定义，依次进行判断，即可进行解答． 解：∵点是线段的中点， ∴，，，； 综上：正确的有①②③④． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据线段中点的定义可得，再结合已知和等式的性质，逐一判断即可解答． 解：A．为线段的中点，， ，，，故A不符合题意； B．，，故B不符合题意； C．，，故C不符合题意； D．点不是的中点，和不一定相等，故选D符合题意； 故选：D． 【题型10】角的平分线辨析 【例题10】（24-25六年级下·山东威海·期末）射线在内部，下列条件不能判断是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，根据角平分线的定义逐一分析即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 解：、由可知，是原角的一半，则另一部分也必为原角的一半，故为角平分线，该选项能判断是的平分线，不合题意； 、仅说明在内部，未能说明两角相等，无法确定是角平分线，该选项符合题意； 、，说明是原角的一半，可知也为原角的一半，故为角平分线，该选项能判断是的平分线，不合题意； 、直接满足角平分线的定义，该选项能判断是的平分线，不合题意； 故选：． 【变式1】已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．直接利用角平分线的定义分别分析得出答案． 解：A、，能确定平分，故此选项不合题意； B、，能确定平分，故此选项不合题意； C、，能确定平分，故此选项不符合题意； D、不能确定平分，故此选项符合题意． 故选：D．    【变式2】如图，在下面的四个等式中，不能表示“是的平分线”的是（         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义；根据角平分线的定义逐项判断即可． 解：A、，可得是的平分线，不符合题意； B、，则，可得是的平分线，不符合题意； C、，则，可得是的平分线，不符合题意； D、，不能表示“是的平分线”， 符合题意； 故选：D． 知识点（五）线段与角的有关计算——基础题 【题型11】线段的单中点与线段和差有关计算 【例题11】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点定义，当点在线段的延长线上，先求出，再根据中点的定义求出，然后根据得出答案；当点在线段上时，先求出，再根据中点定义求得，最后根据得出答案． 解：， ， 当点在线段的延长线上， 则， 点为线段的中点， ， ； 当点在线段上时， ， ， ， 点为线段的中点， ， ． 综上，线段的长为或． 【变式1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，先由B、C两点把线段分成的三部分，根据比例求出的长，再根据M是的中点，得出，求出的长，最后由求出线段的长． 解：∵B、C两点把线段分成的三部分，， ∴，，， ∵M是的中点， ∴， ∴，即， ∴，，，， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵， ∴点A在线段上， ∴， 故答案为：或． 【题型12】单角平分线与角的和差有关计算 【例题12】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的和差倍分，关键是找到角之间的关系； 由：＝，平分，可得，答案可得． 解：平分， ， ， ， 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． （1）求的度数； （2）是否平分?并说明理由． 【答案】（1）；（2）平分，理由见分析 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 解：（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【题型13】角的四则运算 【例题13】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 解：（1）解： （2） 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）（1）把化为以度为单位是 ； （2）把化为以度为单位是 ； （3）把化为以度分秒为单位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒之间的关系，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （3）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型14】方位角 【例题14】（24-25七年级上·吉林·期末）平面上有三个点A，B，O，点A在点O的北偏东80°方向上，，点B在点O的南偏东30°方向上，，连接，作的平分线交于点C． （1）依题意画出图形（借助量角器、刻度尺画图）； （2）写出的依据是_________； （3）试说明点C在点O的什么方向． 【答案】（1）见分析；（2）两点之间，线段最短；（3）点C在点O的南偏东65°方向 【分析】本题考查方向角的表示和计算，两点之间距离最短，角平分线的性质． （1）根据方向角的表示，借助量角器、刻度尺找出，两点的位置，连接，按角平分线的性质计算出的一半，画出角平分线，得到点； （2）是，两点直接连成的线段，所以依据为：两点之间，线段最短； （3）由（1）中图形，可知，得出的大小，在按方向角得出答案． 解：（1）解：（1）图形如图所示： （2）两点之间，线段最短； （3）由题意得，，， ， 平分，， ， 点C在点O的南偏东65°方向． 【变式1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 【变式2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·月考）芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 【答案】90 【分析】本题考查了方位角，线段的和差，角的和差，由方位角的定义得，，由角的和差得 ，可得C、A、B三点在同一条直线上，由线段的和差即可求解；理解方位角，会判断三点共线时是解题的关键． 解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴C、A、B三点在同一条直线上， ∴， 即B、C两点之间的距离是， 故答案为：90． 【题型15】三角板上的角 【例题15】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起． （1）如图1若，则 ；若，则 ； （2）如图2若，则 ； （3）猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3），见分析 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算,三角板中的角度计算. （1）根据可求得，根据可求得； （2）根据计算可得； （3）根据，即可求得． 解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴ ； （3），理由如下， ∵ ， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将两个含角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，熟练掌握含角的三角板的特征是解题的关键．根据含角的三角板的特征得到，，再通过计算逐项分析判断即可得出答案． 解：由题意得，，， A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（22-23七年级下·全国·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差运算，根据，进一步利用角的和差即可作答． 解：∵， ∴. 故答案为：． 【题型16】钟面角 【例题16】（24-25七年级上·河北保定·期末）七年级开学军训时，每个人都要严格遵守时间和纪律，如图，小明出发之前看了下手表的时间，此时刚好是上午，并在规定时间前到达了训练场地，我们可以将手表抽象成如图所示，表带用线段表示，表盘与线段分别相交于两点，为时针，为分针，且与重合． （1）求的度数 （2）若，，，求表盘的直径（即的长）为多少？ 【答案】（1）；（2）直径为 【分析】该题主要考查了钟面角，线段的和差， 理解题意并正确进行解答是解题的关键． （1）根据时针一分钟走，分针一分钟走 ，解答即可． （2）根据，，得出，再结合，即可求解． 解：（1）解：∵时针一分钟走，分针一分钟走 ， ∴时针30分钟走的路程为， 即时针从8点到走的路程为， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴表盘的直径为． 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）在正常的钟表面上，时间为时，时针和分针所夹的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是钟面角，熟练掌握钟表表盘与角度相关的特征是关键． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成12等份，每一份是，找出时针和分针之间相差的大格数，再用大格数乘即可求解． 解：∵钟表上时，时针与分针之间相差个大格， ∴时针与分针的夹角是． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155或205 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． （2）根据钟面角的定义以及图形中的角的和差关系进行计算即可． 解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 知识点（六）线段双中点与双角的平分线及折叠问题有关计算——综合题 条件 基本图形 结论 点是线段上的一点， 、分别为、中点 点是线段上的一点， 、分别为、中点 点是线段上的一点， 、分别为、中点 总结：一个点把一条线段分成两条线段，得到三条线段，任意两条线段中点的距离等于第三条线段的一半。 【题型17】线段的双中点与线段和差有关计算 【例题17】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． （1）若，求线段的长； （2）若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； （3）若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见分析；（3）；见分析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，掌握线段之间的和差关系是解题关键． （1）根据题意求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （2）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （3）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； 解：（1）解：∵，，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． （2）解：设，， ∵M，N分别是，的中点． ∴，， 则． （3）解：如图所示： 设，根据题意得， ∵点C在线段的延长线上，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键． 由中点的定义可得：，再根据数轴上表示的数确定，然后再根据线段的和差及等量代换即可解答． 解：∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵点表示的数分别为， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，直线上有一点P，M，N分别为线段，的中点，． （1）若点P在线段上，且，求线段的长度． （2）若点P在直线上运动，请分别计算下面情况时的长度： ①当点P在之间；②当点P在点A左边；③当点P在点B右边． 你发现了什么规律？ 【答案】（1）7；（2）①7；②7；③7；规律：当在直线上时， 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的定义得出，的长是解题关键． （1）根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和，可得答案； （2）①根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和，可得答案； ②根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和差，可得答案； ③画图，同理可得的长，从而得规律． 解：（1）解：当在线段上，如图1， ，点是中点， ， ，， ， 又点是中点， ， ； （2）解：①点在之间， 是的中点，是的中点， ，， ； ②点在的左边时，如图2， 是的中点，是的中点， ，， ； ③点在的右边时，如图3， 是的中点，是的中点， ，， ； 发现规律：当在直线上时，． 条件 基本图形 结论 是内部一条射线， 、分别平分、 是内部一条射线， 、分别平分、 是内部一条射线， 、分别平分、 总结：一个射线把一个角分成两个角，得到三个角，任意两角的角平分线所形成的夹角等于第个角的一半。 【题型18】双角平分线与角的和差有关计算 【例题18】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差、角的平分线等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由直角的定义、角的和差可得，再根据角平分线的定义可得、，再求得，最后根据角的和差即可解答． 解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 【变式1】如图，在内部转动，，分别平分和． （1）若，，求的度数； （2）试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，分别平分和，则，，则，然后代入即可求解； （）由，分别平分和，则，，然后通过即可求解． 解：（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴． 【变式2】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，已知内部有三条互不重合的射线OD，OC，OE，且在同一个平面内，，射线OD始终在射线OE的上方．若，． 【问题探究】 （1）①则的度数为________； ②如图1，当OE平分时，OC是否平分，请说明理由； 【问题拓展】 （2）若，求的度数． 【答案】（1）①；②OC平分，理由见分析（2）的度数为或． 【分析】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题． （1）①利用角的和差即可求得、的度数，②根据角平分线的定义，求得的度数，从而得到的度数，即可求解； （2）分两种情况，在的上方或在的下方，分别求解即可． 解：（1）①∵，， ∴，， 故答案为； ②OC平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴OC平分， （2）解：由（1）可得：，， 设 当在的上方时，， ∴， ∴， 由可得， 解得，即； 当在的下方时，则， ∴， ∴ 由可得 解得，即； 综上，的度数为或． 【题型19】折叠问题中的角 【例题19】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）拿一张长方形纸片，按图所示方法折叠，得到折痕，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），角的计算，根据折叠的性质可得：，然后利用平角定义进行计算即可解答． 解：如图： 由折叠得：， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，将一张正方形纸片折叠（提示；），、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，角度的和差计算；设，，依据，即可得到的度数，进而得出的度数． 解：设，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． （1）直接写出，时，______；，时，______； （2）求时，的值； （3）当平分时，若，则______．（直接写出结果） 【答案】（1）；；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，解题的关键是分情况讨论． （1）由折叠可得：，，则，，当，时，根据，即可求解；，时，根据，即可求解； （2）分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差求解即可； （3）由平分，可得，分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差列方程求解即可． 解：（1）解：由折叠可得：，， ，， 当，时， ， 即； 当，时， ， 即； 故答案为：；； （2）当点在的左侧时， ， ，， ， ， ； 当点在的右侧时， ， ，， ， ， ， 或； （3）平分， ， 由（2）知，当点在的左侧时，， ， ， ， ， 解得：； 由（2）知，当点在的右侧时，， ， ， 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 知识点（七）线段与角的有关计算——压轴题 【题型20】线段上的动点问题 【例题20】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． （1）若，当点C、D运动了，求的值； （2）若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； （3）在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 解：（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 【变式1】（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） （1）若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） （2）当点C、D运动了，求的值； （3）若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） （4）在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4）或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 解：（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 【变式2】（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    （1）当点在线段上且时，求和的长． （2）若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 解：（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    【题型21】角的旋转问题 【例题21】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． （1）一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； （3）如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】（1）是；（2）2秒，3秒或4秒；（3），理由见分析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 解：（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查角平分线的意义，利用代数的方法解决几何的问题也是常用的方法，有时则会更简捷. 根据角平分线的意义，设，根据，，分别表示出图中的各个角，然后再计算的值即可. 解：如图：∵平分， ∴， 设 ∵， ∴， ∴ 则的值 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 基本平面图形 目录 一． 思维导图 2 二．知识梳理与题型分类精析 2 知识点（一）基本概念 2 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2 【题型1】夯实基本概念——线段、直线、射线 3 2.角的定义与表示方法 3 【题型2】夯实基本概念——角的定义及表示方法 4 3.多边形和圆初步知识 4 【题型3】夯实基本概念——多边形与圆 5 知识点（二）两个基本事实 5 【题型4】夯实两个基本事实 6 【题型5】夯实基本概念——两点之间距离 6 知识点（三）基本作图 7 【题型6】夯实基本作图——利用线段、射线、直线的区别与联系作图 7 【题型7】夯实基本作图——作一条线段等于已知线段 8 【题型8】夯实基本作图——作一个角等于已知角 8 知识点（四）线段中点与角的平分线 9 【题型9】线段中点辨析 9 【题型10】角的平分线辨析 10 知识点（五）线段与角的有关计算——基础题 10 【题型11】线段的单中点与线段和差有关计算 10 【题型12】单角平分线与角的和差有关计算 11 【题型13】角的四则运算 11 【题型14】方位角 12 【题型15】三角板上的角 12 【题型16】钟面角 13 知识点（六）线段双中点与双角的平分线及折叠问题有关计算——综合题 14 【题型17】线段的双中点与线段和差有关计算 14 【题型18】双角平分线与角的和差有关计算 15 【题型19】折叠问题中的角 16 知识点（七）线段与角的有关计算——压轴题 17 【题型20】线段上的动点问题 17 【题型21】角的旋转问题 18 1． 思维导图 二．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）基本概念 1. 直线，射线与线段的区别与联系 名称 类别 线段 射线 直线 图形 表示方法 （1） 两个大写字母； （2） 一个小写字母。 两个大写字母，表示端点的字母在前 （1）表示两端点的两个大写字母；（2）一个小写字母 端点个数 2个 1个 无 延伸性 不可延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸 【题型1】夯实基本概念——线段、直线、射线 【例题1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 2.角的定义与表示方法 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. （2）角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 【题型2】夯实基本概念——角的定义及表示方法 【例题2】（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的有 （填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【特别提示】①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.3.多边形和圆初步知识 （1）多边形定义：不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫多边形； 如下图，在多边形中，点是多边形的顶点；线段 多边形的边；多边形的内角（可简称为多边形的角）；是连接不相邻两个顶点的线段,像这样的线段叫作多边形的对角线。 （2）圆的定义：平面上,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫作圆。固定的端点为圆心，线段为半径，圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧；由一条弧经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角。 【题型3】夯实基本概念——多边形与圆 【例题3】（2025九年级上·全国·专题练习）下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 知识点（二）两个基本事实 名称 类别 线段 直线 图形 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 两点之间距离：两点之间线段长度，叫做两点之间距离。 【题型4】夯实两个基本事实 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【变式1】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理 ． 【题型5】夯实基本概念——两点之间距离 【例题5】（24-25七年级下·山东德州·月考）下列语句中，定义“两点间的距离”正确的是 （填序号）． ①连接两点的线段；        ②连接两点的直线； ③连接两点的线段的长度；  ④连接两点的直线的长度． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃白银·月考）如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（24-25七年级下·广东阳江·期末）如图，线段，延长至点，使得．若是线段的中点，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点（三）基本作图 名称 类别 作一线段等于已知线段 作一个角等于已知角 图形 已知线段，作一条线段,使 已知,作, 使 作图步骤 1.用直尺画一条射线; 2.用圆规量取已知线段的长度; 3.以射线端点为圆心,已知线段长为半径画弧,交射线于一点,得到所求线段 1画一条射线,作为新角的一边; 2.用圆规以已知角顶点为圆心画弧,交角的两边于两点; 3.以新射线端点为圆心,同半径画弧,交射线于一点; 4.用圆规量取已知角上两弧交点的距离,以新射线上的弧 交点为圆心画弧,两弧交点与新射线端点连接,得到所求 角 【题型6】夯实基本作图——利用线段、射线、直线的区别与联系作图 【例题6】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请根据下列语句用尺规画图并回答问题．（保留作图痕迹，不写作法） （1）分别画直线、线段． （2）画出射线与射线，两射线相交于点P． （3）连接，延长至E，使得． （4）在线段上找一点Q，使的值最小，这样画图的依据是____． 【变式1】（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知线段，按如下要求作图：反向延长线段到点，使，再延长到点，使．若线段，则线段的长为 ． 【题型7】夯实基本作图——作一条线段等于已知线段 【例题7】（2025七年级上·全国·专题练习）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段 ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，用尺规作一条线段，使．（保留作图痕迹，不必写作法） 【题型8】夯实基本作图——作一个角等于已知角 【例题8】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 【变式1】．（25-26八年级上·北京海淀·期中）尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知，点P在射线上． （1）在射线上求作一点D，使； （2）以（1）中作出的点D为顶点，为一边，在外作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 知识点（四）线段中点与角的平分线 名称 类别 线段中点 角的平分线 图形 定义 如图,点线段成相等的两条线段与,点叫作线段中点。 从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线 结论 或 或 【题型9】线段中点辨析 【例题9】（25-26七年级上·全国·课后作业）C是线段MN的中点，D是线段NC上一点，则选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）如果点是线段的中点，结论：①，②，③，④中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③ 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，线段为线段的中点，下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型10】角的平分线辨析 【例题10】（24-25六年级下·山东威海·期末）射线在内部，下列条件不能判断是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在下面的四个等式中，不能表示“是的平分线”的是（         ） A． B． C． D． 知识点（五）线段与角的有关计算——基础题 【题型11】线段的单中点与线段和差有关计算 【例题11】（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为多少？（要求画出图形） 【变式2】（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【题型12】单角平分线与角的和差有关计算 【例题12】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是直线上一点，，平分，． （1）求的度数； （2）是否平分?并说明理由． 【题型13】角的四则运算 【例题13】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）（1）把化为以度为单位是 ； （2）把化为以度为单位是 ； （3）把化为以度分秒为单位是 ． 【题型14】方位角 【例题14】（24-25七年级上·吉林·期末）平面上有三个点A，B，O，点A在点O的北偏东80°方向上，，点B在点O的南偏东30°方向上，，连接，作的平分线交于点C． （1）依题意画出图形（借助量角器、刻度尺画图）； （2）写出的依据是_________； （3）试说明点C在点O的什么方向． 【变式1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【变式2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·月考）芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 【题型15】三角板上的角 【例题15】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起． （1）如图1若，则 ；若，则 ； （2）如图2若，则 ； （3）猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将两个含角的三角板按如图方式摆放在水平桌面上，下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·全国·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【题型16】钟面角 【例题16】（24-25七年级上·河北保定·期末）七年级开学军训时，每个人都要严格遵守时间和纪律，如图，小明出发之前看了下手表的时间，此时刚好是上午，并在规定时间前到达了训练场地，我们可以将手表抽象成如图所示，表带用线段表示，表盘与线段分别相交于两点，为时针，为分针，且与重合． （1）求的度数 （2）若，，，求表盘的直径（即的长）为多少？ 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）在正常的钟表面上，时间为时，时针和分针所夹的角是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 知识点（六）线段双中点与双角的平分线及折叠问题有关计算——综合题 条件 基本图形 结论 点是线段上的一点， 、分别为、中点 点是线段上的一点， 、分别为、中点 点是线段上的一点， 、分别为、中点 总结：一个点把一条线段分成两条线段，得到三条线段，任意两条线段中点的距离等于第三条线段的一半。 【题型17】线段的双中点与线段和差有关计算 【例题17】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C在上，点M、N分别是的中点． （1）若，求线段的长； （2）若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由； （3）若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，请猜想的长度，请画出图形，并说明理由． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，直线上有一点P，M，N分别为线段，的中点，． （1）若点P在线段上，且，求线段的长度． （2）若点P在直线上运动，请分别计算下面情况时的长度： ①当点P在之间；②当点P在点A左边；③当点P在点B右边． 你发现了什么规律？ 条件 基本图形 结论 是内部一条射线， 、分别平分、 是内部一条射线， 、分别平分、 是内部一条射线， 、分别平分、 总结：一个射线把一个角分成两个角，得到三个角，任意两角的角平分线所形成的夹角等于第个角的一半。 【题型18】双角平分线与角的和差有关计算 【例题18】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【变式1】如图，在内部转动，，分别平分和． （1）若，，求的度数； （2）试猜想，和会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【变式2】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，已知内部有三条互不重合的射线OD，OC，OE，且在同一个平面内，，射线OD始终在射线OE的上方．若，． 【问题探究】 （1）①则的度数为________； ②如图1，当OE平分时，OC是否平分，请说明理由； 【问题拓展】 （2）若，求的度数． 【题型19】折叠问题中的角 【例题19】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）拿一张长方形纸片，按图所示方法折叠，得到折痕，，则 ． 【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，将一张正方形纸片折叠（提示；），、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． （1）直接写出，时，______；，时，______； （2）求时，的值； （3）当平分时，若，则______．（直接写出结果） 知识点（七）线段与角的有关计算——压轴题 【题型20】线段上的动点问题 【例题20】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． （1）若，当点C、D运动了，求的值； （2）若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； （3）在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【变式1】（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） （1）若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） （2）当点C、D运动了，求的值； （3）若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） （4）在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【变式2】（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    （1）当点在线段上且时，求和的长． （2）若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【题型21】角的旋转问题 【例题21】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． （1）一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； （3）如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ． 【变式2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $