第二十五章 《一元二次方程》单元知识复习及对应题目练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学一元二次方程单元复习讲义通过单元知识导图构建系统知识体系，以“考点清单细知”分考点梳理定义、解法、根与系数关系等核心内容，用题型示例呈现重难点内在逻辑。 讲义亮点在于“解法分层训练”与“实际问题建模”，通过配方法求最值、增长率问题等题型培养运算能力与模型意识，不同难度例题满足分层需求，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

第二十五章 一元二次方程（单元复习）单元知识导图 考点清单细知 考点01 一元二次方程定义 1. 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。 【题型1：判断方程是否为一元二次方程】 1．下列方程：①x2﹣5x＝2026，②ax2+bx+c＝0，③，④（x﹣2）（x+6）＝x2+1，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2：根据一元二次方程的定义求值】 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．﹣2 【题型3：将一元二次方程化为一般形式并判断各项系数及其求值】 3．把一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣5x+2＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．x2﹣x+2＝0 4．一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 考点02 一元二次方程解（或根） 1．一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边的成立的未知数的值是一元二次方程的根。也叫做一元二次方程的解。 注意：若一元二次方程方程有一个根为1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为﹣1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为0，则有； 【题型1：判断方程的根】 6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若9a+3b+c＝0，则它的一个根是（　　） A．x＝3 B． C．x＝﹣3 D． 7．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则该方程的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣4，x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．无法确定 【题型2：根据一元二次方程的根求字母】 8．若x＝5是方程x2+bx﹣15＝0的一个根，则b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 9．若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 【题型3：根据一元二次方程的根求代数式】 10．已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣1 D．﹣4或﹣10 11．若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根，则代数式2a2﹣6a+2031的值是（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 考点03 解一元二次方程 1. 直接开方法解一元二次方程： 适用于能将方程化成或或（均大于等于0）的方程。 ①时，方程的解为：。 ②时，方程的解为：。 ③时，方程的解为：。 【题型1：利用直接开方法解方程】 12．解方程： （1）x2﹣225＝0； （2）4（x﹣1）2＝25． 【题型2：形如的两根的特点】 13．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 2. 配方法解一元二次方程： 运用公式：。 具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。 ②移项——把常数项移到等号右边。 ③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。 ④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。 ⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。 即： ∴ 若，则即可求得两根。 【题型1：一元二次方程的配方变形及其求值】 14．用配方法解方程x2﹣3＝4x，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝7 15．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 【题型2：利用配方法解方程】 16．用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 17．用配方法解下列方程： （1）3x2+6x﹣12＝0； （2）2x2﹣7x+6＝0． 【题型3：利用配方法求二次三项式的最值】 18．整式x2+8x+21的最小值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5 19．我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值．解答如下： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， （x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当x＝　 　 时，代数式x2﹣4x+15的最小值是　 　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　 时，y有最　 　 值（填“大”或“小”），这个值是　 　 ； （3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值． 【题型4：利用做差法及其配方法比较式子的大小关系】 20．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1，则M、N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小由a的取值范围 21．已知M＝a2+3b2，N＝2b2+2ab，则M，N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 【题型5：配方变形的其他应用】 22．阅读下列材料，回答问题： 我们把形如a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若a2+b2+2a﹣4b+5＝0，求a，b的值． 解：原式可变形为： （a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0， 即（a+1）2+（b﹣2）2＝0， ∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若x2+y2﹣6x+8y+25＝0，求x，y的值； （2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，判断△ABC的形状，并说明理由； （3）求代数式x2﹣4x+y2+2y+7的最小值． 3. 公式法解一元二次方程： （1） 根的判别式：由配方法可知，即为一元二次方程根的判别式。用表示。 ①方程有两个不相等的实数根。 ②方程有两个相等的实数根。 ③方程没有实数根。 （2） 求根公式： 当时，则一元二次方程可以用来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程的两根为。 ②时，一元二次方程的两根为。 ③时，方程没有实数根。 【题型1：判断一元二次方程的根的情况】 23．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个互为相反数的实数根 D．没有实数根 24．若点（m，n）在第四象限，则关于x的方程mx2﹣x+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 25．关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k2+6＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【题型2：根据一元二次方程的根的情况求值或取值范围】 26．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k＜2且k≠1 C．k≤2且k≠1 D．k≥2且k≠1 27．关于x的一元二次方程x2+3x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型3：利用求根公式还原方程或求值】 28．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 29．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 【题型4：利用公式发解一元二次方程】 30．用公式法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣5x+3＝0； （2）4x2+1＝﹣4x； （3）． 4. 因式分解法求一元二次方程： 利用因式分解的手段将一元二次方程化为的形式，再利用来求解一元二次方程。 因式分解的方法：①提公因式；②公式法（完全平方公式与平方差公式）；③十字相乘法 【题型1：用因式分解法解一元二次方程】 31．用因式分解法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）2x2+x＝0； （3）（x+1）2﹣2（x+1）＝0； （4）x2﹣3x+2＝0． 【题型2：用合适的方法解一元二次方程】 32．用合适的方法解下列方程： （1）（2x+1）2﹣25＝0； （2）x2+3x﹣28＝0； （3）（x+1）2＝2（x+1）； （4）2x2﹣4x+1＝0． 【题型3：整体法或换元法的应用】 33．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 34．已知方程ax2+bx﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程a（x+3）2+b（x+3）﹣3＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 35．已知实数a，b满足（a2+2b2）（a2+2b2﹣3）＝10，则a2+2b2的值为（　　） A．5或﹣2 B．﹣5或2 C．5 D．2 36．【阅读材料】方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0是一个一元四次方程，我们可以把x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①． 解方程①可得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，即x2＝2，∴； 当y＝4时，x2﹣1＝4，即x2＝5，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 （1）方程x4﹣16＝0的解为 ； （2）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，求x2+y2的值； （3）请仿照材料中的方法，解方程：（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）＝0． 【题型4：解含绝对值的一元二次方程】 37．阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为：x2﹣3x﹣10＝0解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得 　 ； 综上所述，原方程的解是 　 ． 请参照上述方法解方程：x2+2|x+2|﹣4＝0． 考点04 根与系数的关系（韦达定理） 1. 根与系数的基本关系： 若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为： 。 同时存在：。 2. 常考推广公式： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 【题型1：求两根之和与两根之积】 38．已知α，β是一元二次方程x2﹣2025x﹣1＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 39．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．8 D．2 【题型2：求与两根之和及两根之积有关的拓展式子】 40．若实数m、n分别满足方程m2﹣5m+6＝0，n2﹣5n+6＝0，且m≠n，则m2+n2的值为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 41．设x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 42．已知a，b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．0 C．﹣4 D． 43．若α，β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（α﹣3）（β﹣3）的值为（　　） A．6 B． C． D． 【题型3：求根与系数的关系求代数式的值】 44．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，则（　　） A．﹣9 B．﹣8 C．7 D．10 45．设m，n是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　） A．2029 B．2028 C．2026 D．2025 46．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b（a≠b）满足a2+3a﹣1＝0，b2+3b﹣1＝0，则可将a，b看作一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：已知实数a，b满足7a2﹣7a﹣1＝0，7b2﹣7b﹣1＝0，且a≠b，求a2b+ab2的值． （2）思维拓展：已知实数a，b满足3a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+3＝0，且ab≠1，求的值． 【题型4：利用两根满足的关系求方程中待定系数的值】 47．已知Rt△ABC的两条直角边a，b分别是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且a2+b2＝25，a﹣b＝1，则p和q的值分别为（　　） A．﹣1，5 B．﹣7，12 C．3，4 D．7，﹣12 48．已知x1、x2是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两个实数根，若，则m等于（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 【题型5：根的判别式与根与系数的关系的综合】 49．已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0有两个实数根x1、x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若（2x1+1）（2x2+1）＝21，试求k的值． 50．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 考点05 一元二次方程的实际应用 1. 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2. 一元二次方程实际应用的基本类型： ①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。 ②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量） ③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。 ④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 ⑤商品销售问题：基本等量关系： 总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） ⑥图形面积问题： 利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立一元二次方程。 【题型1：实际问题抽象出一元二次方程】 51．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝36 C． D．x（x+1）＝36 52．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2023年为20万人次，2025年为37万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则可列出方程（　　） A．20（1﹣2x）＝37 B．20（1+2x）＝37 C．20（1﹣x）2＝37 D．20（1+x）2＝37 53．2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为12cm、宽为8cm的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为192cm2的挂图．设照片四周所镶边的宽为xcm，则所列方程正确的是（　　） A．（8+x）（12+x）＝192 B．（8﹣x）（12﹣x）＝192 C．（8+2x）（12+2x）＝192 D．（8﹣2x）（12﹣2x）＝192 54．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【题型2：一元二次方程的实际应用】 55．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 56．某水果店销售两种品牌的枇杷，一种是五星枇杷，一种是贵妃白枇杷．已知一箱贵妃白枇杷的售价比一箱五星枇杷的售价高50元，购买3箱贵妃白枇杷，2箱五星枇杷的总价不超过600元． （1）求每箱贵妃白枇杷的售价不高于多少元？ （2）当贵妃白枇杷按（1）问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售贵妃白枇杷12箱，因市场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱贵妃白枇杷的售价每降低20元，销量每周可增加3箱，若保证贵妃白枇杷每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱贵妃白枇杷的售价应该降低多少元． 57．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 58．2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个． （1）求每个A种、B种挂件的价格； （2）世界运动会期间，该文旅中心的A种挂件平均每天销售12个，世界运动会结束后，该文旅中心决定对A种挂件降价销售，根据市场调研反馈，每降价1元销售数量会增加4个，但是销售单价不得低于8元，请问是否存在某一天A种挂件销售总额为216元，若存在请计算出当天A种挂件的销售单价，若不存在请通过计算说明理由． 59．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为176cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（单元复习）单元知识导图 考点清单细知 考点01 一元二次方程定义 1. 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。 【题型1：判断方程是否为一元二次方程】 1．下列方程：①x2﹣5x＝2026，②ax2+bx+c＝0，③，④（x﹣2）（x+6）＝x2+1，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①x2﹣5x＝2026，是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，当a＝0时方程不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④（x﹣2）（x+6）＝x2+1，整理方程得：4x﹣13＝0，不是一元二次方程； 故选：B． 【题型2：根据一元二次方程的定义求值】 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．﹣2 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故选：A． 【题型3：将一元二次方程化为一般形式并判断各项系数及其求值】 3．把一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣5x+2＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．x2﹣x+2＝0 【解答】解：x2﹣2（x﹣1）＝3x， x2﹣2x+2﹣3x＝0， x2﹣5x+2＝0， 故一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式为x2﹣5x+2＝0． 故选：B． 4．一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 【解答】解：由题意，∵2x2＝x+9， ∴2x2﹣x﹣9＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣9． 故选：C． 5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 【解答】解：根据题意得：， 解得：m＝﹣2． 故选：C． 考点02 一元二次方程解（或根） 1．一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边的成立的未知数的值是一元二次方程的根。也叫做一元二次方程的解。 注意：若一元二次方程方程有一个根为1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为﹣1，则有； 若一元二次方程方程有一个根为0，则有； 【题型1：判断方程的根】 6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若9a+3b+c＝0，则它的一个根是（　　） A．x＝3 B． C．x＝﹣3 D． 【解答】解：把x＝3代入方程左边，得a×32+b×3+c＝9a+3b+c， 又∵已知9a+3b+c＝0， ∴当x＝3时，方程左右两边相等， ∴x＝3是该一元二次方程的一个根． 故选：A． 7．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则该方程的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣4，x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．无法确定 【解答】解：当x＝2时，代入方程左边得a•22+b•2+c＝4a+2b+c， 由题可知4a+2b+c＝0， ∴x＝2是方程的根， 当x＝﹣2时，代入方程左边得a•（﹣2）2+b•（﹣2）+c＝4a﹣2b+c， 由题可知4a﹣2b+c＝0， ∴x＝﹣2是方程的根 ∴方程的根为x1＝2，x2＝﹣2． 故选：C． 【题型2：根据一元二次方程的根求字母】 8．若x＝5是方程x2+bx﹣15＝0的一个根，则b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【解答】解：将x＝5代入原方程得：52+5b﹣15＝0， 解得：b＝﹣2， ∴b的值为﹣2． 故选：D． 9．若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 【解答】解：由条件可得：k2﹣4＝0，解得k＝±2， ∵已知方程是一元二次方程， ∴k+2≠0，即k≠﹣2， ∴k＝2． 故选：B． 【题型3：根据一元二次方程的根求代数式】 10．已知a是方程x2+3x+2＝0的一个根，则代数式a2+3a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣1 D．﹣4或﹣10 【解答】解：把x＝a代入方程x2+3x+2＝0得a2+3a+2＝0， 所以a2+3a＝﹣2． 故选：A． 11．若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根，则代数式2a2﹣6a+2031的值是（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【解答】解：原式＝2a2﹣6a+4﹣4+2031 ＝2（a2﹣3a+2）﹣4+2031 ＝2（a2﹣3a+2）+2027 由题意可得：a2﹣3a+2＝0， 即原式＝2×0+2027＝2027． 故选：B． 考点03 解一元二次方程 1. 直接开方法解一元二次方程： 适用于能将方程化成或或（均大于等于0）的方程。 ①时，方程的解为：。 ②时，方程的解为：。 ③时，方程的解为：。 【题型1：利用直接开方法解方程】 12．解方程： （1）x2﹣225＝0； （2）4（x﹣1）2＝25． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2＝225， ∴x＝±15； （2）原方程变形可得： ， ∴， ∴或． 【题型2：形如的两根的特点】 13．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 2. 配方法解一元二次方程： 运用公式：。 具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。 ②移项——把常数项移到等号右边。 ③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。 ④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。 ⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。 即： ∴ 若，则即可求得两根。 【题型1：一元二次方程的配方变形及其求值】 14．用配方法解方程x2﹣3＝4x，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝7 【解答】解：x2﹣3＝4x， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， 故选：D． 15．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 【解答】解：由题知， x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， 因为该方程可化为（x+m）2＝n的形式， 所以m＝﹣3，n＝6， 则m+n＝﹣3+6＝3． 故选：D． 【题型2：利用配方法解方程】 16．用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 【解答】解：（1）∵x2+6x＝1， ∴（x+3）2＝10， ∴x+3＝±， ∴x13，x23； （2）∵x2+5x﹣6＝0， ∴x2+5x＝6， ∴（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2＝﹣6． 17．用配方法解下列方程： （1）3x2+6x﹣12＝0； （2）2x2﹣7x+6＝0． 【解答】解：（1）原方程两边同除以3得x2+2x﹣4＝0， 移项得x2+2x＝4， 配方得x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5， 两边开平方，得，即或， ∴，； （2）原方程两边同除以2得， 移项得， 配方得，即， 两边开平方得，即或． ∴x1＝2，． 【题型3：利用配方法求二次三项式的最值】 18．整式x2+8x+21的最小值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5 【解答】解：由题意，∵x2+8x+21＝x2+8x+16+5＝（x+4）2+5≥5， ∴整式x2+8x+21的最小值为5． 故选：D． 19．我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值．解答如下： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， （x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当x＝　2　 时，代数式x2﹣4x+15的最小值是　11　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　1　 时，y有最　大　 值（填“大”或“小”），这个值是　﹣2　 ； （3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+15＝（x﹣2）2+11， ∴当x＝2时，有最小值11； 故答案为：2；11； （2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴当x＝1时有最大值﹣2； 故答案为：1；大；﹣2； （3）解：∵﹣x2+5x+y+10＝0， ∴x+y＝x2﹣4x﹣10＝（x﹣2）2﹣14， ∴（x﹣2）2﹣14≥﹣14， ∴当x＝2时，y+x的最小值为﹣14． 【题型4：利用做差法及其配方法比较式子的大小关系】 20．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1，则M、N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小由a的取值范围 【解答】解：∵M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1， ∴M﹣N ＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a）+1， ＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1 ＝4a2﹣8a+4 ＝4（a﹣1）2 ∵（a﹣1）2≥0， ∴M﹣N≥0，则M≥N． 故选：A． 21．已知M＝a2+3b2，N＝2b2+2ab，则M，N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 【解答】解：M﹣N＝a2+3b2﹣（2b2+2ab）＝（a﹣b）2， ∵（a﹣b）2≥0， ∴M﹣N≥0，即M≥N． 故选：C． 【题型5：配方变形的其他应用】 22．阅读下列材料，回答问题： 我们把形如a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若a2+b2+2a﹣4b+5＝0，求a，b的值． 解：原式可变形为： （a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0， 即（a+1）2+（b﹣2）2＝0， ∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若x2+y2﹣6x+8y+25＝0，求x，y的值； （2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，判断△ABC的形状，并说明理由； （3）求代数式x2﹣4x+y2+2y+7的最小值． 【解答】解：（1）原式变形为： （x2﹣6x+9）+（y2+8y+16）＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝0， ∴x﹣3＝0，y+4＝0， 解得x＝3，y＝﹣4； （2）△ABC是等边三角形， 理由： ∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，两边乘2得： 2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0 变形为：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，即a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． （3）原式配方得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）+2＝（x﹣2）2+（y+1）2+2， ∴当x＝2，y＝﹣1时，原式取最小值2． 3. 公式法解一元二次方程： （1） 根的判别式：由配方法可知，即为一元二次方程根的判别式。用表示。 ①方程有两个不相等的实数根。 ②方程有两个相等的实数根。 ③方程没有实数根。 （2） 求根公式： 当时，则一元二次方程可以用来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程的两根为。 ②时，一元二次方程的两根为。 ③时，方程没有实数根。 【题型1：判断一元二次方程的根的情况】 23．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个互为相反数的实数根 D．没有实数根 【解答】解：∵原方程整理得， ∴a＝1，b＝3，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 24．若点（m，n）在第四象限，则关于x的方程mx2﹣x+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【解答】解：由条件可知m＞0，n＜0， Δ＝（﹣1）2﹣4mn＝1﹣4mn， ∵m＞0，n＜0， ∴﹣4mn＞0， ∴Δ＝1﹣4mn＞1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 25．关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k2+6＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【解答】解：由条件可知： Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（k2+6）＝36﹣8k2﹣48＝﹣8k2﹣12， ∵k2≥0， ∴﹣8k2≤0， ∴Δ＝﹣8k2﹣12≤﹣12＜0， 因此方程无实数根． 故选：C． 【题型2：根据一元二次方程的根的情况求值或取值范围】 26．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k＜2且k≠1 C．k≤2且k≠1 D．k≥2且k≠1 【解答】解：由条件可知二次项系数k﹣1≠0，得k≠1， ∵方程有实数根， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝22﹣4（k﹣1）×1＝8﹣4k≥0， 解得k≤2， 综上，k的取值范围是k≤2且k≠1． 故选：C． 27．关于x的一元二次方程x2+3x+2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2k＝9﹣8k＞0， 解得：． 故选：A． 【题型3：利用求根公式还原方程或求值】 28．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴， ∴﹣b＝1，2a＝6， 解得b＝﹣1，a＝3， ∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）， ∴c＝﹣5， ∴原方程为3x2﹣x﹣5＝0， 故选：B． 29．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（　　） A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7 【解答】解：∵是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3， ∴a+b+c ＝2+（﹣6）+（﹣3） ＝﹣4+（﹣3） ＝﹣（4+3） ＝﹣7， 即a+b+c＝﹣7， 故选：D． 【题型4：利用公式发解一元二次方程】 30．用公式法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣5x+3＝0； （2）4x2+1＝﹣4x； （3）． 【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0， 则x， 所以； （2）4x2+1＝﹣4x， 4x2+4x+1＝0， Δ＝42﹣4×4×1＝0， 则x， 所以； （3）， 3x2﹣8x﹣2＝0， Δ＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则x， 所以． 4. 因式分解法求一元二次方程： 利用因式分解的手段将一元二次方程化为的形式，再利用来求解一元二次方程。 因式分解的方法：①提公因式；②公式法（完全平方公式与平方差公式）；③十字相乘法 【题型1：用因式分解法解一元二次方程】 31．用因式分解法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）2x2+x＝0； （3）（x+1）2﹣2（x+1）＝0； （4）x2﹣3x+2＝0． 【解答】解：（1）x2＝7x， 分解因式得：x（x﹣7）＝0， 则x＝0或x﹣7＝0， 解得：x1＝0，x2＝7； （2）2x2+x＝0， 分解因式得：x（2x+1）＝0， 则x＝0或2x+1＝0， 解得：x1＝0，x2； （3）（x+1）2﹣2（x+1）＝0， 分解因式得：（x+1）（x﹣1）＝0， 则x+1＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． （4）x2﹣3x+2＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣1）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝2，x2＝1． 【题型2：用合适的方法解一元二次方程】 32．用合适的方法解下列方程： （1）（2x+1）2﹣25＝0； （2）x2+3x﹣28＝0； （3）（x+1）2＝2（x+1）； （4）2x2﹣4x+1＝0． 【解答】解：（1）（2x+1）2﹣25＝0， （2x+1）2＝25， 2x+1＝±5， 解得x1＝2，x2＝﹣3； （2）x2+3x﹣28＝0， （x+7）（x﹣4）＝0， x+7＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝4； （3）（x+1）2＝2（x+1）， （x+1）2﹣2（x+1）＝0， [（x+1）﹣2]（x+1）＝0， （x﹣1）（x+1）＝0， x﹣1＝0或x+1＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣1； （4）2x2﹣4x+1＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8＞0， ， 解得． 【题型3：整体法或换元法的应用】 33．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 【解答】解：解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±， ∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2， ∴﹣h3，﹣h2， ∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±， ∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5， 故选：B． 34．已知方程ax2+bx﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程a（x+3）2+b（x+3）﹣3＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【解答】解：设y＝x+3，则新方程ay2+by﹣3＝0， ∵方程ay2+by﹣3＝0的解为y1＝1，y2＝﹣3， ∴x+3＝1或x+3＝﹣3， 解得x＝﹣2或x＝﹣6， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣6． 故选：B． 35．已知实数a，b满足（a2+2b2）（a2+2b2﹣3）＝10，则a2+2b2的值为（　　） A．5或﹣2 B．﹣5或2 C．5 D．2 【解答】解：采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根可知： 设x＝a2+2b2≥0，则原方程为x（x﹣3）＝10， 整理得x2﹣3x﹣10＝0， （x﹣5）（x+2）＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）， ∴a2+2b2＝5． 故选：C． 36．【阅读材料】方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0是一个一元四次方程，我们可以把x2﹣1看成一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①． 解方程①可得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，即x2＝2，∴； 当y＝4时，x2﹣1＝4，即x2＝5，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 （1）方程x4﹣16＝0的解为x1＝2，x2＝﹣2　 ； （2）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，求x2+y2的值； （3）请仿照材料中的方法，解方程：（x2﹣3x）2﹣6（x2﹣3x）＝0． 【解答】解：（1）设n＝x2，则原方程可化为n2﹣16＝0， 解得n1＝4，n2＝﹣4（舍去）， 当n＝4时， ∴x2＝4， 解得x1＝2，x2＝﹣2； 故答案为：x1＝2，x2＝﹣2； （2）设m＝x2+y2，则原方程可化为（m+1）（m+3）＝8， 解得m1＝﹣5，m2＝1， 又∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝1； （3）设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2﹣6y＝0， 解得y1＝0，y2＝6， 当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3， 当y＝6时，x2﹣3x＝6，解得，， ∴原方程的解为x1＝0，x2＝3，，． 【题型4：解含绝对值的一元二次方程】 37．阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为：x2﹣3x﹣10＝0解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x1＝﹣5，x2＝2（舍去）　 ； 综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5　 ． 请参照上述方法解方程：x2+2|x+2|﹣4＝0． 【解答】解：②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0， （x﹣2）（x+5）＝0， 解得x1＝﹣5，x2＝2（舍去）； 综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5； 故答案为：x1＝﹣5，x2＝2（舍去）；x1＝5，x2＝﹣5； x2+2|x+2|﹣4＝0，分两种情况解方程： 第一种情况：当x+2≥0时，即x≥﹣2时，原方程化为：x2+2（x+2）﹣4＝0， ∴x2+2x＝0， x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣2（舍去）； 第一种情况：当x+2＜0时，即x＜﹣2时，原方程化为x2﹣2（x+2）﹣4＝0， x2﹣2x﹣8＝0， x2﹣2x＝8， x2﹣2x+1＝8+1， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， 解得x1＝﹣2，x2＝4（舍去）； 综上所述，原方程的解是x1＝0，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝0，x2＝﹣2． 考点04 根与系数的关系（韦达定理） 1. 根与系数的基本关系： 若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为： 。 同时存在：。 2. 常考推广公式： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 【题型1：求两根之和与两根之积】 38．已知α，β是一元二次方程x2﹣2025x﹣1＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【解答】解：由条件可知α+β＝2025，αβ＝﹣1， ∴α+β﹣αβ＝2025﹣（﹣1）＝2026． 故选：D． 39．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．8 D．2 【解答】解：由题意得：，， 故 x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣5﹣3＝﹣8， 故选：A． 【题型2：求与两根之和及两根之积有关的拓展式子】 40．若实数m、n分别满足方程m2﹣5m+6＝0，n2﹣5n+6＝0，且m≠n，则m2+n2的值为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【解答】解：由条件可知m、n是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个不相等实根， 解x2﹣5x+6＝0得x1＝2，x2＝3， ∴m2+n2＝22+32＝4+9＝13． 故选：B． 41．设x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【解答】解：根据根与系数关系得x1+x2，x1x2， 所以2． 故选：A． 42．已知a，b是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．0 C．﹣4 D． 【解答】解：由根与系数的关系可得：a+b＝﹣2，ab＝﹣2， ∴， 将a+b＝﹣2，ab＝﹣2代入得：． 故选：C． 43．若α，β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（α﹣3）（β﹣3）的值为（　　） A．6 B． C． D． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2． 则（α﹣3）（β﹣3）＝αβ﹣3（α+β）+93×1+9， 故选：B． 【题型3：求根与系数的关系求代数式的值】 44．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，则（　　） A．﹣9 B．﹣8 C．7 D．10 【解答】解：由条件可知，即， ∴， ∵x1+x2＝﹣（﹣3）＝3， ∴． 故选：D． 45．设m，n是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　） A．2029 B．2028 C．2026 D．2025 【解答】解：由条件可知m2+m﹣2027＝0，即m2+m＝2027， ∵m，n是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根， ∴， ∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2027+（﹣1）＝2026． 故选：C． 46．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b（a≠b）满足a2+3a﹣1＝0，b2+3b﹣1＝0，则可将a，b看作一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：已知实数a，b满足7a2﹣7a﹣1＝0，7b2﹣7b﹣1＝0，且a≠b，求a2b+ab2的值． （2）思维拓展：已知实数a，b满足3a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+3＝0，且ab≠1，求的值． 【解答】解：（1）可将a，b看作方程7x2﹣7x﹣1＝0的两个不相等的实数根， ∴a+b＝1，， ∴． （2）在方程b2﹣5b+3＝0的两边同时除以b2得， ∴可将a，看作方程3x2﹣5x+1＝0的两个不相等的实数根， ∴，， ． 【题型4：利用两根满足的关系求方程中待定系数的值】 47．已知Rt△ABC的两条直角边a，b分别是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且a2+b2＝25，a﹣b＝1，则p和q的值分别为（　　） A．﹣1，5 B．﹣7，12 C．3，4 D．7，﹣12 【解答】解：∵a，b是直角三角形的直角边， ∴a＞0，b＞0． 由a﹣b＝1，两边平方得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1． 将a2+b2＝25代入上式，得25﹣2ab＝1， 解得ab＝12． ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25+2×12＝49，且a+b＞0， ∴a+b＝7． ∵a，b是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根， ∴a+b＝﹣p，ab＝q． 代入得7＝﹣p，12＝q， 即p＝﹣7，q＝12， 故选：B． 48．已知x1、x2是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两个实数根，若，则m等于（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 【解答】解：由条件可知根的判别式Δ≥0， 即Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2+3）＝﹣4m﹣11≥0， 解得：， 由根与系数的关系，得x1+x2＝1﹣2m，， ∵，且， ∴（1﹣2m）2﹣2（m2+3）＝25， 整理得m2﹣2m﹣15＝0， 解得m＝5或m＝﹣3， ∵，，舍去，符合要求， ∴m＝﹣3． 故选：A． 【题型5：根的判别式与根与系数的关系的综合】 49．已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0有两个实数根x1、x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若（2x1+1）（2x2+1）＝21，试求k的值． 【解答】解：（1）由条件可知： Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣2k+1）≥0， 整理得：8k﹣4≥0， 解得； （2）x2+2kx+k2﹣2k+1＝0， 根据根与系数的关系可得： x1+x2＝﹣2k，， ∵（2x1+1）（2x2+1）＝21， ∴4（k2﹣2k+1）+2×（﹣2k）+1＝21， 整理得：k2﹣3k﹣4＝0， 解得k＝﹣1或4， 由（1）可知，， ∴k＝4． 50．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【解答】解：（1）由条件可知：Δ＝16﹣4（5﹣m）≥0， 解得m≥1； （2）由条件可知x1+x2＝4，x1•x2＝5﹣m， ∴， 解得m1＝4，m2＝﹣2， 由（1）可知：m≥1， ∴m＝4． 考点05 一元二次方程的实际应用 1. 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2. 一元二次方程实际应用的基本类型： ①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。 ②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量） ③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。 ④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 ⑤商品销售问题：基本等量关系： 总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） ⑥图形面积问题： 利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立一元二次方程。 【题型1：实际问题抽象出一元二次方程】 51．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝36 C． D．x（x+1）＝36 【解答】解：由题意，∵共有x个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的（x﹣1）支队伍比赛， ∴． 故选：A． 52．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2023年为20万人次，2025年为37万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则可列出方程（　　） A．20（1﹣2x）＝37 B．20（1+2x）＝37 C．20（1﹣x）2＝37 D．20（1+x）2＝37 【解答】解：由题意得：20（1+x）2＝37． 故选：D． 53．2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为12cm、宽为8cm的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为192cm2的挂图．设照片四周所镶边的宽为xcm，则所列方程正确的是（　　） A．（8+x）（12+x）＝192 B．（8﹣x）（12﹣x）＝192 C．（8+2x）（12+2x）＝192 D．（8﹣2x）（12﹣2x）＝192 【解答】解：矩形挂图的宽为（8+2x）cm，长为（12+2x）cm，根据长方形面积公式可得： （8+2x）（12+2x）＝192． 故选：C． 54．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 【题型2：一元二次方程的实际应用】 55．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640． 解得x1＝16，x2＝20． 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40； 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； （2）不能，理由如下： 由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650． 整理得，x2﹣36x+325＝0． ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650m2． 56．某水果店销售两种品牌的枇杷，一种是五星枇杷，一种是贵妃白枇杷．已知一箱贵妃白枇杷的售价比一箱五星枇杷的售价高50元，购买3箱贵妃白枇杷，2箱五星枇杷的总价不超过600元． （1）求每箱贵妃白枇杷的售价不高于多少元？ （2）当贵妃白枇杷按（1）问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售贵妃白枇杷12箱，因市场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱贵妃白枇杷的售价每降低20元，销量每周可增加3箱，若保证贵妃白枇杷每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱贵妃白枇杷的售价应该降低多少元． 【解答】解：（1）设每箱贵妃白枇杷的售价为x元，则每箱五星枇杷的售价为（x﹣50）元， 依题意得：3x+2（x﹣50）≤600， 解得：x≤140． 答：每箱贵妃白枇杷的售价不高于140元． （2）设每箱贵妃白枇杷的售价应该降低m元，则每周可售出（12+3）箱， 依题意得：（140﹣m）（12+3）＝1800， 整理得：m2﹣60m+800＝0， 解得：m1＝20，m2＝40， 又∵要尽可能减少库存， ∴m＝40． 答：每箱贵妃白枇杷的售价应该降低40元． 57．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得：200（1+x）2＝242， 解这个方程，得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为10%； （2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得： （y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝11250， 解这个方程，得y1＝55，y2＝75， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y取55， 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 58．2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个． （1）求每个A种、B种挂件的价格； （2）世界运动会期间，该文旅中心的A种挂件平均每天销售12个，世界运动会结束后，该文旅中心决定对A种挂件降价销售，根据市场调研反馈，每降价1元销售数量会增加4个，但是销售单价不得低于8元，请问是否存在某一天A种挂件销售总额为216元，若存在请计算出当天A种挂件的销售单价，若不存在请通过计算说明理由． 【解答】解：（1）设每个A种挂件的价格是x元，则每个B种挂件的价格是x元， 根据题意得：10， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意， ∴x12＝9（元）． 答：每个A种挂件的价格是12元，每个B种挂件的价格是9元； （2）存在，设当天A种挂件的销售单价为y元/个，则平均每天可售出12+4（12﹣y）＝（60﹣4y）个， 根据题意得：y（60﹣4y）＝216， 整理得：y2﹣15y+54＝0， 解得：y1＝6，y2＝9， ∵销售单价不得低于8元， ∴y＝9． 答：存在某一天A种挂件销售总额为216元，当天A种挂件的销售单价为9元/个． 59．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为176cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【解答】解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm，则纸盒底面长方形的边长为（30﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm． 由题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝176， 整理，得 （x﹣4）（x﹣19）＝0． 解得x1＝4，x2＝19． 因为16﹣2x＞0，所以x＝19不符合题意，舍去． 所以剪去的正方形的边长为4cm． （2）设剪去的正方形的边长为acm，根据题意，剪去的矩形的长为15cm，宽为acm，则剪去部分的面积为： 2a2+15×a×2＝30×16﹣412， 2a2+30a﹣68＝0， a2+15a﹣34＝0， （a﹣2）（a+17）＝0， 解得a＝2或a＝﹣17，（a＝﹣17不符合题意，舍去）． 所以剪去的正方形的边长为2cm． 2 学科网（北京）股份有限公司 $