第二十五章 《一元二次方程》单元自测卷提升卷01 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九上第二十五章一元二次方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合足球赛、果园规划等现实情境与赵爽几何解法等数学文化，适配单元知识整合与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|一元二次方程定义（题1）、根的概念（题2）、几何应用（题5）|题11结合赵爽几何解法，体现数学文化与抽象能力| |填空题|4/16|方程定义（题13）、实际应用（题14）、根与系数关系（题15）|题16欧几里得图解法，培养几何直观与推理意识| |解答题|9/98|解法（题17）、实际问题（题19）、综合创新（题23倍根方程、题25等腰三角形与面积公式）|题21果园规划与利润问题，融合模型观念与应用意识，贴合中考命题趋势|

第二十五章 一元二次方程（单元自测·提升卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （12个选择题，4个填空题，9个解答题） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一元二次方程6x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．6，5，﹣4 B．6，4，﹣5 C．6，﹣5，4 D．6，﹣4，5 【答案】B 【解答】解：由6x2＝5﹣4x得6x2+4x﹣5＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是6，4，﹣5， 故选：B． 2．若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根，则代数式2a2﹣6a+2031的值是（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B 【解答】解：原式＝2a2﹣6a+4﹣4+2031 ＝2（a2﹣3a+2）﹣4+2031 ＝2（a2﹣3a+2）+2027 由题意可得：a2﹣3a+2＝0， 即原式＝2×0+2027＝2027． 故选：B． 3．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10 C．x（x﹣1）＝10×2 D．x（x+1）＝10×2 【答案】C 【解答】解：根据题意，可列方程为x（x﹣1）＝10，即x（x﹣1）＝10×2， 故选：C． 4．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 【答案】D 【解答】解：∵是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3， ∴a+b+c ＝2+（﹣6）+（﹣3） ＝﹣4+（﹣3） ＝﹣（4+3） ＝﹣7， 即a+b+c＝﹣7， 故选：D． 5．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根，则菱形的边长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【解答】解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得， x＝6或x＝﹣2（舍去）， 即另一条对角线长是6， ∵菱形的一条对角线长为8， ∴菱形的边长． 故选：D． 6．定义新运算m@n＝m2﹣mn﹣2．例如1@2＝12﹣1×2﹣2＝﹣3，则关于x的方程x@a＝2的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：由题意，关于x的方程可转化为方程x2﹣ax﹣4＝0， Δ＝a2﹣4×（﹣4）＝a2+16＞0， 故选：B． 7．若（a2+b2）（a2+b2+4）＝12，则a2+b2的值为（　　） A．2或﹣6 B．﹣2或6 C．6 D．2 【答案】D 【解答】解：设t＝a2+b2，则原方程可化为：t2+4t﹣12＝0， 分解因式得：（t+6）（t﹣2）＝0， 解得：t1＝﹣6，t2＝2． ∵a2+b2是非负数， ∴a2+b2＝2． 故选：D． 8．已知方程x2+2025x﹣1＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2026α的值为（　　） A．0 B．﹣2018 C．﹣2023 D．﹣2024 【答案】D 【解答】解：由条件可知α2+2025α﹣1＝0，α+β＝﹣2025， ∴α2＝﹣2025α+1， ∴α2+β+2026α＝1﹣2025α+β+2026α＝1+α+β＝1﹣2025＝﹣2024． 故选：D． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点M从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点N从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，连接CM，MN，点M运动到点B时，点N也停止运动．当△CMN的面积等于16cm2时，运动时间为（　　） A．2s B．4s C．10s D．2s或10s 【答案】A 【解答】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则MB＝（12﹣2x）cm，CN＝（6﹣x）cm， 根据题意得：（6﹣x）（12﹣2x）＝16， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）， 即当△CMN的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 10．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1，则M、N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小由a的取值范围 【答案】A 【解答】解：∵M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1， ∴M﹣N ＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a）+1， ＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1 ＝4a2﹣8a+4 ＝4（a﹣1）2 ∵（a﹣1）2≥0， ∴M﹣N≥0，则M≥N． 故选：A． 11．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形， ∴四个小正方形的边长为3， 由条件可知大正方形的边长为， ∴方程的正数解是10﹣2×3＝4． 故选：A． 12．关于x的一元二次方程mx2+nx+p＝0（m，n，p为常数，且m≠0，p≠0），下列说法： ①若方程mx2+nx+p＝0有两个不相等的实数根，则方程px2﹣nx+m＝0也有两个不相等的实数根； ②若方程mx2+nx+p＝0的一个根为x＝k（k≠0），则必为方程px2﹣nx+m＝0的一个根； ③若方程mx2+nx+p＝0的两根之积为1，则m＝p．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：①由条件可知， ∵px2﹣nx+m＝0 是一元二次方程， ∴， ∴方程 px2﹣nx+m＝0 也有两个不相等的实数根，①正确，符合题意； ②∵x＝k（k≠0）是 mx2+nx+p＝0的根， ∴mk2+nk+p＝0， 两边同除以 k2（k≠0），整理得：，即 ， ∴ 满足px2﹣nx+m＝0， ∴是该方程的根，②正确，符合题意； ③根据韦达定理，一元二次方程 mx2+nx+p＝0的两根之积为 ，若两根之积为 1，则：，即p＝m，故 ③正确，符合题意； 综上，三个说法都正确，因此正确的个数是3． 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 14．方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为　10或11　 ． 【答案】10或11． 【解答】解：x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∵方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长， ∴若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4＝11； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4＝10． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 15．已知一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的两个实根为x1，x2，若，则a的取值范围为 a≥﹣2且a≠0　 ． 【答案】a≥﹣2且a≠0． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， ∵， ∴x1+x2＝2x1x2， ∴2×（）， 解得b＝4， ∴一元二次方程变形为ax2+4x﹣2＝0， ∵一元二次方程ax2+4x﹣2＝0的两个实根， ∴a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣2）≥0， 解得a≥﹣2且a≠0， 即a的取值范围为a≥﹣2且a≠0． 故答案为：a≥﹣2且a≠0． 16．如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 　10s或s ． 【答案】10s或s． 【解答】解：50÷2＝25（s），40÷3（秒）． 设运动时间为xs． 当0＜x时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm， 依题意得：（50﹣2x）•3x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15（不合题意，舍去）； 当x＜25时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝40m， 依题意得：40（50﹣2x）＝450， 解得：x． 故答案为：10s或s． 三、解答题（本题共9小题，共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）解方程： （1）x2+2x﹣99＝0； （2）x（x﹣2）＝5x﹣10． 【答案】（1）x1＝﹣11，x2＝9； （2）x1＝2，x2＝5． 【解答】解：（1）x2+2x﹣99＝0， （x+11）（x﹣9）＝0， 则x+11＝0或x﹣9﹣0， 所以x1＝﹣11，x2＝9； （2）x（x﹣2）＝5x﹣10， x（x﹣2）﹣5（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣5）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝2，x2＝5． 18．（10分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）若x＝3是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且b﹣ac＝﹣1，求b的值． 【答案】（1）﹣3； （2）b的值为2+2或2﹣2． 【解答】解：（1）∵若x＝3是方程的一个根， ∴9a+3b+c＝0， ∴3b+c＝﹣9a， ∵a≠0， ∴3； （2）∵b﹣ac＝﹣1， ∴ac＝b+1， ∵方程有两个相同的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（b+1）＝b2﹣4b﹣4＝0， 解得b＝2， ∴b的值为2+2或2﹣2． 19．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的5%购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为20%； （2）最多可购买电脑8台． 【解答】解：（1）设平均增长率为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：平均增长率为20%； （2）四月份投入图书购置经费为72（1+20%）＝86.4（万元）， 设购买电脑m台，根据题意得：3300m+2400（15﹣m）≤864000×5%， 解得：m≤8． 答：最多可购买电脑8台． 20．（10分）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0 解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； 当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想﹣分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： （1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|﹣4＝0． 【答案】（1）x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2； （2）x2＝6，x3＝﹣4． 【解答】解：（1）当x＜0时，x2+2x＝0，解得x3＝﹣2，x4＝0（舍去）； 当x≥0时，x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2； ∴原方程的解为x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2； （2）当x≥1时，x2﹣2x﹣4x+4﹣4＝0，即x2﹣6x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝6， 当x＜1时，x2﹣2x+4x﹣4﹣4＝0，即x2+2x﹣8＝0，解得x3＝﹣4，x4＝2（舍去）， ∴原方程组的解为x2＝6，x3＝﹣4，． 21．（10分）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500m2草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是44800m2，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润＝销售利润﹣承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）10； （2）每平方米草莓平均利润下调40元． 【解答】解：（1）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800， 整理得：x2﹣200x+1900＝0， 解得：x1＝10，x2＝190（意，舍去）， ∴道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， ， 解得：y1＝10，y2＝40， 又∵从客户的角度考虑，要让利于顾客， ∴y＝40． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 22．（12分）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b（a≠b）满足a2+3a﹣1＝0，b2+3b﹣1＝0，则可将a，b看作一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：已知实数a，b满足7a2﹣7a﹣1＝0，7b2﹣7b﹣1＝0，且a≠b，求a2b+ab2的值． （2）思维拓展：已知实数a，b满足3a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+3＝0，且ab≠1，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）可将a，b看作方程7x2﹣7x﹣1＝0的两个不相等的实数根， ∴a+b＝1，， ∴． （2）在方程b2﹣5b+3＝0的两边同时除以b2得， ∴可将a，看作方程3x2﹣5x+1＝0的两个不相等的实数根， ∴，， ． 23．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程” （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0是“倍根方程”，求k的值． （3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0（m、n是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出m、n的值． 【答案】（1）是； （2）0或3； （3）6，4． 【解答】解：（1）原方程因式分解可得： （x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝2，x2＝1， ∵2÷1＝2， ∴方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”． （2）原方程变形可得： x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0， ∴（x﹣2）[x﹣（k+1）]＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． 若x1＝2x2，则2＝2（k+1），解得k＝0； 若x2＝2x1，则k+1＝2×2，解得k＝3； ∴k＝0或k＝3． （3）设两根为x1、2x1， 则x1+2x1＝6， 解得x1＝2， ∴x2＝4， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知m＝2+4＝6，2n＝2×4＝8， 解得n＝4． 24．（12分）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当x＝　3　 时，代数式x2﹣6x﹣12的最小值是　﹣21　 ； （2）知识运用：求代数式﹣x2+2x﹣5的最大值； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+3＝0，求y+x的最小值． 【答案】（1）3，﹣21； （2）﹣4； （3）﹣4． 【解答】解：（1）由题意得，x2﹣6x﹣12＝（x﹣3）2﹣21， ∵对于任意的x都有（x﹣3）2≥0，且当x＝3时取等号， ∴x2﹣6x﹣12＝（x﹣3）2﹣21≥﹣21． ∴当x＝3时，代数式x2﹣6x﹣12有最小值﹣21． 故答案为：3；﹣21； （2）由题意，∵﹣x2+2x﹣5＝﹣（x﹣1）2﹣4，且﹣（x﹣1）2≤0， ∴当x＝1时，代数式﹣x2+2x﹣5的最大值为﹣4； （3）∵﹣x2+3x+y+3＝0， ∴y+x＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2﹣4≥﹣4 ∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣4． 25．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0， 化简得：64m≤﹣64， 解得：m≤﹣1且m≠﹣2； （2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长， ∴x1＝x2， ∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0， 解得m＝﹣1， ∴x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵BC＝4， ∴△ABC的周长为：3+3+4＝10； （3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4， ∴p5， ∴S△ABC， 过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E， ∵I是△ABC角平分线的交点， ∴IF＝ID＝IE， ∴S△ABC， 解得ID， ∴S△BIC． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $■口▣口▣■ 提升卷012026-2027学年九年级上册第二十五单元自测卷 数学（人教版新教材） 姓名： 考场号 班级： 学校： 座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、准考证号等填写清楚。 2.客观题必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.请在题号对应的答题区域作答，区域外书写无效。 贴条形码区 正确填涂：■ 错误填涂：☑☐) 缺考标记：☐ 单选题（共12题，共36分） 1LABLc[D 5AB□CD 9A▣C 2A□BcJD□ 6A▣D 10A□B□cJn□ 3A [c TA▣BD 11BD□ 4AB□D□ 8 A8LCD□ 12AB]cJD□ ■■■■■■■■■■ 填空题（共4题，共16分）》 13. 14 6 16 三、解答题（共9题，共98分）》 17.(10分) (1)x2+2x-99=0; I (2)x(x-2)=5x-10. 0 18.(10分) 19.(10分) 第1页/共2页 0 20.(10分) 21.(10分) ■ 0 0 0 ■口口口■口 0 22.(12分) 23.(12分) 24.(12分) 第2页/共2页 0 25.(12分) B 0 0 0 第二十五章 一元二次方程（单元自测·提升卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （12个选择题，4个填空题，9个解答题） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九上第二十五章：一元二次方程。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一元二次方程6x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．6，5，﹣4 B．6，4，﹣5 C．6，﹣5，4 D．6，﹣4，5 2．若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根，则代数式2a2﹣6a+2031的值是（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 3．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10 C．x（x﹣1）＝10×2 D．x（x+1）＝10×2 4．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 5．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根，则菱形的边长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 6．定义新运算m@n＝m2﹣mn﹣2．例如1@2＝12﹣1×2﹣2＝﹣3，则关于x的方程x@a＝2的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．若（a2+b2）（a2+b2+4）＝12，则a2+b2的值为（　　） A．2或﹣6 B．﹣2或6 C．6 D．2 8．已知方程x2+2025x﹣1＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2026α的值为（　　） A．0 B．﹣2018 C．﹣2023 D．﹣2024 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点M从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点N从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，连接CM，MN，点M运动到点B时，点N也停止运动．当△CMN的面积等于16cm2时，运动时间为（　　） A．2s B．4s C．10s D．2s或10s 10．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1，则M、N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小由a的取值范围 11．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 12．关于x的一元二次方程mx2+nx+p＝0（m，n，p为常数，且m≠0，p≠0），下列说法： ①若方程mx2+nx+p＝0有两个不相等的实数根，则方程px2﹣nx+m＝0也有两个不相等的实数根； ②若方程mx2+nx+p＝0的一个根为x＝k（k≠0），则必为方程px2﹣nx+m＝0的一个根； ③若方程mx2+nx+p＝0的两根之积为1，则m＝p．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．若方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程，则a的值为　 　 ． 14．如图，一个养殖户用32米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为60平方米，那么每个鸡舍的长为　 　 ． 15．已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）＝3，则m的值等于 　 　 ． 16．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程x2+8ax＝9a2（a＞0）的过程如下：将方程配方得（x+4a）2＝（3a）2+（4a）2，以3a和4a为两直角边作△ABC（如图），再在斜边AB及其延长线上截取BD＝BE＝BC，发现方程的解x1＝AD，x2＝﹣AE．若x1＝AD＝2，则x2的值为　 　 ． 三、解答题（本题共9小题，共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）解方程： （1）x2+2x﹣99＝0； （2）x（x﹣2）＝5x﹣10． 18．（10分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）若x＝3是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且b﹣ac＝﹣1，求b的值． 19．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的5%购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 20．（10分）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0 解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； 当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想﹣分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： （1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|﹣4＝0． 21．（10分）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500m2草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是44800m2，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润＝销售利润﹣承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 22．（12分）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b（a≠b）满足a2+3a﹣1＝0，b2+3b﹣1＝0，则可将a，b看作一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：已知实数a，b满足7a2﹣7a﹣1＝0，7b2﹣7b﹣1＝0，且a≠b，求a2b+ab2的值． （2）思维拓展：已知实数a，b满足3a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+3＝0，且ab≠1，求的值． 23．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程” （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0是“倍根方程”，求k的值． （3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0（m、n是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出m、n的值． 24．（12分）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当x＝　 　 时，代数式x2﹣6x﹣12的最小值是　 　 ； （2）知识运用：求代数式﹣x2+2x﹣5的最大值； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+3＝0，求y+x的最小值． 25．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 8 / 8 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