第二十一章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册一元二次方程培优卷，立足单元复习，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合快递揽件增长、《几何原本》图解法、“弦图”徽标等真实情境与文化素材，培养数学抽象、推理及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|根的判别式、韦达定理、几何应用|第7题结合《几何原本》图解法，体现数学文化传承| |填空题|5/15|开放型方程构造、几何与方程综合|第15题通过矩形切割拼接，考查方程根与面积关系| |解答题|8/75|解方程、利润问题、新定义“邻根方程”|第20题定义“邻根方程”，第22题无盖长方体制作，强化创新应用与实践能力|

第二十一章 一元二次方程（培优卷）2026-2027学年人教版数学九年级上册单元测试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于x的一元二次方程 根的情况是（　　). A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．若关于x的一元二次方程 的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（　　） A．7 B．7或 C．6 D．6或 3．关于x的方程为x2-kx-1=0，则下列说法错误的是（　　） A．总有两个不等实根 B．两根之和为-k C．两根之积为-1 D．两根异号 4．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 5．已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 6．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．在欧几里得的《几何原本》中.形如 的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画 使 再在斜边AB上截取 ，连结CD，能表示一元二次方程 的其中 一个正根的线段是 (　　) A．BD B．AD C．CD D．AB 8．若，则的最小值是（　　） A．2014 B．2016 C．2018 D．2020 9．《时代学习报·数学周刊》的徽标是我国古代“弦图”的变形（见示意图）．该图可由直角三角形绕点同向连续旋转三次（每次旋转）而得．因此有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标（含中间小正方形）的面积为92，，则徽标的外围周长为（　　） A．40 B．44 C．46 D．48 10．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．请写出一个关于x的一元二次方程；并且方程有两个相等的实数根．则这个一元二次方程可以是　 　． 12．若方程的一个根是，则此方程的另一个根是　 　． 13．若一元二次方程两根分别为，则　 　； 14．如图是一个长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为　 　． 15．有一长方形木板如图1切割，将其中4块重新拼接成新长方形如图2，多出一个图形⑤，若AB＝AC＝m，GF＝FE＝n，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根（m＞n），则图形⑤的面积为　 　 ． 三、解答题：本大题共8小题，共75分. 16．按照指定方法解下列方程： （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）（因式分解法）． 17．已知x1，x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数根(x1，x2可相等)． （1）求证：方程的两根都小于0． （2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值 18．如图，有一段15米的旧围墙，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32米的篱笆围成一个长方形的场地． （1）怎样围成一个面积为的长方形场地？ （2）能够围成一个面积为的长方形场地吗？如果能请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 19． “七夕节大促”前夕，某商家购入一批进价为 8元/个的游戏手办，销售过程中发现：日销量 y （个)与售价 x （元/个)满足如图所示的一次函数关系. （1）求 y与 x之间的函数关系式（不必写 x的取值范围)； （2）每个游戏手办的售价定为多少元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到 720元? 20．定义：如果关于x的一元二次方程 (a， b， c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义　 　(填序号)是“邻根方程”． ① x2+x=0； ② x2-2x+1=0； ③ x2+3x+2=0. （2）若(x-2)(x+n)=0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程 (a， b， c均为常数， a≠0)为“邻根方程”，求出a， b， c应满足的数量关系． 21．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元.近期统计发现：每周销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x(元/千克) 75 80 85 90 95 周销售量y(千克) 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用.解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少?请说明理由； （3）求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少? 22．综合与实践． 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，在正方形纸板的四角各剪去一个大小相同的小正方形； 步骤2：把纸板四周沿虚线折起，就折成如图2所示的无盖长方体形纸盒，其长：宽：高＝2：2：1，底面积为20cm2 计算与应用： （1）求这个无盖长方体纸盒的长、宽、高； （2）求这个无盖长方体纸盒的体积和表面积． 23．学习完了一元二次方程后，某校数学兴趣小组对关于 x的一元二次方程 开展深入探究. （1）【初探究】 学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多 1米，设基地的宽为 x米，围成基地的面积为 m平方米，当 m=12时，求此时 x的值； （2）【再探究】 若实数 a，b满足 且 2a≠b，求 2a+b的值； （3）【深度思考】 若两个不相等的实数 p，q满足 求证： 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】 12．【答案】5 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】29 16．【答案】（1）， （2）， （3）， 17．【答案】（1）证明：∵a=1，b=-(k-2) ，c=k2 +3k+5， ∴b2-4ac=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，∴-4≤k≤． ∵x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5， ∴x1+x2=k-2<0，x1x2 =k2+3k+5=(k+ )2+ >0， ∴x1 <0，x2<0， ∴方程的两根都小于0． （2）解：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =(k-2)2-2(k2 +3k+5)= -k2 - 10k-6=-(k+5)2+19 ， ∵-4≤k≤ ∴当k=-4时，x12+x22有最大值，最大值为-(-4+5)2+19=18． 18．【答案】（1）解：设CD=x米，DE=（32-2x）米，根据题意列方程为： 解之得： X1=7，x2=9 ∵ ∴ . ∴x=9 ∴矩形的长DE为14米，宽为9米 （2）解：设CD=x米，DE=（32-2x）米，根据题意列方程为： 整理方程得： ∵ ∴原方程无实数根 ∴不能围成面积为130m2的长方形． 19．【答案】（1）解：设 y与 x的函数关系式为 y= kx+b，将 x=10， y=280和 x=14， y=120分别代入解析式， 解得： ∴y与 x的函数关系式为 y=-40x+680， （2）解：设每个游戏手办的售价定为 x元，依题意，得： （x-8) （-40x+680) =720， 解得： 当 x=11时，销量 y=-40×11+680=240 （个) ； 当 x=14时，销量 y=-40×14+680=120 （个) ， ∴尽快减少库存， ∴销量越大越好，而 240>120，则 x=11， ∴每个游戏手办的售价定为 11元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到 720元. 20．【答案】（1）①③ （2）解：因为(x-2)(x+n)=0 是“邻根方程”， 所以x1=2 ， x2=-n ， 所 以 -n=1或3， 所以n=-1 或 -3 ． （3）解：因为一元二次方程(b，c 均为常数 ，a≠0) 为“邻根方程”， 所以 设方程两根为x1，x2，则 所以 所以 21．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，把(70，100)，(75，90)代入可得： 解得k=-2，b=240， ∴y与x的函数关系式为： y=-2x+240； （2）解：由题可得： (x-60)(-2x+240)=1600， 整理得： 解得： x2=80 ∵-2x+240≥50 ∴ x≤95 即周销售单价定为 80 元； （3）解：设周销售利润为 w元 则： W=(x-60)(-2x+240)， 当周销售单价为 90元时，这种绿茶最大周利润为 1800元 22．【答案】（1）解：设这个长方体的长、宽、高分别为，，， 根据题意，得，解得（负值舍去），则． 故这个无盖长方体纸盒的长、宽、高分别为，，； （2）解：， 故这个无盖长方体纸盒的体积为； 无盖长方体表面积底面积+侧面积， 已知底面积为，长、宽、高，则侧面积为： ， 故无盖长方体表面积． 23．【答案】（1）解：依题可列 整理得 ∴ 解得，（不符合题意，舍去） ∴此时x的值为3； （2）解：将两边同时除以4，得， ∵，2a≠b ∴a和是方程的两个不相等的实数根， ∴ 整理得2a+b=-2； （3）证明：∵p2+p-m=mq，q2+q-m=mp， ∴（p-q)（p+q+1)=-m（p-q)， ∴（p-q)（p+q+1+m)=0， ∵p≠q， ∴p+q+1+m=0， ∴p+q=-m-1， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $