第二十五章 一元二次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心知识，通过基础概念、实际应用及创新题型，适配九年级上册单元复习，提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式、根与系数关系|如第7题结合三角形边长考查方程应用，体现几何直观| |填空题|6/18|配方法、根的性质、实际问题|如第14题正方形基地面积问题，培养模型意识| |解答题|9/72|实际应用、新定义、综合探究|如25题矩形运动问题，融合动态几何与方程思想，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 3．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 4．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 6．设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先根据两根之和结合求出两个根，再通过两根之积计算的值，即可选出正确选项． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 9．对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． 故选：C． 10．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】 12 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 12．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：设另一个根为，由根与系数的关系得， 其中，，，代入得：， 即， 解得：． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 14．某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 【答案】1 【分析】设小路的宽度为，劳动实践基地的边长为，根据正方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设小路的宽度为，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：， 解得或x=23（舍去）， ∴小路的宽度为1m． 15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时判别式等于0，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：原方程为一元二次方程的一般形式，其中，，常数项为， 因为方程有两个相等的实数根， 所以判别式， 解得 16．如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 【答案】2或6或 【分析】先证明，得到，，则，设，结合图形表示出，最后根据的面积等于6，即，代入列方程求解，注意本题中需要分两种情况讨论：第一种情况是点在线段上时；第二种情况是点在线段延长线上时． 【详解】解：当点在线段上时， ∵，， ∴，，， ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∴或； 如图2，当点在线段延长线上时， 同理可得，， 设，则， ∵的面积等于6， ∴， ∴， 解得：， ∵ ∴； 综上所述，的长为2或6或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 （1）因式分解法（十字相乘法）解一元二次方程：用十字相乘法分解为的形式，进而求解． （2）配方法解一元二次方程：通过移项将常数项移项至等式右边，同时二次项的系数化为，通过配方将等式左边写成完全平方式，进而开平方求解． 【详解】（1）解：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 移项，等式两边同时除以，得：， 配方，得：， 即：， ∴， 解得：，． 18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：移项，得第一步 二次项系数化为1，得第二步 配方，得．第三步 第四步 由此可得．第五步 ，第六 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ； ②上述解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请写出该方程正确的求解过程． 【答案】(1)①配方法，完全平方公式；②三，等式的右边没有加上 (2)，，正确的求解过程见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据题中所给解答过程求解①②小问即可； （2）根据配方法可进行求解方程． 【详解】（1）解：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②上述解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是等式的右边没有加上； 故答案为：①配方法，完全平方公式；②三，等式的右边没有加上； （2）解：， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 由此可得：， ∴，． 19．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 20．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． (1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【答案】(1) (2)长为20米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形运动员候场区的面积为300平方米列一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：修建的长方形运动员候场区的长为： 米； （2）解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米． 21．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 【答案】(1)且 (2)不存在，理由见解析 (3)实数的整数值为或或或 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于，联立两个条件求出的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再对已知等式进行移项变形，将两根之和与两根之积代入求解，最后结合（1）的范围判断该是否符合题意，从而确定是否存在； （3）先将代数式展开并代入两根之和与两根之积化简得到关于的分式，再根据结果为负整数的条件，分析得出分母为的正约数，进而求出对应的整数． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）解：不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 22．阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【答案】(1)2 (2)有最大值，最大值为12 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答； （2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值． 【详解】（1）解：． ， ， 的最小值是2． （2）． ， ， 有最大值，最大值为． 23．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1) (2)套 【分析】（1）本题为增长率问题，设年均增长率为，利用两年后人数等于初始人数乘以增长率的平方列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． （2）先判断购买套数超过100套，再根据优惠规则表示出每套售价，结合总货款列一元二次方程，求解后根据最低售价要求舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，(不符合题意，舍去)， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）解∶(元)， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套． 24．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 25．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C A A A D C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．12 12．/ 13． 14．1 15． 16．2或6或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，；...........3分 （2）解：， 移项，等式两边同时除以，得：， 配方，得：， 即：， ∴， 解得：，．...........6分 18． 【详解】（1）解：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②上述解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是等式的右边没有加上； 故答案为：①配方法，完全平方公式；②三，等式的右边没有加上；...........2分 （2）解：， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 由此可得：， ∴，．...........6分 19． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：；...........2分 （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是．...........6分 20． 【详解】（1）解：修建的长方形运动员候场区的长为： 米；...........2分 （2）解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米．...........6分 21． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且；...........2分 （2）解：不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立；...........5分 （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或．...........8分 22． 【详解】（1）解：． ， ， 的最小值是2．...........4分 （2）． ， ， 有最大值，最大值为．...........8分 23． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，(不符合题意，舍去)， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为．...........3分 （2）解∶(元)， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套．...........8分 24． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”．...........2分 （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或．...........7分 （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以．...........12分 25． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于；...........4分 ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于；...........8分 （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于．...........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 3．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 5．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 6．设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　） A．2 B．4 C． D． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 9．对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 10．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________． 13．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 14．某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 16．如图，在中，，．点M从点A出发，沿射线的方向运动，连接．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．若的面积等于6，则的长为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：移项，得第一步 二次项系数化为1，得第二步 配方，得．第三步 第四步 由此可得．第五步 ，第六 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ； ②上述解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请写出该方程正确的求解过程． 19．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 20．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． (1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 21．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 22．阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 23．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 24．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 25．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26八年级下·山东威海期末)一元二次方程2x2-5=x的二次项系数和一次项系数分别是(). A.2,-5 B.2,1 C.-2,1 D.2,0 2.(25-26八年级下·山东烟台期末)关于x的一元二次方程x2-x-2=0的根的情况是（) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的同号实数根 D.有两个不相等的异号实数根 3。(25-26八年级下安徽池州期末)若方程(m-)x+4x-2=0 关于x的一元二次方程，则m的值 是() A.-1 B.1 C.±1 D.-2 4.(25-26八年级下·山东东营期末)已知关于x的方程ax2+4x-2=0有两个实数根，则a的取值范围是 () A.a≥-2 B.a>-2 C.a2-2且a≠0D.a≤2且a≠0 5.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中的a,b,c满足4a-2b+c=0,则方程必有根() A.-2 B.-1 C.1 D.2 6。设、”是关于”的方程-3x+k= 的两个根，且=2 2,则的值是() A.2 B.4 C.-2 D.-4 7.(25-26八年级下山东烟台期末)已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2-10x-24=0的 解，则这个三角形的周长是() A.26 B.16 C.28 D.16或26 8。（25-26八年级下浙江杭州期末)已知一元二次方程-4r-5=0 x=m x2=n 的两根为， ，一元二次 116 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程2+4 令+t=0的两根为m,5、、 =n,则，值是() A.1 B.5 C.5 n 2.对于任意实数、2，定义新运算，m◇n=5mn+”,例如：2◇10=×2×10+10=14，则方 x◇(5x)=0 的根是() A=6=5 B==-5 C.x=-5.5=0D.=5.=0 10。我们将关于x的一元二次方程a(-m+m=0与-m+n=0称为“同构二次方程”.比如 2(x-2-4=0与36x-2)-4=0就是“同构二次方程”.已知两个关于x的一元二次方程2-旷-1=0 与a+10r+(b-2)x-2= 是“同构二次方程”，则a,b的值分别为() A.1,-1 B.-1,2 C.-2,4 D.-2,0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.用配方法解一元二次方程-6x=3时，配方后所得方程为x-3- 12.(25-26九年级上辽宁大连期末)若关于x的方程2x2+3mx-1=0的一个根为-1，则另一个根为 13。(25-26八年级下云南昆明期末)已知m,m(m≠ 是一元二次方程×-x-2026=0的两个实数根， 则代数式m+n+mn的值为 14.某校要在边长为24m的正方形ABCD空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四 周小路的宽度相等，且该基地的面积为484m,则小路的宽度为」 m. 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 劳动实践基地 1 15.若关于x的一元二次方程2-3x+c=0有两个相等的实数根，则c= 16如图，在Rt△BC中，∠ACB=90°.AC=BC=4 2.点M从点A出发，沿射线B的方向运动， 连接CM.将线段CM绕点C顺时针旋转9O°得到线段CV,连接MN,BV.若△BMN的面积等于6，则 AM的长为 M 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.解方程： r-5x+4=0 22r2-4x-1=0 18.下面是小明同学解一元二次方程3x2+8x-3=0的过程，请认真阅读并完成相应任务. 解：移项，得3x2+8x=3.…第一步 二次项系数化为1，得+ =…第二步 8 4 配方，得 +3x+3 第三步 316 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+ 3 第四步 4 由此可得x+，=士1 第五步 X1= 3, 3……第八 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是_，依据的数学公式是_： ②上述解题过程从第步开始出现错误，错误的原因是_ (2)任务二：请写出该方程正确的求解过程。 19,(25:26九年级上：福建泉州期末)已知.是两个不相等的实数，且满足+3江+5(=0 x32+3x2+5k=0 (求武子+5。 的值； (②)若与两数异号，求实数k的取值范国。 20.(25-26九年级上陕西·期末)如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙 长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入 口不用隔栏)，设修建的长方形运动员候场区的宽AB为x米， LU1111111011111 A D 出口 B (I)修建的长方形运动员候场区的长BC为 米；（用含x的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求BC的长 21.已知，无是一元二次方程 a-6)x2+2ar+a=0 的两个实数根。 (1)求a的取值范围： (2②)是否存在实数”，使+=1+。 成立？若存在，求出“的值；若不存在，请你说明理由： 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若+s+1 的值为负整数，求实数“的整数值、 22.阅读下面的例题： 求代数式x2+6x+10的最小值. x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1 解： (x+3)220.(x+3)2+1≥1 x2+6x+10 的最小值是1. 请利用以上方法，解答下列问题： 2+10y+27 (1)求代数式 的最小值 (2)判断代数式8-m+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值. 23.(25-26八年级下·安徽合肥期末)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来 越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100 套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于998元. 已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数. 24.定义：如果关于x的一元二次方程axr+br+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其 中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“好根方程”. (1)下列方程中，是“好根方程”的是一（填序号）· ①x2+2x=0;②x2-2x+1=0:③x2-4x+3=0. 2若x+3r-m)=-0 “好根方程”，求”的值. (3)若一元二次方程x2+cx+c=0(c为常数)为“好根方程”，直接写出c的数值 25.(25-26九年级下·山东淄博期末)如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P从A开始沿 516 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P,Q两点分别 从A,B同时出发. C Q 个 B ()若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动. △PBO 8cm ①经过几秒， 的面积等于”？ ②△PB0的面积能否等于10cm?？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由. (2)若点P到达B后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q到达C后不停止，继续以原速沿射线BC方向运动， 直到点P第一次回到A时，两点同时停止运动.在整个运动过程中，第几秒△PBQ的面积等于6cm? 616