第二十五章 一元二次方程（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第二十五章一元二次方程单元复习强化卷，通过选择、填空、解答题全面覆盖概念、解法及应用，突出抽象能力、模型意识与推理能力培养，适配单元知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次项系数、根的判别式、实际应用（增长率）|新定义运算“★”考查知识迁移，表格估计方程解体现数学眼光| |填空题|6/18|构造方程、根与系数关系、代数式求值|结合方程根求代数式值，强化知识内在联系| |解答题|8/72|解方程、几何应用（矩形面积）、利润问题、材料阅读|换元法解方程渗透转化思想，蜂蜜销售利润问题培养模型意识，最值探究发展推理能力|

第二十五章 一元二次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 4．已知是方程的一个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 6．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（ ） A． B． C． D． 7．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 8．近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、玉米等多条农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 9．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 10．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（ ） A．18 B．20 C．24 D．22 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．写出一个以0和为根的一元二次方程:_________． 12．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 13．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 14．设，是一元二次方程 的两个实数根，则 ______________． 15．已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 16．已知：是方程的一个根，求代数式的值是_________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 19．（8分）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根差为1，求此时的值． 21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用）现在已备足可以砌的墙的材料，使矩形花园的面积为，试求的长． 22．（10分）某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？ 23．（10分）已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； (2)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 24．（10分）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．B 2．D 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（答案不唯一） 12． 13．：k＜1． 14．13 15．3 16．1 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，． （2）解：， 或， 解得：，． 18．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 19．(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 20．(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式，可得，即可证明结论； （2）利用因式分解法求得该方程的解为，，结合方程两个根差为1解得的值即可． 【详解】（1）证明：对于关于的一元二次方程， ∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程两个根的差为1， ∴或， ∴或． 21．的长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 【详解】解：设的长为， 根据题意，得， 解方程，得或， ， ， ， 所以的长为． 22．(1) (2)销售单价应定为每千克55元 【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解决问题． （1）设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：销售单价应定为每千克55元． 23．(1)7，1，7 (2)1 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是构建一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解． （1）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴． 24．(1)， (2)大，最值为 (3) 【分析】（）根据题例解答方法解答即可； （）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解； （）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可； 本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对于任意实数都有， ∴当时，的最小值是， ∴， 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）解： ， ∵对于任意实数都有， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为， 故答案为：大； （3）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，并且其最高次数为1，不是一元二次方程，则A不符合题意， B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则B不符合题意， C、，其最高次数为3，不是一元二次方程，则C不符合题意， D、符合一元二次方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得，计算得，根据一元二次方程的定义得，即可得，掌握一元二次方程的定义，根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ∵， ∴且， 故选：D． 4．已知是方程的一个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解相关运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．把代入运算求解即可． 【详解】解：把代入可得：， 解得：， 故选：A． 5．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 6．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据求解即可． 【详解】解：∵， 是一元二次方程 的两个根， ∴， 故选：C． 7．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 8．近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、玉米等多条农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．设出未知数，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，可列方程为， 故选：D． 9．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（ ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，利用因式分解法解一元二次方程． 原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选C． 10．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（ ） A．18 B．20 C．24 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及两位数的表示方法，解题的关键是通过设未知数将两位数转化为代数式，根据“两位数等于各位数字之积的3倍”建立方程，同时结合数字为整数的实际意义舍去非整数解． 设个位数字为，因十位数字比个位数字小2，故十位数字为；根据两位数的表示规则（十位数字 个位数字），将该两位数表示为；再依据“两位数等于各位数字之积的3倍”列方程，求解后筛选出符合实际的整数解，进而确定这个两位数． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． ∵两位数可表示为“十位数字+个位数字”，且该两位数等于各位数字之积的3倍， ∴列方程：， 化简方程：，整理得． 因式分解：，解得或． ∵数字需为整数，故舍去 ∴个位数字，十位数字为， 该两位数为，对应选项C． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．写出一个以0和为根的一元二次方程:_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系，两根和为，两根积为，根据此关系即可写出方程．此题的答案不唯一，解题的关键是掌握一元二次方程中根与系数的关系． 【详解】解：依题意，两根和为，两根积为． 设，据题意得 ， ， 一个以0，为根的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 14．设，是一元二次方程 的两个实数根，则 ______________． 【答案】13 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，掌握该知识点是解题的关键．根据题意可知，，然后将转化成进行计算即可． 【详解】解： ，是一元二次方程 的两个实数根， ， ， 故答案为：13． 15．已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为3． 16．已知：是方程的一个根，求代数式的值是_________． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴原式 ． 故答案为：1 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，． （2）解：， 或， 解得：，． 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 19．（8分）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根差为1，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式，可得，即可证明结论； （2）利用因式分解法求得该方程的解为，，结合方程两个根差为1解得的值即可． 【详解】（1）证明：对于关于的一元二次方程， ∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程两个根的差为1， ∴或， ∴或． 21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用）现在已备足可以砌的墙的材料，使矩形花园的面积为，试求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 【详解】解：设的长为， 根据题意，得， 解方程，得或， ， ， ， 所以的长为． 22．（10分）某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为每千克55元 【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解决问题． （1）设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：销售单价应定为每千克55元． 23．（10分）已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； (2)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1)7，1，7 (2)1 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是构建一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解． （1）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴． 24．（10分）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是 所以 所以当时，的值最小，最小值是 所以的最小值是 依据上述方法，解决下列问题： (1)当______时，有最小值是______； (2)多项式有最______填“大”或“小”值，并求出该多项式的最值； (3)已知的三边长都是正整数，且满足，求当时，的周长． 【答案】(1)， (2)大，最值为 (3) 【分析】（）根据题例解答方法解答即可； （）把多项式转化为，进而由得，即得到，即可求解； （）由得，即得，，进而求出三角形的周长即可； 本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵对于任意实数都有， ∴当时，的最小值是， ∴， 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）解： ， ∵对于任意实数都有， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为， 故答案为：大； （3）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $