第二十五章 《一元二次方程》单元自测卷 强化卷02 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九上一元二次方程单元强化卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，通过实际情境（如停车场、鱼价问题）与创新题型（定义新运算、几何代数结合），适配单元复习，提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|方程定义、解法（公式法/配方法）、根的判别式|基础巩固，第5题新运算关联根的情况，体现抽象能力| |填空题|6/12|参数取值（如k值）、应用题（球队比赛）|能力提升，第17题运动问题结合几何与方程，培养空间观念| |解答题|8/72|解法综合、实际应用（鱼价/车棚面积）、几何代数综合|创新应用，第25题阅读材料关联最值，发展推理意识与应用意识|

· 第二十五章 一元二次方程（单元自测·强化卷02） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （12个选择题，6个填空题，8个解答题） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九上第二十五章：一元二次方程。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2 B．2 x﹣3＝x+1 C．2x2+3y＝1 D．x2＝16 2．把一元二次方程6x2﹣3＝4x（2x﹣1）化为一般形式是（　　） A．﹣2x2﹣4x+3＝0 B．2x2+4x﹣3＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．2x2﹣4x﹣3＝0 3．用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+5＝0时，首先要确定a，b，c的值，正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝5 B．a＝﹣3，b＝2，c＝5 C．a＝3，b＝2，c＝﹣5 D．a＝3，b＝﹣2，c＝5 4．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程2x2+ax+4b＝0的解，则a﹣2b的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 5．定义新运算m@n＝m2﹣mn﹣2．例如1@2＝12﹣1×2﹣2＝﹣3，则关于x的方程x@a＝2的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 7．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则该方程的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣4，x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．无法确定 8．方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定 9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 10．若关于x的一元二次方程mx2+n＝0的一个根为1，则方程m（x+3）2+n＝0的根是（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或﹣2 C．﹣2或﹣4 D．1或4 11．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程x2+4x＝32的解时，如图，先画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，在斜边AB上截取BD＝2，则下列线段可以表示方程x2+4x＝32的一个解的是（　　） A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长 12．已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（d x+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　） A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若（k﹣1）x|k+1|+3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　 　 ． 15．组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请　 　 个球队参加比赛． 16．已知一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的根为x1，x2，若，则b的值为 　 　 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．　 　 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为20cm2． 18．已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则边长c的最大值是　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）4（x﹣1）2＝36； （2）3x2﹣4x﹣1＝0； （3）（3x﹣1）2＝6x﹣2； （4）（x﹣1）（x﹣3）＝8． 20．（8分）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 21．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“关联方程”． （1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“关联方程”，证明：x＝﹣1为“关联方程”的根； （2）已知4x2﹣mx+n＝0是关于x的“关联方程”，若m是该“关联方程”的一个根，求m的值． 22．（8分）漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用960元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多20斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的1.5倍． （1）求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； （2）两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1280元．求m的值． 23．（10分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4，即x﹣1＝4，解得x＝5．所以原方程的解x1＝2，x2＝5． （1）请你利用这种方法解方程：（2x﹣1）2﹣4（2x﹣1）+3＝0； （2）已知△ABC三条边的长度分别为a，b，c，若满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，且c＝2，请判断△ABC的形状，并说明理由． 24．（10分）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm． （1）求车棚的长BC；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25．（10分）【阅读材料】如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：且仅当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析】已知x＞0，求式子y＝x的最小值． 解：令a＝x，b，则由，得y＝x224，当且仅当x时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当x＝　 　 时，式子x取到最小值，最小值为 　 　 ； （2）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知x＞0，则x＝　 　 时，分式取到最大值，最大值为 　 　 ． 10．（26分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $■▣口口▣■ 强化卷022026-2027学年九年级上册第二十五单元自测卷 数学（人教版新教材) 姓名：一 考场号：一 班级：一 学校： 座位号 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、准考证号等填写清楚。 2.客观题必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.请在题号对应的答题区域作答，区域外书写无效。 贴条形码区 正确填涂：■ 错误填涂：☑☐) 缺考标记：☐ 、 单选题（共12题，共36分）》 1 石BaPD 9A□BD□ 2A8cD 6LA L Lc [ 10A 8]Lc] 3AB cD 7 c 11 4 [c 8A幻BJ可DJ 12A□□可D 、 填空题（共6题，共12分） 13. 14 5 16. 17. 17. 三、解答题（共8题，共72分） 19.(8分) (1)4(x-1)2=36; (2)32-4x-1=0; (3)(3x-1)2=6x-2: (4)(x-1)(x-3)=8. I 20.(8分) 21.(8分) 第1页/共2页 22.(8分) 23.(10分) ■ ■ 0 ■▣口口■口 0 24(10分) 42m D 墙 B 0 1 0 25.(10分) 第2页/共2页 0 26.(10分) A P B Q C ■ 0 0 第二十五章 一元二次方程（单元自测·强化卷02） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （12个选择题，6个填空题，8个解答题） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2 B．2 x﹣3＝x+1 C．2x2+3y＝1 D．x2＝16 【答案】D 【解答】解：A、方程 分母含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程； B、方程2x﹣3＝x+1 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程； C、方程2x2+3y＝1 含有两个未知数，不是一元二次方程； D、方程x2＝16 只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程． 故选：D． 2．把一元二次方程6x2﹣3＝4x（2x﹣1）化为一般形式是（　　） A．﹣2x2﹣4x+3＝0 B．2x2+4x﹣3＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．2x2﹣4x﹣3＝0 【答案】C 【解答】解：去括号，得 6x2﹣3＝8x2﹣4x， 移项、合并同类项，得 2x2﹣4x+3＝0， 故选：C． 3．用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+5＝0时，首先要确定a，b，c的值，正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝5 B．a＝﹣3，b＝2，c＝5 C．a＝3，b＝2，c＝﹣5 D．a＝3，b＝﹣2，c＝5 【答案】D 【解答】解：∵给定方程为3x2﹣2x+5＝0，符合一般形式， ∴对比可得a＝3，b＝﹣2，c＝5． 故选：D． 4．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程2x2+ax+4b＝0的解，则a﹣2b的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：将x＝﹣2代入方程得2×（﹣2）2+a×（﹣2）+4b＝0， 即8﹣2a+4b＝0， ∴a﹣2b＝4． 故选：A． 5．定义新运算m@n＝m2﹣mn﹣2．例如1@2＝12﹣1×2﹣2＝﹣3，则关于x的方程x@a＝2的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：由题意，关于x的方程可转化为方程x2﹣ax﹣4＝0， Δ＝a2﹣4×（﹣4）＝a2+16＞0， 故选：B． 6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：∵x2﹣6x+5＝0， ∴x2﹣6x＝﹣5， ∴x2﹣6x+9＝﹣5+9， ∴（x﹣3）2＝4， ∵（x+a）2＝b， ∴a＝﹣3，b＝4， 则a+b＝﹣3+4＝1， 故选：A． 7．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则该方程的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣4，x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：当x＝2时，代入方程左边得a•22+b•2+c＝4a+2b+c， 由题可知4a+2b+c＝0， ∴x＝2是方程的根， 当x＝﹣2时，代入方程左边得a•（﹣2）2+b•（﹣2）+c＝4a﹣2b+c， 由题可知4a﹣2b+c＝0， ∴x＝﹣2是方程的根 ∴方程的根为x1＝2，x2＝﹣2． 故选：C． 8．方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：x2﹣9x+20＝0， （x﹣4）（x﹣5）＝0， x﹣4＝0或x﹣5＝0， 解得：x＝4或5， ①当等腰三角形的三边为4，4，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+4+5＝13， ②当等腰三角形的三边为4，5，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+5+5＝14， 所以等腰三角形的周长是13或14， 故选：C． 9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【答案】B 【解答】解：根据题意可得（40﹣x）（22﹣x）＝520， 故选：B． 10．若关于x的一元二次方程mx2+n＝0的一个根为1，则方程m（x+3）2+n＝0的根是（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或﹣2 C．﹣2或﹣4 D．1或4 【答案】C 【解答】解：由条件可知m×12+n＝0，即m+n＝0， ∴n＝﹣m，且m≠0， 将n＝﹣m代入方程m（x+3）2+n＝0，得m（x+3）2﹣m＝0， ∵m≠0，两边同除以m得（x+3）2﹣1＝0， 即（x+3）2＝1， 开方得x+3＝1或x+3＝﹣1， 解得x＝﹣2或x＝﹣4， 即方程的根为﹣2或﹣4． 故选：C． 11．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程x2+4x＝32的解时，如图，先画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，在斜边AB上截取BD＝2，则下列线段可以表示方程x2+4x＝32的一个解的是（　　） A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长 【答案】A 【解答】解：利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，结合BD＝2求出AD的长如下： 配方得（x+2）2＝13， 解得，， ∵线段长度必须为正数， ∴该方程符合几何意义的解为， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝2，AC＝3， 由勾股定理得， ∵在斜边AB上截取BD＝2， ∴． ∴线段AD的长表示方程的一个解． 故选：A． 12．已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　） A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d C． D． 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1， ∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解． ∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0， ∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0， ∵有两个相等的实数根， ∴x1+x1， 整理得：d＝a（x2﹣x1）． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若（k﹣1）x|k+1|+3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵（k﹣1）x|k+1|+3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程， ∴|k+1|＝2且k﹣1≠0， 解得k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 14．若关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　且k≠0　 ． 【答案】且k≠0． 【解答】解：由条件可知k≠0． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0．其中a＝k，b＝﹣（2k+1），c＝k， 代入得：[﹣（2k+1）]2﹣4•k•k＞0， 展开得4k2+4k+1﹣4k2＞0， 化简得4k+1＞0， 解得． 综上，k的取值范围为且k≠0． 故答案为：且k≠0． 15．组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请　6　 个球队参加比赛． 【答案】6． 【解答】解：设邀请x个球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场， ∴每个队都比赛了（x﹣1）场， ∵一共有x个队参赛， ∴所有队共比赛x（x﹣1）场， ∵A队与B队比赛和B队与A队比赛是同一场， ∴每两个队的比赛都被重复计算了一次， ∴总比赛场数是场， ∵计划安排15场比赛， ∴根据题意列一元二次方程得，， 整理得，x2﹣x﹣30＝0， 解得：x＝6或﹣5（不合题意，故舍去）， ∴x＝6， 即：共邀请6个球队参加比赛， 故答案为：6． 16．已知一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的根为x1，x2，若，则b的值为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， ∵， ∴2， ∴2， 解得b＝4． 故答案为：4． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．　或　 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为20cm2． 【答案】或． 【解答】解：设运动时间为t，由题意得CP＝t，CQ＝3t， 当点P在线段AC上时，0＜t≤8； 当点Q在线段BC上时，0＜t≤2； 故分三种情况讨论： ①当0＜t≤2时，如图， ， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当2＜t≤8时，如图， ， ∴9t＝20， 解得； ③当t＞8时，如图， ， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为20cm2． 故答案为：或． 18．已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则边长c的最大值是　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0， ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4﹣0． ∴a＝3，b＝4． ∴4﹣3＜c＜3+4， ∴1＜c＜7， 又∵c是正整数， ∴△ABC的边c的值2，3，4，5，6； ∴△ABC的边c的最大值6． 故答案为：6． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）4（x﹣1）2＝36； （2）3x2﹣4x﹣1＝0； （3）（3x﹣1）2＝6x﹣2； （4）（x﹣1）（x﹣3）＝8． 【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2； （2），； （3）； （4）x1＝5，x2＝﹣1． 【解答】解：（1）4（x﹣1）2＝36， （x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， ∴x1＝4，x2＝﹣2； （2）3x2﹣4x﹣1＝0， 这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， ∴， ∴，； （3）（3x﹣1）2＝6x﹣2， （3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0， （3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0， 即（3x﹣1）（3x﹣3）＝0， ∴3x﹣1＝0或3x﹣3＝0， ∴，x2＝1； （4）方程整理成一般式为x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1． 20．（8分）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0， ∴Δ＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝（m﹣1）2≥0， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：四边形ABCD是菱形，由临边相等可知关于x的方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0的两个实数根相等， ∴Δ＝（m﹣1）2＝0， ∴m1＝m2＝1， ∴方程为x2﹣4x+4＝0， ∴x1＝x2＝2， 即菱形的边长为2． 21．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“关联方程”． （1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“关联方程”，证明：x＝﹣1为“关联方程”的根； （2）已知4x2﹣mx+n＝0是关于x的“关联方程”，若m是该“关联方程”的一个根，求m的值． 【答案】（1）证明见解答； （2）m＝﹣1或． 【解答】（1）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“关联方程”， ∴b＝a+c，即a﹣b+c＝0， 把x＝﹣1代入方程左边，得左边＝a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c＝a﹣b+c＝0， ∴左边＝右边， ∴x＝﹣1为“关联方程”的根； （2）解：∵4x2﹣mx+n＝0是关于x的“关联方程”， ∴﹣m＝4+n， ∴n＝﹣m﹣4， ∵m是该方程的一个根， ∴4m2﹣m•m+n＝0， 整理得3m2+n＝0， 把n＝﹣m﹣4代入3m2+n＝0，得3m2﹣m﹣4＝0， 因式分解，得（3m﹣4）（m+1）＝0， 解得m＝﹣1或． 22．（8分）漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用960元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多20斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的1.5倍． （1）求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； （2）两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1280元．求m的值． 【答案】（1）黄翅鱼单价为16元/斤，石斑鱼单价为24元/斤； （2）8． 【解答】解：（1）设黄翅鱼的单价为x元/斤，则石斑鱼的单价为1.5x元/斤． 根据题意，， 解得x＝16， 检验：当x＝16时，1.5x≠0， 所以x＝16是原方程的解， 则石斑鱼的单价为：1.5x＝1.5×16＝24（元/斤）． 答：黄翅鱼单价为16元/斤，石斑鱼单价为24元/斤； （2）第一次购买石斑鱼的数量：（斤）， 第二次购买时，石斑鱼的数量为（40+2m）斤，黄翅鱼的数量为80﹣（40+2m）＝（40﹣2m） 斤； 石斑鱼的单价变为（24﹣m）元/斤，黄翅鱼单价仍为16元/斤． 根据题意，16（40﹣2m）+（24﹣m）（40+2m）＝1280， 解得m＝﹣20（不合题意，舍去）或m＝8． 答：m的值为8． 23．（10分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4，即x﹣1＝4，解得x＝5．所以原方程的解x1＝2，x2＝5． （1）请你利用这种方法解方程：（2x﹣1）2﹣4（2x﹣1）+3＝0； （2）已知△ABC三条边的长度分别为a，b，c，若满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，且c＝2，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）x1＝1，x2＝2； （2）△ABC是直角三角形． 【解答】解：（1）设2x﹣1＝m，则原方程可化为m2﹣4m+3＝0， ∴（m﹣1）（m﹣3）＝0， ∴m﹣1＝0或m﹣3＝0， 解得m1＝1，m2＝3． 当m＝1时，2x﹣1＝1，解得x＝1； 当m＝3时，即2x﹣1＝3，解得x＝2． 所以原方程的解为x1＝1，x2＝2；（2）设a2+b2＝y，则原方程可化为y2﹣3y﹣4＝0，∴（y﹣4）（y+1）＝0， ∴y﹣4＝0或y+1＝0， 解得y1＝4，y2＝﹣1（舍去）． 当y＝4时，a2+b2＝4， 因为c＝2， 所以c2＝4， 所以a2+b2＝c2． 所以△ABC是直角三角形． 24．（10分）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm． （1）求车棚的长BC；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为xm， ∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m； （2）根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15， 当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去； 当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意． 答：车棚的长为30m，宽为15m； （3）不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝ym，则BC＝（73+2﹣3y）m， 根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525， 整理得：y2﹣25y+175＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为525m2的自行车车棚． 25．（10分）【阅读材料】如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：且仅当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析】已知x＞0，求式子y＝x的最小值． 解：令a＝x，b，则由，得y＝x224，当且仅当x时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当x＝　1　 时，式子x取到最小值，最小值为 　2　 ； （2）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知x＞0，则x＝　3　 时，分式取到最大值，最大值为 　　 ． 【答案】（1）1；2；（2）这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m；（3）3；． 【解答】解：（1）由，得： x222， 当且仅当x时，即x＝1时，式子有最小值，最小值为2． 故答案为：1；2； （2）设这个长方形的长为xm，宽为ym，由题意得：xy＝100． 由，得： x+y≥2220， 当且仅当x＝y时，即x＝10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m； ∴这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m． （3）设yx2， 由，得： y＝x2≥22＝2×3﹣2＝4， 当且仅当x时，即x＝3时，式子有最小值，最小值为4， ∴分式取到最大值，最大值为． 故答案为：3；． 26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2s； （3）当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 1 / 22 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