第二十五章 《一元二次方程》单元自测卷提升卷02 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九上第二十五章一元二次方程单元自测提升卷，以文化传承与实际应用为特色，通过12道选择、6道填空、8道解答题（150分），全面覆盖单元核心知识，适配单元复习检测，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|方程定义（题1）、解法条件（题2）、实际应用（题4篮球比赛）|结合《九章算术》“折竹抵地”（题8），渗透文化传承| |填空题|6/12|根与系数关系（题14）、新运算应用（题15）|定义新运算（题15）考查知识迁移，培养创新意识| |解答题|8/98|解法综合（题19）、实际问题（题23茶乡种植与销售）、几何综合（题26等腰三角形）|配方法应用（题25）与秦九韶-海伦公式（题26），体现数学思维与语言表达|

■▣口口▣■ 提升卷022026-2027学年九年级上册第二十五单元自测卷 数学（人教版新教材) 姓名：一 考场号：一 班级：一 学校： 座位号 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、准考证号等填写清楚。 2.客观题必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.请在题号对应的答题区域作答，区域外书写无效。 贴条形码区 正确填涂：■ 错误填涂：☑☐) 缺考标记：☐ 、 单选题（共12题，共36分）》 1 5A▣B□D 9A□BD□ 2A8cD 6LA L Lc [ 10D 3AB cD 7 c 11 4 [c 8AJBJ可DJ 12A□□可D 、 填空题（共6题，共12分） 13 14 16. 17. 17. 三、解答题（共8题，共72分） 19.(8分) (1)x2-4x-1=0.(用配方法) (2)2x2-9x+8=0.(用公式法) (3)5(x-3)2=x2-9.(用因式分解法) I 20.(8分) 21.(8分) 的 ■ 图1 图2 第1页/共2页 22.(8分) 23.(10分) ■ ■ 0 ■▣口口■▣ 0 24(10分) N R A D 1 H M G 3 B 0 1 I I 25.(10分) 第2页/共2页 0 26.(10分) ■ 0 ■ 第二十五章 一元二次方程（单元自测·提升卷02） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （12个选择题，6个填空题，8个解答题） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 【答案】C 【解答】解：由题意，∵2x2＝x+9， ∴2x2﹣x﹣9＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣9． 故选：C． 2．如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 【答案】D 【解答】解：根据题意得m+3≥0， 解得m≥﹣3． 故选：D． 3．将一元二次方程x2﹣6x＝1配方，得到方程x2﹣6x+▲＝1+▲，其中“▲”表示的数是（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：根据配方法的步骤可知：一次项系数一半的平方为（）2＝9， ∴配方时方程两边需同时加上9， 即“▲”表示的数是9． 故选：C． 4．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该参加小组赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【解答】解：设参加小组赛的球队有x支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为x（x﹣1）． 根据题意得x（x﹣1）＝56． 整理得x2﹣x﹣56＝0． 解得x1＝8，x2＝﹣7． ∵球队数量为正整数，舍去x2＝﹣7． ∴x＝8，即参加小组赛的球队有8支， 故选：C． 5．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2026﹣6a2+2a的值是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【解答】解：由条件可知3a2﹣a﹣1＝0，即3a2﹣a＝1， ∴2026﹣6a2+2a＝2026﹣2（3a2﹣a）＝2026﹣2×1＝2024． 故选：B． 6．根据表格的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，且a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 1 2 3 4 ax2+bx+c ﹣4 ﹣2 2 8 16 A．0＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜3 D．3＜x＜4 【答案】B 【解答】解：由表格可知： 当x＝1时，ax2+bx+c＝﹣2，当x＝2时，ax2+bx+c＝2， 所以ax2+bx+c＝0一个解的取值范围为1＜x＜2． 故选：B． 7．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 【答案】D 【解答】解：∵是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3， ∴a+b+c ＝2+（﹣6）+（﹣3） ＝﹣4+（﹣3） ＝﹣（4+3） ＝﹣7， 即a+b+c＝﹣7， 故选：D． 8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺、问折高者几何？意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+62＝102 B．x2﹣62＝（10﹣x）2 C．x2+6﹣（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2， 故选：D． 9．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若9a+3b+c＝0，则它的一个根是（　　） A．x＝3 B． C．x＝﹣3 D． 【答案】A 【解答】解：把x＝3代入方程左边，得a×32+b×3+c＝9a+3b+c， 又∵已知9a+3b+c＝0， ∴当x＝3时，方程左右两边相等， ∴x＝3是该一元二次方程的一个根． 故选：A． 10．若矩形ABCD的两邻边边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为（　　） A． B．4 C．5 D．10 【答案】C 【解答】解：x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝3，x2＝4， ∴矩形的两邻边边长分别为3和4， ∴矩形ABCD的对角线长是：5． 故选：C． 11．已知方程（x﹣a）（x﹣b）＝0有M个解，方程（ax+2）（bx+2）＝0有N个解，a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1 C．M＝N﹣1或M＝N+2 D．M＝N或M＝N﹣1 【答案】B 【解答】解：由（x﹣a）（x﹣b）＝0得， x1＝a，x2＝b． 因为a≠b， 所以该方程有2个解， 所以M＝2． 由（ax+2）（bx+2）＝0得， 当a和b有一个是0时，该方程有1个解， 当a和b都不是0时，该方程有2个解， 所以N＝1或2， 所以M＝N或M＝N+1． 故选：B． 12．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+2kx＝36，按照图1的图解法构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连结CD，若，则k的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，AC＝6，BC＝BD＝k，， ∴AD＝2k， ∴AB＝BD+AD＝3k， ∵AC＝6，AB2＝BC2+AC2， ∴（3k）2＝k2+62， 解得：k1，k2（不符合题意，舍去）， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 14．关于x的一元二次方程x2+kx﹣12＝0的一个根为﹣2，则另一个根是　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得﹣2t＝﹣12， 解得t＝6， 即方程的另一个根为6． 故答案为：6． 15．定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围为　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题目所给新定义运算法则得x2﹣2x﹣3a＝3， 即x2﹣2x﹣（3a+3）＝0， ∵有两个不相等的实数根， ∴22﹣4×1×[﹣（3a+3）]＞0， 即4+12a+12＞0， 解得． 故答案为：． 16．已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（4x+1）2+2（4x+1）﹣3＝0的解是x1＝0，x2＝﹣1　 ． 【答案】x1＝0，x2＝﹣1． 【解答】解：由题知， 因为方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3， 则由（4x+1）2+2（4x+1）﹣3＝0得， 4x+1＝1或4x+1＝﹣3， 解得x1＝0，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝0，x2＝﹣1． 17．若方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根为α，β，则α3+6β﹣1的值为　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：由题知， 因为方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根为α，β， 所以α2﹣2α﹣2＝0，α+β＝2， 则α2＝2α+2， 所以α3+6β﹣1＝α（2α+2）+6β﹣1＝2α2+2α+6β﹣1＝2（2α+2）+2α+6β﹣1＝6α+6β+3＝6（α+β）+3＝6×2+3＝15． 故答案为：15． 18．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC和BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣x+2m＝0的两个实数根，CE⊥AB于点E，则CE的长度是　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可得AB＝4，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO， ∴∠AOB＝90°， ∴AO2+BO2＝AB2＝42＝16， 由条件可知： ，， ∴，， ∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝16， ∴， 解得m1＝9，m2＝﹣7， 当m＝﹣7时，AO•BO＝﹣3.5＜0，不符合题意，舍去， ∴m＝9， ∴AC•BD＝2m＝18， ∵CE⊥AB， ∴，即， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）用指定的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0．（用配方法） （2）2x2﹣9x+8＝0．（用公式法） （3）5（x﹣3）2＝x2﹣9．（用因式分解法） 【答案】（1），； （2），； （3）x1＝3，． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， ，； （2）Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0， ， ，； （3）原方程移项可得： 5（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0， 5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0， （x﹣3）[5（x﹣3）﹣（x+3）]＝0， （x﹣3）（4x﹣18）＝0， x﹣3＝0，4x﹣18＝0， x1＝3，． 20．（8分）已知四边形ABCD相邻两边AB，AD的长度分别是关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根x1，x2． （1）若四边形ABCD为菱形，求a的值； （2）若四边形ABCD为矩形，且该矩形对角线AC的长度为，求a的值． 【答案】（1）； （2）﹣1． 【解答】解：（1）由条件可知方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＝0， 整理可得：1﹣4a＝0， 解得：； （2）由条件可知x2+（2a﹣1）x+a2＝0一定有两个实数根， ∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0， ∴1﹣4a≥0， ∴， ∴x1+x2＝1﹣2a，， ∵矩形对角线AC的长度为， ∴， 整理可得：a2﹣2a﹣3＝0， 解得：a1＝3（不符合题意，舍去），a2＝﹣1， ∴a＝﹣1． 21．（8分）如图1，有一块面积为144cm2的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为3：2． （1）分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】（1）长为，宽为； （2）． 【解答】解：（1）∵长方形铁皮的长、宽之比为3：2， ∴设该长方形铁皮的长为3xcm，宽为2xcm． 由题意列一元二次方程得，3x•2x＝144， 整理得，6x2＝144， 解得或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴该长方形铁皮的长为，宽为． （2） ， ∴长方体铁皮盒子的体积为． 22．（8分）已知：关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若x1，x2是方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k≤2； （2）k的值为2或﹣1． 【解答】解：（1）当k﹣1＝0即k＝1时，方程为﹣2x+3＝0， x，即方程有实数根； 当k﹣1≠0时，Δ＝（﹣2k）2﹣4•（k﹣1）•（k+2）≥0时，方程有实数根， 即k≤2， 综合上述：k的取值范围是k≤2； （2）存在， ∵x1，x2是方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0的两个实数根， ∴（k﹣1）x12﹣2kx1+k+2＝0①， x1+x2，x1•x2， ∴x2x1， ∵（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2， ∴（k﹣1）x12+2k（x1）+k+2＝4•， ∴（k﹣1）x122kx1+k+2＝4•， 即：（k﹣1）x12﹣2kx1+k+24•②， 把①代入②得：4•， 整理得k2﹣k﹣2＝0， 解得k＝2或k＝﹣1， 经检验k＝2和k＝﹣1都是方程4•的解， 故存在实数k，使其满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2，k的值为2或﹣1． 23．（10分）信阳浉河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村民在第一年承包种植茶叶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩． （1）求该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率； （2）某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销，已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）20%； （2）20元． 【解答】解：（1）设该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝144， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为20%； （2）设售价应降低m元，则每千克的销售利润为（300﹣m﹣240）元，每周能售出（50+2m）千克， 根据题意得：（300﹣m﹣240）（50+2m）＝3600， 整理得：m2﹣35m+300＝0， 解得：m1＝20，m2＝15， 又∵要尽量减少库存且让顾客得到实惠， ∴m＝20． 答：售价应降低20元． 24．（10分）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）5； （2）①x﹣1；x﹣3；②28． 【解答】解：（1）由题意，设5﹣x＝a，x﹣2＝b， ∴（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， （5﹣x）2+（x﹣2）2， ＝a2+b2． ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝32﹣2×2＝5； （2）∵四边形EMFD是长方形， ∴MF＝ED， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为x， ∴AD＝CD＝x， ∴DF＝CD﹣CF＝x﹣3，ED＝AD﹣AE＝x﹣1， ∴MF＝ED＝x﹣1， 故答案为：x﹣1；x﹣3． ②阴影部分的面积S＝MF2﹣DF2＝（MF+DF）（MF﹣DF）， MF﹣DF＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∵长方形EMFD的面积是48， ∴MF•DF＝48， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝48， 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则ab＝48，a﹣b＝2， ∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴MF+DF＝14， ∴S＝（MF+DF）（MF﹣DF）＝14×2＝28， ∴阴影部分的面积是28． 25．（10分）配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为x（本），总成本C（元）为：C＝x2﹣12x+40． 利用配方法求C的最小值， 解：C＝x2﹣12x+40＝x2﹣12x+36+4＝（x﹣6）2+4， ∵（x﹣6）2≥0， ∴当x＝6时，总成本C最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求a2﹣2a+3的最小值　2　 ； （2）已知m2+2n2+6m﹣8n+17＝0，求m+n的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【答案】（1）2； （2）﹣1； （3）S的最大值为18． 【解答】解：（1）原式＝a2﹣2a+1﹣1+3 ＝（a﹣1）2+2， ∵（a﹣1）2≥0， ∴当a＝1时，a2﹣2a+3有最小值2； 故答案为：2； （2）由条件可知m2+6m+9+2n2﹣8n+8＝0， ∴（m+3）2+2（n﹣2）2＝0， ∴m+3＝0，n﹣2＝0， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为（12﹣a）， ∴ ， ∵， ∴当a＝6时，S有最大值18． 26．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0， 化简得：64m≤﹣64， 解得：m≤﹣1且m≠﹣2； （2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长， ∴x1＝x2， ∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0， 解得m＝﹣1， ∴x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∵BC＝4， ∴△ABC的周长为：3+3+4＝10； （3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4， ∴p5， ∴S△ABC， 过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E， ∵I是△ABC角平分线的交点， ∴IF＝ID＝IE， ∴S△ABC， 解得ID， ∴S△BIC． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（单元自测·提升卷02） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （12个选择题，6个填空题，8个解答题） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九上第二十五章：一元二次方程。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 2．如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3 3．将一元二次方程x2﹣6x＝1配方，得到方程x2﹣6x+▲＝1+▲，其中“▲”表示的数是（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 4．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该参加小组赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 5．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2026﹣6a2+2a的值是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．根据表格的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，且a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 1 2 3 4 ax2+bx+c ﹣4 ﹣2 2 8 16 A．0＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜3 D．3＜x＜4 7．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺、问折高者几何？意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+62＝102 B．x2﹣62＝（10﹣x）2 C．x2+6﹣（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）2 9．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若9a+3b+c＝0，则它的一个根是（　　） A．x＝3 B． C．x＝﹣3 D． 10．若矩形ABCD的两邻边边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为（　　） A． B．4 C．5 D．10 11．已知方程（x﹣a）（x﹣b）＝0有M个解，方程（ax+2）（bx+2）＝0有N个解，a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1 C．M＝N﹣1或M＝N+2 D．M＝N或M＝N﹣1 12．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+2kx＝36，按照图1的图解法构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连结CD，若，则k的值是（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 14．关于x的一元二次方程x2+kx﹣12＝0的一个根为﹣2，则另一个根是　 　 ． 15．定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围为　 　 ． 16．已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（4x+1）2+2（4x+1）﹣3＝0的解是　 　 ． 17．若方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根为α，β，则α3+6β﹣1的值为　 　 ． 18．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC和BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣x+2m＝0的两个实数根，CE⊥AB于点E，则CE的长度是　 　 ． 三、解答题（本题共9小题，共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）用指定的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0．（用配方法） （2）2x2﹣9x+8＝0．（用公式法） （3）5（x﹣3）2＝x2﹣9．（用因式分解法） 20．（8分）已知四边形ABCD相邻两边AB，AD的长度分别是关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根x1，x2． （1）若四边形ABCD为菱形，求a的值； （2）若四边形ABCD为矩形，且该矩形对角线AC的长度为，求a的值． 21．（8分）如图1，有一块面积为144cm2的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为3：2． （1）分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 22．（8分）已知：关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若x1，x2是方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 23．（10分）信阳浉河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村民在第一年承包种植茶叶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩． （1）求该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率； （2）某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销，已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？ 24．（10分）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　 ，DF＝　 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 25．（10分）配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为x（本），总成本C（元）为：C＝x2﹣12x+40． 利用配方法求C的最小值， 解：C＝x2﹣12x+40＝x2﹣12x+36+4＝（x﹣6）2+4， ∵（x﹣6）2≥0， ∴当x＝6时，总成本C最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求a2﹣2a+3的最小值　 　 ； （2）已知m2+2n2+6m﹣8n+17＝0，求m+n的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 26．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $